הצגת המקור של הדף "השורש הריבועי של 3"

'''השורש הריבועי של 3''', אשר מסומן כ-<math>\sqrt{3}</math> או '''3<sup>1/2</sup>''', הוא ה[[מספר ממשי|מספר הממשי]] ה[[מספר חיובי|חיובי]] שכאשר יוכפל בעצמו, תהיה התוצאה שווה ל-[[2 (מספר)|3]]. [[שורש ריבועי|השורש הריבועי]] של 3 הוא [[מספר אי-רציונלי|מספר אי רציונלי]]. הוא ידוע גם בתור '''הקבוע של תיאודורוס''', על שם [[תיאודורוס מקירנה]], שהוכיח את האי-רציונליות שלו.

נכון לדצמבר 2013, חושבו 10 מיליארד ספרות של <math>\sqrt{3}</math>.{{הערה|{{Cite web|last=Łukasz Komsta|date=|title=Computations &#124; Łukasz Komsta|url=http://www.komsta.net/computations|website=komsta.net|accessdate=September 24, 2016}}}} 65 הספרות הראשונות של <math>\sqrt{3}</math>:

: {{משמאל לימין|1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806}}

הספרות של <math>\sqrt{3}</math> הן {{OEIS|A002194}}.

השבר{{שבר עברית|97|56}} ({{משמאל לימין|1.732142857...}}) הוא [[קירוב]] לשורש - הוא שונה מהערך הנכון בפחות מ-{{שבר עברית|1|10,000}} (בערך<math>9.2\times 10^{-5}</math>).

השבר {{שבר עברית|716035|413403}} ({{משמאל לימין|1.732 050 807 56...}}) הוא מדויק בכ-{{שבר עברית|1|100000000000}} (<math>\frac{1}{10^{11}}</math>).

[[ארכימדס]] חישב טווח עבור הערך של השורש: <math>\left ( \frac{1351}{780} \right )^{2} > 3 >\left ( \frac{265}{153} \right )^{2}</math>;<ref>{{citation|last=Knorr|first=Wilbur R.|authorlink=Wilbur Knorr|issue=2|journal=Archive for History of Exact Sciences|jstor=41133444|mr=0497462|pages=115–140|title=Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation|volume=15|year=1976|doi=10.1007/bf00348496|s2cid=120954547}}.</ref> הגבול התחתון מדויק עבור {{שבר עברית|1|608400}} (6 ספרות אחרי הנקודה) והגבול העליון עבור {{שבר עברית|2|23409}} (4 ספרות אחרי הנקודה).

== ביטויים ==
ניתן לבטא אותו כ[[שבר משולב]] {{ללא גלישה|[1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …]}} ({{OEIS|A040001}}).

ולכן ניתן לומר כי:

: <math>\begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 3 \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}</math>

וכאשר <math>n\to\infty</math>:

: <math> \sqrt{3} = 2 \cdot \frac{a_{22}}{a_{12}} -1 </math>

ניתן לבטא אותו גם כ[[שבר משולב|שבר משולב מוכלל]] כגון:

: <math> [2; -4, -4, -4, ...] = 2 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \ddots}}}</math>

== גאומטריה וטריגונומטריה ==
{{תמונות מרובות
| תמונה1 = Equilateral triangle with height square root of 3.svg
| הערה1 = הגובה של משולש שווה-צלעות בעל אורכי צלעות 2 הוא <math>\sqrt3</math>. בנוסף, אורך הניצב הארוך ב[[משולש זהב]] (משולש בעל זוויות 30, 60 ו-90) שאורך ה[[יתר]] שלו הוא 2 הוא <math>\sqrt3</math>.
| תמונה2 = Root 3 Hexagon.svg
| הערה2 = יתר על כן, הגובה במשושה משוכלל שאורכי צלעותיו הוא 1 הוא <math>\sqrt3</math>.
| רוחב1 = 200
| רוחב2 = 200
}}
[[קובץ:Square_root_of_3_in_cube.svg|ממוזער| אורך האלכסון ב[[קוביית יחידה]] הוא <math>\sqrt{3}</math>]]
[[קובץ:Bilinski_dodecahedron,_ortho_matrix.png|ממוזער| היטל זה של [[תריסריון בילינסקי]] הוא מעוין עם יחס אלכסוני של <math>\sqrt3</math>.]]
ניתן למצוא את השורש הריבועי של 3 כאורך הצלעות של משולש שווה-צלעות ה[[מעגל חסום|חוסם מעגל]] בקוטר 1.

