הצגת המקור של הדף "השערת ארדש-גראהם"

'''השערת ארדש-גראהם''' היא [[השערה (מתמטיקה)|השערה]] שהוכחה כנכונה ב[[תורת המספרים|תורת המספרים הקומבינטורית]], שלפיה בכל [[חלוקה (תורת הקבוצות)|חלוקה סופית]] של קבוצת המספרים <math>\ 2,3,4,\cdots</math> (המספרים הטבעיים הגדולים מ-1), יש חלק הכולל מספרים שסכום ההופכיים שלהם הוא 1. במילים אחרות, לכל צביעה של המספרים האלו במספר סופי של צבעים, יש "הצגה מונוכרומטית" של 1 כ[[שבר מצרי]] (מניחים ש-1 אינו משתתף במשחק, כדי שלא לקבל את ההצגה הטריוויאלית <math>\ 1 = \frac{1}{1}</math>). את ההשערה הציעו [[פול ארדש]] ו[[רונלד גראהם]] ב-[[1980]], והוכיח אותה ארני קרוט {{אנ|Ernie Croot}} בשנת [[2000]].

לדוגמה, בחלוקת הטבעיים למספרים זוגיים ואי-זוגיים, אפשר להציג את 1 גם כסכום <math>\ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}</math>, וגם כסכום <math>\ \frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\frac{1}{27}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{105}+\frac{1}{135}</math>. השאלה היא האם בכל חלוקה יש הצגה כזו לפחות עבור אחד החלקים.

ארדש וגראהם שיערו בנוסף שקיים קבוע b כך שאם מספר הצבעים ''r'' [[גדול מספיק]], אז המכנה הגדול ביותר שבו נעשה שימוש בהצגה, קטן מ-<math>\ b^r</math>. כדי שהתנאי הזה יתקיים, ידוע שעל ''b'' להיות לפחות ''[[℮ (קבוע מתמטי)|e]]''. קרוט הוכיח שהטענה הזו נכונה עבור <math>b \geq e^{167000}</math>.

תוצאתו של קרוט נובעת כמסקנה ממשפט כללי יותר, שלפיו יש הצגה של 1 באמצעות שברים מצריים שהמכנים שלהם נבחרים מקבוצה ''C'' של [[מספר חלק|מספרים חלקים]] ב[[קטע]]ים מהצורה <math>\displaystyle[X, X^{1+\delta}]</math>, בתנאי ש-''C'' גדולה מספיק כך שסכום ההופכיים של המספרים שם הוא לפחות 6. השערת ארדש-גראהם נובעת מהמשפט הזה, אם מראים שלכל r, ניתן למצוא קטע מהצורה הזו כך שסכום ההופכיים של כל המספרים החלקים הוא לפחות ''6r'', משום שאז יש בכל צביעה ב-r צבעים חלק אחד שסכום ההופכיים עבורו הוא לפחות 6.

ארדש כתב במהלך חייו מאמרים רבים על שברים מצריים. כמעט עשרים שנה אחרי מותו, התפרסם מאמר משותף שלו עם רון גראהם ו-Steve Butler, לאחר שהאחרון השלים, גם באמצעות חישוב אינטנסיבי, פתרון של בעיה אחרת שהציבו ארדש וגראהם: האם אפשר להציג כל מספר שלם כשבר מצרי שבו המכנים הם כולם מכפלה של שלושה ראשוניים {{קישור כללי|כותרת=New Erdős Paper Solves Egyptian Fraction Problem|אתר=Simons Foundation|תאריך=2015-12-09|כתובת=https://www.simonsfoundation.org/2015/12/10/new-erdos-paper-solves-egyptian-fraction-problem/|שפה=en-US|תאריך_וידוא=2021-12-31}}. התשובה, כפי שהוכח ב-2015, חיובית [http://www.math.ucsd.edu/~ronspubs/pre_tres_egyptian.pdf].

== ראו גם ==
* [[משפט מירסקי-ניומן]] {{אנ|Mirsky–Newman theorem}} קובע שבכל חלוקה של השלמים לאיחוד זר של סדרות אריתמטיות מוכרח ההפרש הגדול ביותר להופיע יותר מפעם אחת.
* [[השערת הרצוג-שונהיים]] {{אנ|Herzog–Schönheim conjecture}} מכלילה את הבעיה שביסוד משפט מירסקי-ניומן לחבורה (סופית) כלשהי.

==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
* Croot, Ernest S. III, '''Unit Fractions''', Ph.D. thesis, University of Georgia, Athens, 2000.
* Erdős, Paul and Graham, Ronald L., "Old and new problems and results in combinatorial number theory". '''L'Enseignement Mathématique''' 28:30–44, 2000.
</div>

==קישורים חיצוניים==
* [http://www.math.gatech.edu/~ecroot/ עמוד הבית של ארני קרוט]
* [http://arxiv.org/abs/math.NT/0311421 ההוכחה של קרוט ב-"Annals of Mathematics"]
* {{קישור כללי|הכותב=ארדש, פול וגראהם, רונלד|כותרת=בעיות ותוצאות ישנות וחדשות בתורת המספרים הקומבינטורית|כתובת=http://www.math.ucsd.edu/~fan/ron/papers/80_11_number_theory.pdf|תאריך=1980|עמודים=128|מידע נוסף=שם מקורי: Old and New Problems and Results in combinatorial Number Theory|שפה=אנגלית}}

[[קטגוריה:משפטים בקומבינטוריקה|ארדש-גראהם]]
[[קטגוריה:שברים]]
[[קטגוריה:משפטים בתורת המספרים|ארדש-גראהם]]
[[קטגוריה:פאול ארדש]]