הצגת המקור של הדף "הרמוניות ספריות"

{{לשכתב|ריבוי פיתוחים ומיעוט הסברים; טקסט זה נראה כמו דף מספר לימוד ולא כמו ערך אנציקלופדי|נושא=מדעי הטבע|כל הערך=כן}}
'''הרמוניות ספריות''' הן משפחה של [[פונקציה|פונקציות]] של שני משתנים: ה[[זווית|זוויות]] θ ו-φ ב[[קואורדינטות ספריות]] (כדוריות).

הרמוניות ספריות חשובות ליישומים תאורטיים ומעשיים רבים, בעיקר ב[[פיזיקה]]. דוגמאות ליישומים אלה הם [[אורביטל]]ים ב[[אטום]] ופתרון בעיות [[אלקטרוסטטיקה|אלקטרוסטטיות]] עם [[סימטריה]] כדורית. ניתן להשתמש בהן לייצוג צורתו של [[שדה כבידה]], צורה של [[גאואיד]] וצורת [[שדה מגנטי]] בגופים פלנטריים, וכן באפיון [[קרינת הרקע הקוסמית]]. ב[[גרפיקה ממוחשבת]] תלת-ממדית, הרמוניות ספריות ממלאות תפקיד מיוחד במגוון רחב של נושאים הכוללים תאורה לא ישירה והכרת צורות תלת-ממדיות.

[[מתמטיקה|מתמטית]], ההרמוניות הספריות הן כלי לפתרון [[משוואת לפלס]] בקואורדינטות כדוריות. כאשר מחפשים פתרון למשוואה, שצורתו היא מכפלה של פונקציה שתלויה רק במרחק מ[[ראשית הצירים]] ושל פונקציה שתלויה רק ב[[זווית|זוויות]], ניתן לקבל [[משוואה דיפרנציאלית|משוואות דיפרנציאליות]] לחלק הרדיאלי (התלוי רק במרחק) ולחלק הזוויתי. ההרמוניות הספריות הן פתרון המשוואה הזוויתית, והן אוסף [[אורתוגונליות|אורתוגונלי]] של פונקציות.

== היסטוריה ==
הרמוניות ספריות נחקרו לראשונה בהקשר של הפוטנציאל הניוטוני הנובע מ[[כוח הכבידה|חוק הכבידה העולמי]] בשלושה ממדים. ב-1782, [[פייר סימון לפלס]] בספרו "מכניקה שמיימית" עסק בבעיה של קביעת הפוטנציאל הכבידתי <math>\R^3 \to \R</math> בנקודה כלשהי '''x''', שיוצרות אוסף של מסות נקודתיות ''m''<sub>''i''</sub> המוצבות בנקודות '''x'''<sub>''i''</sub>, שנתון על ידי:
<math display="block">V(\mathbf{x}) = \sum_i \frac{m_i}{|\mathbf{x}_i - \mathbf{x}|}.</math>
כל אחד מהאיברים בסכום לעיל הוא הפוטנציאל הניוטוני היחידני שיוצרות אחת מהמסות הנקודתיות. כמעט באותו זמן, ומעט לפני לפלס, [[אדריאן-מארי לז'נדר]] חקר את הפיתוח של הפוטנציאל הניוטוני היחידני של מסה נקודתית לחזקות של המרחק ''r'' של הנקודה '''x''' מהראשית ושל המרחק <math>r_1</math> של הנקודה <math>x_1</math> מהראשית. הוא גילה שאם ''r'' ≤ ''r''<sub>1</sub>, אז:
<math display="block">\frac{1}{|\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}|} = P_0(\cos\gamma)\frac{1}{r_1} + P_1(\cos\gamma)\frac{r}{r_1^2} + P_2(\cos\gamma)\frac{r^2}{r_1^3}+\cdots</math>
כאשר ''γ'' היא הזווית בין הווקטורים '''x''' ו-'''x'''<sub>1</sub>, והפונקציות <math>P_i: [-1, 1] \to \R</math> הן פולינומי לז'נדר (ראו גם [[פיתוח לפלס למולטיפולים אלקטרוסטטיים]]). שימו לב שאם הנקודה '''x''' מוגדרת להיות הראשית אז ''r=0'', כך שקיבלנו את הביטוי הרגיל לפוטנציאל של מסה נקודתית. חשיבות פיתוחו של לז'נדר היא שהוא המפתח לתיאור הפוטנציאל של [[התפלגות|התפלגויות]] מסה כלליות, בין אם הן בדידות ובין אם הן רציפות. בעקבות כך, במאמרו מ-1782 לפלס חקר את המקדמים הללו תוך שהוא משתמש בקואורדינטות כדוריות כדי לייצג את הזווית ''γ'' בין '''x'''<sub>1</sub> ל-'''x'''. 

