הצגת המקור של הדף "השערת ברטראן"

'''השערת ברטראן''' (על שם ה[[מתמטיקאי]] ה[[צרפתים|צרפתי]] [[ז'וזף ברטראן]]) טוענת כי לכל [[מספר טבעי]] <math>n>3</math> קיים לפחות [[מספר ראשוני]] אחד <math>n<p<2n-2</math>.

גרסה חלשה יותר לטענה: לכל <math>n\ge2</math> קיים לפחות מספר ראשוני אחד <math>n<p<2n</math>.

ברטראן העלה השערה זו לראשונה ב-[[1845]], ואף וידא את תקפותה לכל <math>2\le n\le3\cdot10^6</math>. למעשה השם "השערה" אינו מתאר נכונה טענה זו, שכן בשנת [[1850]] הציג המתמטיקאי ה[[רוסים|רוסי]] [[פפנוטי צ'בישב]] [[הוכחה]] מלאה לטענה, ועל כן היא בגדר [[משפט (מתמטיקה)|משפט]]. לפיכך, היא נקראת לעיתים "משפט ברטראן–צ'בישב" או "משפט צ'בישב". המתמטיקאי ה[[הודו|הודי]] [[סריניוואסה רמנוג'אן]] הציג בשנת [[1919]]{{הערה|[http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper24/page1.htm הוכחתו של רמנוג'אן], שהוצגה ב[[כתב עת|ז'ורנל]] איגוד המתמטיקה ההודי בשנת [[1919]]}} הוכחה פשוטה יותר למשפט, הנעזרת בתכונות של [[פונקציית גמא]], ו[[פאול ארדש]] הציג בשנת [[1932]] הוכחה פשוטה מזו{{הערה|P. Erdos, Acta Litt. Ac. Sci (Szegd) 5 (1932), 194-198. ראו גם: Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, subsection 22.3.}}, הנעזרת ב[[פונקציית צ'בישב]]{{הערה|1=פונקציית צ'בישב מסומנת <math>\vartheta(x)</math> וערכה <math>\vartheta(x)=\sum_{p\,<\,x}\ln(p)</math>, כאשר האינדקס <math>p</math> רץ על מספרים ראשוניים בלבד}} וב[[מקדם בינומי|מקדמים בינומיים]].

==הוכחה==
להלן תובא הוכחתו של [[פאול ארדש]] בשינויים קלים. נקדים לה [[למה (מתמטיקה)|למות]] אחדות:

'''למה 1:''' לכל <math>n\ge1</math> מתקיים <math>\binom{2n}{n}\ge\frac{4^n}{2n}</math>.{{ש}}
'''הוכחה:'''
המקדם הבינומי הזה הוא הגדול מבין 2n המחוברים <math>\binom{2n}{k}</math> (כאשר שני הקצוות נספרים כמחובר אחד) שסכומם הוא <math>4^n</math>; לכן הוא גדול מהממוצע שלהם. 

'''למה 2:''' ([[נוסחת לז'נדר]]) יהי <math>p</math> [[מספר ראשוני]]. נגדיר <math>R(p,n)=\max\left\{r\in\N:p^r\Big|\binom{2n}{n}\right\}</math>. אזי מתקיים <math>R(p,n)\le\log_p(2n)</math>. בפרט:{{ש}}
*עבור <math>p>\sqrt{2n}</math> מתקיים <math>0\le R(p,n)\le1</math>, שכן <math>p^2>2n</math>.
*עבור <math>\frac23n<p\le n</math> אי-זוגי מתקיים <math>p\le n<2p\le2n<3p\le3n</math>, ולכן <math>R(p,n)=0</math>.{{ש}}

'''למה 3:''' מכפלת הראשוניים שאינם גדולים מ-<math>n</math> אינה גדולה מ-<math>4^n</math>.{{ש}}
'''הוכחה:''' נשתמש ב[[אינדוקציה מתמטית#וריאציות|אינדוקציה שלמה]]. נגדיר <math>n\#=\prod_{p\,\le\,n}p</math>.{{ש}}
עבור <math>n=1</math> מתקיים <math>1\#=1\le4</math> ([[מכפלה ריקה]]).{{ש}}
*נניח כי הטענה מתקיימת לכל <math>1\le n\le2k-1</math>. אזי עבור <math>n=2k\ge2</math> מתקיים
:<math>(2k)\#=(2k-1)\#\le4^{2k-1}<4^{2k}</math>
*נניח כי הטענה מתקיימת לכל <math>1\le n\le2k</math>. נרשום <math>(2k+1)\#=(k+1)\#\cdot\frac{(2k+1)\#}{(k+1)\#}</math>.
:<math>\frac{(2k+1)\#}{(k+1)\#}</math> מחלק את <math>\binom{2k+1}{k}=\frac{(2k+1)!}{k!(k+1)!}</math>, שכן כל הראשוניים <math>k+2\le p\le2k+1</math> מופיעים רק במונהו של [[מקדם בינומי|המקדם הבינומי]].{{ש}}{{ש}}
:<math>\begin{align}&\frac{(2k+1)\#}{(k+1)\#}\le\binom{2k+1}{k}\le\sum_{j\,=\,0}^k\binom{2k+1}{j}=\frac12\sum_{j\,=\,0}^{2k+1}\binom{2k+1}{j}=\frac12\cdot2^{2k+1}=4^k\\\\&(2k+1)\#=(k+1)\#\cdot\frac{(2k+1)\#}{(k+1)\#}\le4^{k+1}\cdot4^k=4^{2k+1}\end{align}</math>