אם [[משולש שווה-צלעות]] בעל צלעות באורך 1 נחתך לשני חצאים שווים, על ידי חציית זווית פנימית כדי ליצור זווית ישרה עם הצלע שמולה, ה[[יתר]] של המשולש ישר-הזווית הוא באורך 1 ואורכן של הצלעות הוא <math>\frac12</math> ו-<math>\frac{\sqrt3}{2}</math>. מכאן, [[טנגנס]] של 60° שווה ל-<math>\sqrt3</math>, וה[[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]] של 60° וה[[קוסינוס]] של 30° שווים ל-<math>\frac{\sqrt3}{2}</math>.

השורש הריבועי של 3 מופיע גם בביטויים אלגבריים עבור קבועים טריגונומטריים אחרים, כולל<ref>Julian D. A. Wiseman [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Sin and Cos in Surds]</ref> הסינוסים של 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° ו-87°.

<math>\sqrt{3}</math> הוא המרחק בין צלעות מקבילות של [[משושה]] משוכלל בעל צלעות באורך 1.

זהו אורך האלכסון הפנימי של [[קוביית יחידה]].

ל[[וסיקה פיסקיס|ווסיקה פיסקיס]] יש יחס בין הציר העיקרי לציר הקטן השווה ל-<math>\sqrt3</math>:1. ניתן להראות זאת על ידי בניית שני משולשים שווי-צלעות בתוכו.

== שימושים אחרים ==
=== הנדסת הספק ===
בהנדסת הספק, ה[[מתח חשמלי|מתח]] בין שתי פאזות ב[[מערכת תלת-פאזית]] הוא פי <math>\sqrt3</math> מהמתח לקו הנייטרלי. הסיבה לכך היא שכל שתי פאזות נמצאות במרחק של 120° זה מזה, ושתי נקודות במעגל המרוחקות 120 מעלות זו מזו מופרדות במרחק שגדול פי <math>\sqrt3</math> מהרדיוס.

== ראו גם ==
* [[השורש הריבועי של 2]]

== קישורים חיצוניים ==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}
<div class="mw-content-ltr">
* {{Cite journal|last=S.|first=D.|last2=Jones|first2=M. F.|year=1968|title=22900D approximations to the square roots of the primes less than 100|journal=Mathematics of Computation|volume=22|issue=101|pages=234–235|doi=10.2307/2004806|jstor=2004806}}
* {{Cite journal|last=Uhler|first=H. S.|year=1951|title=Approximations exceeding 1300 decimals for <math>\sqrt{3}</math>, <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>, <math>\sin(\frac{\pi}{3})</math> and distribution of digits in them|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|volume=37|issue=7|pages=443–447|doi=10.1073/pnas.37.7.443|pmc=1063398|pmid=16578382|doi-access=free}}
* {{Cite book|last=Wells|first=D.|title=[[The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers]]|publisher=Penguin Group|year=1997|edition=Revised|location=London|page=23}}
* {{קישור כללי|כתובת=https://www.mathpages.com/home/kmath038/kmath038.htm|כותרת=Archimedes and the Square Root of 3|תאריך_וידוא=2022-04-02}}
* {{קישור כללי|כתובת=https://www.kcl.ac.uk/mathematics|כותרת=Department of Mathematics {{!}} King’s College London|תאריך_וידוא=2022-04-02}}
</div>

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

{{מספרים אי-רציונליים}}
[[קטגוריה:קבועים מתמטיים]]