ב-1867, [[ויליאם תומסון]] ופטר גונטרי טייט הציגו את ההרמוניות הספריות המרחביות בחיבור משותף, שבו גם טבעו את המונח "הרמוניות ספריות" עבור הפונקציות הללו. ההרמוניות המרחביות היו פתרונות פולינומיים הומוגניים <math>\R^3 \to \R</math> ל[[משוואת לפלס]]:
<math display="block">\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0.</math>
באמצעות חקירה של משוואת לפלס בקואורדינטות כדוריות, תומסון וטייט פיתחו את ההרמוניות הספריות של לפלס.

הפיתוח של [[טור פורייה|טורי פורייה]] במהלך המאה ה-19 אפשר את הפתרון של מגוון בעיות פיזיקליות בתחומים מלבניים, כמו [[משוואת החום]] או [[משוואת הגלים]] במיתר או בתוף מלבני. בעיות אלו נפתרו באמצעות פיתוח הפונקציות לטור של [[פונקציות טריגונומטריות]]. בדיוק כשם שהפונקציות הטריגונומטריות בטור פורייה מייצגות את אופני התנודה הבסיסיים של מיתר תונד, הסתבר שההרמוניות הספריות מייצגות את אופני התנודה הבסיסיים של תנודות משטח כדורי, כמו למשל בלון כדורי הנתון ב[[מתיחות]] משטחית (כוח מתיחות ליחידת אורך, בדומה ל[[מתח פנים]] בנוזלים) קבועה מסוימת - כלומר רק כאשר פני הבלון יהיו בצורת אחת מההרמוניות הספריות אז כל נקודה על הבלון תבצע תנודה מחזורית בתדירות זהה מסוימת <math>\omega</math>. רבים מההיבטים של התורה של טורי פורייה, כמו למשל האורתוגונליות של אופני תנודה, ניתנים להכללה באמצעות פיתוחים להרמוניות ספריות במקום לפונקציות טריגונומטריות.

השכיחות של השימוש בהרמוניות ספריות בתחום הפיזיקה בתחילת המאה ה-20 הציבן כמועמדות טבעיות חשובות לפתרון חלק מהבעיות שצצו בתקופת חבלי הלידה של [[מכניקת הקוונטים]]. ההרמוניות הספריות (המרוכבות) <math>S^2 \to \Complex</math> מופיעות שם כ[[פונקציה עצמית|פונקציות העצמיות]] של ריבוע [[אופרטור התנע הזוויתי]]
<math display="block">-i\hbar\mathbf{r}\times\nabla,</math>
כך שהן מייצגות [[אורביטל אטומי|אורביטלים אטומיים]] שונים.

==מבוא==
[[קובץ:Rotating spherical harmonics.gif|ממוזער|הרמוניות ספריות ממשיות Y<sub>lm</sub> עבור l מ-0 (שורה עליונה) עד 4 (שורה תחתונה). ההרמוניות השליליות Y<sub>l-m</sub> מסובבות סביב ציר ה-z בזווית של 90 חלקי m מעלות ביחס להרמוניות החיוביות.]]