[[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי אין ראשוניים <math>n<p<2n</math>.{{ש}}
[[פונקציית המספרים הראשוניים|מספר הראשוניים]] שאינם גדולים מ-<math>n</math> מקיים <math>\pi(n)\le n-1</math>, שכן [[1 (מספר)|המספר 1]] אינו ראשוני ואינו פריק. עבור <math>n>4</math> מתקיים <math>\sqrt{2n}<\frac23n</math>. לכן
:<math>\begin{align}\frac{4^n}{2n}\le\binom{2n}{n}=\prod_{p\,\le\,n}p^{R(p,n)}&=\prod_{p\,\le\,\sqrt{2n}}\!\!p^{R(p,n)}\!\!\!\!\!\!\prod_{\sqrt{2n}\,<\,p\,\le\,\frac23n}\!\!\!\!\!\!\!\!p^{R(p,n)}\!\!\prod_{\frac23n\,<\,p\,\le\,n}\!\!\!\!\!\!p^{R(p,n)}\!\!\prod_{n\,<\,p\,<\,2n}\!\!\!\!p^{R(p,n)}\\\\&\le\prod_{p\,\le\,\sqrt{2n}}\!\!\!2n\!\!\prod_{\sqrt{2n}\,<\,p\,\le\,\frac23n}\!\!\!\!\!\!\!\!p\quad\le\prod_{p\,\le\,\sqrt{2n}}\!\!\!2n\prod_{p\,\le\,\frac23n}\!\!p\\\\&\le(2n)^{\sqrt{2n}-1}\cdot4^{2n/3}\end{align}</math>
קבלנו את האי-שוויון <math>4^{n/3}\le(2n)^{\sqrt{2n}}</math> השקול לאי-שוויון <math>2^x\le x^6</math> כאשר <math>x=\sqrt{2n}</math>. אך אי-שוויון זה מתהפך עבור <math>n>426</math>. סתירה.{{ש}}

עבור <math>n\le426</math> די להראות כי הקטע הפתוח <math>(n,2n)</math> מכיל לפחות אחד מן הראשוניים <math>2,3,5,7,13,23,43,83,163,317,631</math> (אשר כל אחד מהם קטן מפעמיים קודמו).

==נימוק היוריסטי==
מ[[משפט המספרים הראשוניים]] נובעת טענה חזקה בהרבה: לכל <math>\epsilon>0</math>, אם <math>n</math> גדול מספיק אז יש ראשוניים בקטע <math>(n,n+\epsilon n)</math>. הסיבה לכך היא שלפי המשפט, מספר הראשוניים שאינם גדולים מ-<math>x</math> הוא בקירוב <math>\pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)}</math> – כאשר <math>\ln(x)</math> פונקציית [[לוגריתם טבעי|הלוגריתם הטבעי]] ו-<math>\pi(x)</math> פונקציית מספר הראשוניים שאינם גדולים מ-<math>x</math>.

המשפט מאפשר לחשב בקירוב את מספר הראשוניים בקטע. נקבל:
:<math>\pi((1+\epsilon)n)-\pi(n)\sim\frac{(1+\epsilon)n}{\ln((1+\epsilon)n)}-\frac{n}{\ln(n)}=\frac{n}{\ln(n)}\left(\frac{1+\epsilon}{(\ln(1+\epsilon)+\ln(n))/\ln(n)}-1\right)=\frac{n}{\ln(n)}\left(\frac{1+\epsilon}{1+ \ln(1+\epsilon)/\ln(n)}-1\right)\sim\frac{\epsilon n}{\ln(n)}</math> 

כאשר <math>n</math> שואף לאינסוף, ההפרש – מספר הראשוניים בקטע – שואף לאינסוף.

==קישורים חיצוניים==
*{{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}  

{{קצרמר|מתמטיקה}}

[[קטגוריה:משפטים בתורת המספרים|ברטראן]]
[[קטגוריה:מספרים ראשוניים]]
[[קטגוריה:סריניוואסה רמנוג'אן]]