[[משוואת לפלס]] ב[[קואורדינטות כדוריות]] היא

:<math> \nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) 
 + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) 
 + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0</math>

עבור [[הפרדת משתנים]] <math>\ f(r,\theta,\varphi) = R(r) \Theta (\theta) \Phi (\varphi)</math> החלק הזוויתי של משוואת לפלס מקיים:

:<math>{\Phi(\varphi) \over \sin\theta}{d \over d\theta}\left(\sin\theta {d\Theta \over d\theta} \right) + {\Theta(\theta) \over \sin^2 \theta}{d^2\Phi \over d\varphi^2} + \lambda\Theta(\theta)\Phi(\varphi) = 0.</math>

באמצעות [[הפרדת משתנים]] מקבלים מ[[משוואה דיפרנציאלית חלקית]] זו שתי [[משוואה דיפרנציאלית רגילה|משוואות דיפרנציאליות רגילות]]:
:<math>\frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{d^2 \Phi(\varphi)}{d\varphi^2} = -m^2</math>
:<math>\lambda\sin ^2(\theta) + \frac{\sin(\theta)}{\Theta(\theta)} \frac{d}{d\theta} \left [ \sin(\theta) \frac{d\Theta}{d\theta} \right ] = m^2</math>
עבור <math>m</math> ו-<math>\lambda</math> מרוכבים כלשהם. מכיוון ש-<math>d\mathbb{\theta} = -\frac{d (\mathbb{cos\theta})}{\mathbb{sin\theta}}</math> ניתן לזהות את האופרטור <math>\frac{d}{d\theta}</math> עם האופרטור <math>-\mathbb{sin\theta}\frac{d}{d(\mathbb{cos\theta})}</math>, ולכן אם נציב <math>x=\mathbb{cos\theta} </math> ו-<math>\mathbb{sin^2\theta} = 1-x^2</math> נקבל את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה עבור <math>\Theta(x)</math>:

<math>{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d\Theta \over dx} \right] + \left(\lambda-\frac{m^2}{1-x^2}\right) \Theta(x) = 0</math>

וזוהי "משוואת לז'נדר" עם <math>\lambda = l(l+1)</math> עבור <math>l</math> מרוכב כלשהו (מכיוון שלמשוואה <math>\lambda = l(l+1)</math> [[המשפט היסודי של האלגברה|תמיד קיים פתרון]], הנחה זאת [[בלי הגבלת הכלליות|לא מגבילה את הכלליות]]). מכך נובע שהפתרון לחלק הזוויתי ניתן להצגה כמכפלה של [[פונקציות טריגונומטריות]] ו[[פולינומי לז'נדר#פולינומי לז'נדר הנלווים|פולינומי לז'נדר הנלווים]]:

:<math> Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = N \, e^{i m \varphi } \, P_\ell^m (\cos{\theta} ),</math>
כאשר <math>Y_\ell^m</math> נקראת '''הרמוניה ספרית''' ממעלה <math>\ell</math> וסדר ''m'' ו-<math>P_\ell^m</math> הוא פונקציית לז'נדר הנלווית (ידועה גם כפולינומי לז'נדר הנלווים). הפקטור ''N'' הוא קבוע נרמול והזוויות &theta; ו-&phi; מייצגות את זווית הגובה (<math>\ 0 \le \theta \le \pi</math>, היא שווה לאפס בקוטב הצפוני של ה[[כדור (גאומטריה)|כדור]], ל <math>\pi / 2</math> בקו המשווה של הכדור ול[[פאי]] בקוטב הדרומי שלו) ואת הזווית המישורית <math>0\le \phi \le2\pi</math>. הקואורדינטות הספריות שמשמשות בערך זה עקביות עם אלה המשמשות [[פיזיקאי]]ם אך שונות מאלה המשמשות [[מתמטיקאי]]ם. 

כאשר פותרים את [[משוואת לפלס]] על פני השטח של כדור (על ה[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] שלו), [[תנאי שפה|תנאי השפה]] המחזוריים על &phi; ותנאי רגולריות בקטבים, מבטיחות שהמעלה <math>\ell</math> והסדר ''m'' הם [[מספר שלם|מספרים שלמים]] המקיימים <math>\ell</math> ≥ 0 ו-|''m''| ≤ <math>\ell</math>. תנאי הרגולריות בקטבים הכרחי לצורך הקביעה כי ''l''  מספר שלם, שכן למשוואת לז'נדר נקודות סינגולריות רגולריות ב-<math>x=\pm 1</math>, ורק כאשר <math>\lambda</math> הוא מהצורה <math>l(l+1)</math> עבור ''l'' שלם כלשהו מובטח כי פתרון המשוואה ב[[שיטת פרובניוס]] ייתן [[טור חזקות]] סופי של ''x'' (כלומר פולינום) המתכנס אל הפתרון עצמו.

ברם, אם הפונקציה ''f'' מוגדרת רק עבור &theta; ≤ &theta;<sub>0</sub>, אז ההרמוניות הספריות הקטועות שיתקבלו היו מוגדרות לכל סדר שלם, אך למעלה שאיננה מספר שלם. הפתרון הכללי למשוואת לפלס הוא [[צירוף ליניארי]] של הרמוניות ספריות מוכפלות בפתרון הרדיאלי <math>\ R(r)</math>:

:<math> f(r, \theta, \varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell r^{-1-\ell} \, f_\ell^m \, Y_\ell^m (\theta, \varphi ) +
 \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell r^\ell \, f_\ell^{m'} \, Y_\ell^m (\theta, \varphi ), </math>

כאשר <math>f_\ell^m</math> ו- <math>f_\ell^{m'}</math> הם קבועים. האיברים בסכום הראשון [[גבול (מתמטיקה)|שואפים]] ל[[0 (מספר)|אפס]] כאשר ''r'' שואף ל[[אינסוף]], בעוד שהאיברים בסכום השני שואפים לאפס בראשית.

==אורתוגונליות ונרמול==
ישנם מספר נרמולים שונים הנמצאים בשימוש עבור הרמוניות ספריות. ב[[פיזיקה]] ו[[סייסמולוגיה]], פונקציות אלה מוגדרות בדרך כלל כ:

:<math> Y_\ell^m( \theta, \varphi ) = \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi } </math>

כך שהן [[אורתונורמליות]] ביחס ל[[מכפלה פנימית]]:

:<math>\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'*} \, d\Omega = \int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'*} \, d\phi \sin\theta d\theta = \delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'},</math>

כאשר הדלתא היא [[דלתא של קרונקר]] המקיימת: δ<sub>aa</sub> = 1, δ<sub>ab</sub> = 0 אם a ≠ b ו-''d''&Omega; = sin&theta; ''d''&phi; ''d''&theta;. 

בחקר הגאודזות והניתוח הספקטרלי משתמשים בנרמול אחר:

:<math> Y_\ell^m( \theta, \varphi ) = \sqrt{{(2\ell+1) }{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} )\, e^{i m \varphi } </math>

שמקיים

:<math>{1 \over 4 \pi} \int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'*} d\Omega=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'}.</math>

בחקר ה[[מגנטיות]], משתמשים בחצי-נרמול שמידט

:<math> Y_\ell^m( \theta, \varphi ) = \sqrt{{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }</math>

שמקיים

:<math> \int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'*}d\Omega={4 \pi \over (2 \ell + 1)}\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'}.</math>

גם ב[[מכניקת הקוונטים]] משתמשים לעיתים קרובות בנרמול זה, והוא נקרא על שם ה[[פיזיקאי]] ה[[ישראל]]י [[יואל רקח]].

כאשר משתמשים בזהות הבאה (ראו [[פולינומי לז'נדר#פולינומי לז'נדר הנלווים|פונקציות לז'נדר הנילוות]])

:<math>P_\ell ^{-m} = (-1)^m \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!} P_\ell ^{m}</math>

ניתן להראות שכל ההרמוניות המנורמלות מקיימות

:<math>Y_\ell^{m*} (\theta, \varphi) = (-1)^m Y_\ell^{-m} (\theta, \varphi),</math>

כאשר הכוכבית מסמנת לקיחת [[צמוד מרוכב]]. משוואה זו נובעת גם מהיחס בין ההרמוניות הספריות עם [[מטריצת D של ויגנר]] (ראו: [[:en:Wigner D-matrix#Relation with spherical harmonic functions|Wigner D-matrix#Relation with spherical harmonic functions]]).

===פאזת קונדון-שורטלי===

מקור אחד לבלבול בהגדרה של הרמוניות ספריות עוסק בפקטור [[פאזה (גלים)|פאזה]] של <sup>m</sup>{{כ}}(1-) שבדרך כלל קוראים לו "פאזת קונדון-שורטלי" (Condon-Shortley) בספרות העוסקת ב[[מכניקת הקוונטים]]. בקרב החוקרים העוסקים בפיזיקה קוונטית, ישנה פרקטיקה נפוצה או לכלול את הפאזה בהגדרת פונקציות לז'נדר הנלווים, או לבלוע אותה בהגדרה של ההרמוניות הספריות. אין דרישה להשתמש בפאזת קונדון-שורטלי בהגדרת ההרמוניות הספריות, אך כלילתה יכולה לפשט מספר פעולות קוונטיות, ובפרט העלאה והורדה של אופרטורי [[תנע זוויתי]]. חוקרים העוסקים ב[[גאודזה|גאודזות]] ו[[מגנטיות]] לא כוללות את פאזת קונדון-שורטלי בהגדרות שלהם עבור הרמוניות ספריות.

==פיתוח בהרמוניות ספריות==

ההרמוניות הספריות הן [[קבוצה (מתמטיקה)|אוסף]] שלם ו[[אורתוגונליות|אורתוגונלי]] של פונקציות ובכך פורשות [[מרחב וקטורי]] באופן אנלוגי לוקטורי [[בסיס (אלגברה)|בסיס ליניארי]]. על [[ספירה (גאומטריה)|ספירת]] היחידה, כל פונקציה [[אינטגרל|אינטגרבילית]] בריבוע ניתן לפתח כ[[צירוף ליניארי]] של הרמוניות ספריות:

<math>f(\theta,\varphi)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^\ell f_\ell^m \, Y_\ell^m(\theta,\varphi).</math>

פיתוח זה מדויק כל עוד <math>\ell</math> הולך ל[[אינסוף]]. שגיאות קטיעה יצוצו אם נקטע את ה[[טור (מתמטיקה)|טור]] האינסופי ונהפוך אותו לסכום עד <math>\ell</math> סופי כלשהו. את מקדמי הפיתוח ניתן לחשב על ידי כפילת הטור ב[[צמוד מרוכב|צמוד המרוכב]] של הרמוניה ספרית ולבצע אינטגרציה על [[זווית מרחבית]] <math>\Omega\!\,</math>, תוך ניצול יחסי האורתוגונליות בין הפונקציות. עבור הנרמול האורתונורמלי, מקבלים:

<math>f_\ell^m=\int_{\Omega} f(\theta,\varphi)\, Y_\ell^{m*}(\theta,\varphi)d\Omega = \int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi}d\theta\sin\theta f(\theta,\varphi)Y_\ell^{m*} (\theta,\varphi).</math>

ניתן להשתמש באוסף חלופי של הרמוניות ספריות, שהן [[פונקציה ממשית|פונקציות ממשיות]], בעזרת ההגדרה הבאה:

<math>Y_{\ell m} = \begin{cases}
Y_\ell^0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad\mbox{ if } m=0\\
{1\over\sqrt2}\left(Y_\ell^m+(-1)^m \, Y_\ell^{-m}\right) = \sqrt{2} N_{(l,m)} P_\ell^m(\cos \theta) \cos m\varphi 
\qquad\quad\quad \mbox{if } m>0 \\
{1\over i\sqrt2}\left(Y_\ell^{-m}-(-1)^{m}\, Y_\ell^{m}\right) = \sqrt{2} N_{(l,m)} P_\ell^{-m}(\cos \theta) \sin m\varphi 
\quad\mbox{ if } m<0.
\end{cases}
</math>

כאשר <math>N_{(l,m)} </math> הוא קבוע הנירמול של הפונקציה עבור <math>l</math> ו-<math>m</math>. לפונקציות אלה יש את תכונות הנרמול כמו של ההרמוניות הספריות המרוכבות. בסימונים אלה, ניתן לפתח כל פונקציה ממשית אינטגרבילית בריבוע כטור אינסופי של הרמוניות ספריות ממשיות:

<math> f(\theta, \varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell f_{lm} \, Y_{lm}(\theta, \varphi). </math>

ראו גם [[:en:Solid harmonics#List of lowest functions|רשימת הרמוניות ספריות ממשיות]] עד ל-''l = 5''. פונקציות אלה נבדלות בפאזה של (-1)<sup>''m''</sup> מאלה הניתנות בערך זה.

==אנליזה ספקטרלית==

ה[[הספק]] (power) הכולל של הפונקציה <math>f</math> מוגדרת בספרות של [[עיבוד אותות]] כ[[אינטגרל]] של הפונקציה בריבוע, חלקי השטח אותו היא פורשת. על ידי שימוש בתכונת ה[[אורתונורמליות]] של ההרמוניה הספרית הממשית על ספירת היחידה, אפשר לוודא על ידי חישוב ישיר שההספק הכולל של פונקציה המוגדרת על ספירת היחידה קשור למקדמים הספקטרלים שלה באמצעות הכללה של [[משפט פרסוול]]:

:<math>\frac{1}{4 \, \pi} \int_\Omega f(\Omega)^2\, d\Omega = \sum_{l=0}^\infty S_{f\!f}(l),</math>

כאשר

:<math>S_{f\!f}(l) = \sum_{m=-l}^l f_{lm}^2 </math>

מוגדר כ[[ספקטרום (מתמטיקה)|ספקטרום]] ההספק הזוויתי. באופן דומה ניתן להגדיר את ההספק המשותף (cross-power) של 2 פונקציות כ:

:<math>\frac{1}{4 \, \pi} \int_\Omega f(\Omega) \, g(\Omega) \, d\Omega = \sum_{l=0}^\infty S_{fg}(l),</math>

כאשר

:<math>S_{fg}(l) = \sum_{m=-l}^l f_{lm} g_{lm} </math>

מוגדר כספקטרום ההספק המשותף. אם הפונקציות ''f'' ו-''g'' הן בעלות ממוצע [[0 (מספר)|אפס]] (כלומר, המקדמים הספרים ''f''<sub>00</sub> ו-''g''<sub>00</sub> הם אפס) אזי <math>\ S_{ff}(l)</math> ו-<math>\ S_{fg}(l)</math> מייצגות את התרומה של ה[[שונות]] ו[[שונות משותפת|השונות המשותפת]] (covariance) עבור מעלה <math>\ell</math>, בהתאמה. בדרך כלל מקרבים את ספקטרום ההספק (המשותף) על ידי חוק חוזקה

:<math>S_{f\!f}(l) = C \, \ell^{\beta}.</math>

וזה קירוב טוב בדרך כלל. כאשר &beta; = 0 ה[[ספקטרום]] "[[לבן]]" כאשר כל מעלה היא בעלת הספק שווה. כאשר &beta; < 0, אומרים שהספקטרום "[[אדום]]" ויש יותר הספק במעלות הנמוכות עם אורכי גל ארוכים מאשר במעלות הגבוהות. כאשר &beta; > 0 אומרים שהספקטרום "[[כחול]]".

==משפט החיבור==
תוצאה מתמטית מעניינת נקרא "משפט החיבור" עבור הרמוניות ספריות. שני [[וקטור (פיזיקה)|וקטורים]] <math>\vec{r}</math> ו-<math>\vec{r'}</math> עם [[קואורדינטות ספריות]] <math>(r,\theta,\varphi)</math> ו-<math>(r ',\theta ',\varphi ')</math>, בהתאמה, כאשר הזווית ביניהם היא <math>\,\!\gamma</math> הנתונה על ידי

:<math>\cos\gamma=\cos\theta\cos\theta'+\sin\theta\sin\theta'\cos(\varphi-\varphi')</math>.

משפט החיבור מבטא [[פולינומי לז'נדר|פולינום לז'נדר]] מסדר <math>l</math> בזווית <math>\,\!\gamma</math> כמכפלה של 2 הרמוניות ספריות עם קואורדינטות זוויתיות <math>(\theta,\varphi)</math> ו- <math>(\theta',\varphi')</math> כ:

<math>P_l( \cos \gamma ) = \frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^l Y_{lm}^*(\theta',\varphi') \, Y_{lm}(\theta,\varphi) </math>.

ביטוי זה תקף הן עבור הרמוניות ספריות מרוכבות והן ממשיות. לעומת זאת, יש להדגיש שהצורה המוצגת לעיל תקפה רק עבור הרמוניות ספריות אורתונורמליות מנורמלות. עבור הרמוניות עם הספק יחידה יש להסיר את הפקטור של <math>\ 4 \pi</math>.

==ההרמוניות הספריות הראשונות==
ביטויים אנליטיים עבור ההרמוניות הספריות הראשונות שמשתמשות במוסכמת פאזת קונדון-שורטלי.

:<math>Y_{0}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{1\over \pi} = \sqrt{\frac{1}{4 \pi}}</math>

:<math>Y_{1}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi} \, \sin\theta \, e^{-i\varphi}</math>
:<math>Y_{1}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\, \cos\theta</math>
:<math>Y_{1}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\, \sin\theta\, e^{i\varphi}</math>

:<math>Y_{2}^{-2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi} \, \sin^{2}\theta \, e^{-2i\varphi}</math>
:<math>Y_{2}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin\theta\, \cos\theta\, e^{-i\varphi}</math>
:<math>Y_{2}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\, (3\cos^{2}\theta-1)</math>
:<math>Y_{2}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin\theta\,\cos\theta\, e^{i\varphi}</math>
:<math>Y_{2}^{2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin^{2}\theta \, e^{2i\varphi}</math>

:<math>Y_{3}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{7\over \pi}\, (5\cos^{3}\theta-3\cos\theta)</math>

ראו גם: '''[[:en:Table of spherical harmonics|הרמוניות ספריות נוספות]] (עד l=10)

==הכללות==
ניתן לראות את ההרמוניות הספריות כ[[הצגה ליניארית|הצגה]] של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורת]] הסימטריה של ה[[סיבוב]]ים סביב נקודה ([[SO(3)]]) או החבורה עם האלגברה הזהה לה [[SU(2)]]. ככאלה, חבורות אלה תופסות את הסימטריה של [[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] דו-[[ממד (מתמטיקה)|ממדית]]. כל סט של הרמוניות ספריות עם l נתון [[מיפוי (מתמטיקה)|ממפות]] את החבורה ל[[הצגה אי-פריקה]] (irreducible representation) של [[SO(3)]].

בנוסף לכך, הספירה הדו-ממדית שקולה ל[[ספירת רימן]]. קבוצת הסימטריות השלמה של ספירת רימן מתוארת על ידי חבורת [[העתקת מביוס|העתקות מביוס]] <math>\ \operatorname{PSL}_2(\mathbb{C})</math>, שהיא [[איזומורפיזם|איזומורפית]] כ[[חבורת לי]] ממשית ל[[חבורת לורנץ]]. האנלוג עבור ההרמוניות ספריות עבור חבורת לורנץ הם [[טורים היפרגאומטריים]]; ואכן, ניתן לבטא את ההרמוניות הספריות במונחים של [[פונקציה היפרגאומטרית|טורים היפרגאומטריים]], כשם ש-SO(3) היא [[תת-חבורה]] של PSL(2,C).

באופן כללי יותר, טורים היפרגאומטריים ניתנים להכללה כדי לתאר את הסימטריה של כל מרחב סימטרי. בפרט, טורים היפרגאומטריים ניתנים לפיתוח עבור כל [[חבורת לי]].{{הערה|1=
N. Vilenkin, ''Special Functions and the Theory of Group Representations'', Am. Math. Soc. Transl.,
vol. 22, (1968). }}{{הערה|1=
J. D. Talman, ''Special Functions, A Group Theoretic Approach'', (based on lectures by E.P. Wigner), W. A. Benjamin, New York (1968).}}{{הערה|1=
W. Miller, ''Symmetry and Separation of Variables,'' Addison-Wesley, Reading (1977). }}{{הערה|1=
A. Wawrzyńczyk, ''Group Representations and Special Functions'', Polish Scientific Publishers.
Warszawa (1984). }}

==ראו גם==
* [[תנע זוויתי]]
* [[מקדמי קלבש-גורדן]]
* [[חבורת הסיבובים]]
* [[פונקציה הרמונית]]
* [[תורת שטורם-ליוביל]]
* [[אורביטל]]ים ב[[אטום]]

==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
* A.R. Edmonds, ''Angular Momentum in Quantum Mechanics'', (1957) Princeton University Press, {{ISBN|0-691-07912-9}}.
* E. U. Condon and G. H. Shortley, ''The Theory of Atomic Spectra'', (1970) Cambridge at the University Press, {{ISBN|0-521-09209-4}}, ''See chapter 3''.
* J.D. Jackson, ''Classical Electrodynamics'', {{ISBN|0-471-30932-X}}
* Albert Messiah, ''Quantum Mechanics'', volume II. (2000) Dover. {{ISBN|0-486-40924-4}}.
* D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii ''Quantum Theory of Angular Momentum'',(1988) [[World Scientific]] Publishing Co., Singapore, {{ISBN|9971-5-0107-4}}
</div>

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
===קישורים כלליים===
* {{MathWorld|SphericalHarmonic}}
* Spherical harmonics applied to Acoustic Field analysis on [https://web.archive.org/web/20080513165814/http://www.trinnov.com/research.php#concept Trinnov Audio's research page]
* [http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html Spherical harmonics on Mathworld]
* [https://web.archive.org/web/20090516174326/http://www.ipgp.jussieu.fr/~wieczor/SH/SH.html Spherical Harmonic Models of Planetary Topography]
* [http://adomas.org/shg/ Spherical harmonics generator in OpenGL]
* [http://www.paulsprojects.net/opengl/sh/sh.html OpenGL Spherical harmonics demo]
* [https://web.archive.org/web/20070113184924/http://solid_earth.ou.edu/notes/harmonic/harmonic.html General Solution to LaPlace's Equation in Spherical Harmonics] (Spherical Harmonic Analysis). Solid Earth Geophysics.

===תוכנות===
* [https://web.archive.org/web/20061122002731/http://www.ipgp.jussieu.fr/~wieczor/SHTOOLS/SHTOOLS.html SHTOOLS: Fortran 95 software archive]
* [http://healpix.jpl.nasa.gov/ HEALPIX: Fortran 90 and C++ software archive]
* [http://www.cisl.ucar.edu/css/software/spherepack/ SpherePack: Fortran 77 software archive]
* [https://web.archive.org/web/20101205053452/http://www.cs.dartmouth.edu/%7Egeelong/sphere/ SpharmonicKit: C software archive]
* [http://geoweb.princeton.edu/people/simons/software.html Frederik J Simons: Matlab software archive]
* [http://www-user.tu-chemnitz.de/~potts/nfft/ NFFT: C subroutine library (fast spherical Fourier transform for arbitrary nodes)]
* [http://www.spice-rtn.org/library/software/shansyn Shansyn: spherical harmonics package for GMT/netcdf grd files]

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות]]
[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות]]