הצגת המקור של הדף "השערת ברץ' וסווינרטון-דייר"

'''השערת ברץ' וסווינרטון-דייר''' היא [[השערה (מתמטיקה)|השערה]] מרכזית על ה[[אריתמטיקה]] של [[עקום אליפטי|עקומים אליפטיים]], שנוסחה ב-[[1963]] על ידי ה[[מתמטיקאי|מתמטיקאים]] [[בראיין ברץ']] (Birch) ו[[פיטר סווינרטון-דייר]] (Swinnerton-Dyer). השערה זו היא בין ה[[בעיה פתוחה במתמטיקה|בעיות הפתוחות]] החשובות ב[[תורת המספרים]], והיא זכתה להכרה כאחת מ"[[שבע בעיות המילניום]]" של [[מכון קליי למתמטיקה]].

ההשערה קושרת תכונות של [[פונקציית L]] של העקום, המוגדרת לפי התנהגות ההיטלים של העקום ל[[שדה סופי|שדות הסופיים]] מסדר ראשוני, עם מערכת הפתרונות הרציונליים של העקום עצמו.

== הטלה של עקום אליפטי ==

אחד הרעיונות היסודיים באריתמטיקה הוא שאפשר ללמוד אובייקט נתון על-פי ההתנהגות של היטלים שלו. במקרה של עקום אליפטי, כגון <math>\ E: y^2=x^3-4x+3</math>, ההיטל מודולו [[מספר ראשוני]] p הוא אוסף הנקודות בשדה הסופי <math>\ \mathbb{F}_p</math>, המקיימות את אותה משוואה. אחת התוצאות הבסיסיות בהקשר זה, [[החסם של הסה]], חוסמת את מספר הפתרונות למשוואה בשדה סופי, וקובעת שמבין <math>\ p^2</math> הזוגות <math>\ (x,y)</math> האפשריים, מספר הפתרונות עומד בין <math>\ p+1-2\sqrt{p}</math> לבין <math>\ p+1+2\sqrt{p}</math>. במילים אחרות, אם <math>\ N_p=p+1-a_p</math> הוא מספר הפתרונות (זהו "הגודל של העקום האליפטי <math>\ E(\mathbb{F}_p)</math>"), אז הסקלר <math>\ a_p</math> מקיים <math>\ |a_p|\leq 2\sqrt{p}</math>. תיאור זה נכון עבור כל מספר ראשוני, פרט למספר סופי של יוצאי דופן (המחלקים את ה[[דיסקרימיננטה]] של העקום).

== פונקציית L של העקום ==

לעקום אליפטי אפשר לצרף פונקציית L, שהיא מעין [[פונקציית זטא]] של העקום. את הבניה תארו לראשונה [[הלמוט הסה]] ו[[הרמן וייל]], ולכן הפונקציה נקראת על שמם. בדומה למכפלת [[לאונרד אוילר|אוילר]] של [[פונקציית זטא של רימן]], <math>\ \zeta(s)=\prod_{p} (1-p^{-s})^{-1}</math>, המתכנסת כאשר <math>\ \Re(s)>1</math>, פונקציית L של העקום E מוגדרת כך: <math>\ L(E,s) = \prod_p (1-a_p\cdot p^{-s}+p\cdot p^{-2s})^{-1}</math>. מכפלה זו מתכנסת כאשר <math>\ \Re(s)>3/2</math>. עם זאת, ההתנהגות של המכפלה חשובה דווקא בסביבת 'הנקודה הקריטית' <math>\ s=1</math>. 

במקרה של פונקציית זטא של רימן, קל ליצור [[המשכה אנליטית]] של [[מכפלת אוילר]], ולחקור את הערכים של הפונקציה לאורך 'הישר הקריטי' <math>\ \Re(s)=1/2</math>. בניגוד לכך, לפונקציית L של עקום אליפטי קשה מאוד לבנות המשכה אנליטית, וידועה דרך ישירה לעשות כן רק כאשר העקום הוא [[עקום אליפטי מודולרי|מודולרי]]. השערתם של ברץ' וסווינרטון-דייר חולקה באופן מסורתי לשלושה חלקים. הראשון בהם הוא ההשערה שאפשר יהיה לבנות המשכה אנליטית עד הנקודה הקריטית לכל עקום.

חלק זה של ההשערה נובע מיידית מ[[השערת טניאמה-שימורה]], שלפיה כל עקום אליפטי המוגדר מעל הרציונליים הוא מודולרי. השערה זו הוכיח [[אנדרו ויילס]], ב-[[1995]], עבור עקומים 'יציבים למחצה', ואז, ב-[[1999]], התברר שהיא נכונה באופן מלא. בכך הושלמה הוכחת החלק הראשון של השערת ברץ' וסווינרטון-דייר.

== דרגת העקום והחלקים האחרים של ההשערה ==

[[משפט מורדל-וייל]] קובע שאוסף הנקודות הרציונליות על העקום E הוא [[חבורה אבלית נוצרת סופית]]. לחבורה זו יש מרכיב [[חבורה בעלת פיתול|מפותל]], קטן יחסית, והמרכיב הנותר הוא [[מודול חופשי|חופשי]], כלומר מן הצורה <math>\ \mathbb{Z}^r</math>. במילים אחרות, לעקום ישנם r פתרונות יסודיים, שאפשר להרכיב מהם (על ידי פעולת החבורה של העקום) את כל הפתרונות האחרים ([[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] פיתול). לערכו של הקבוע r יש חשיבות עצומה בהבנת המבנה הרציונלי של העקום. אם <math>\ r=0</math>, יש על העקום רק מספר סופי של נקודות רציונליות. אם <math>\ r>0</math>, אז מספר הנקודות אינסופי.

הרעיון המנחה את השערת ברץ' וסווינרטון-דייר הוא שמספר הנקודות הרציונליות אמור להיות קשור למספר הנקודות מעל השדות הסופיים: אם <math>\ r=0</math>, אפשר לצפות שיהיו מעט נקודות מעל כל שדה סופי, בעוד שבמקרה האחר, אינסוף הנקודות הרציונליות יוטלו לכל שדה סופי, וייצרו שפע של נקודות בכל מקום. כדי לכמת רעיונות אלה, מתבוננים במכפלה המגדירה את פונקציית L של העקום בנקודה <math>\ s=1</math>: 
: <math>\ L(E,1)=\prod_p (1-a_p p^{-1} + p^{-1})^{-1} = \prod_p \frac{p}{N_p}</math>. 
למרות שמכפלה זו אינה [[טור מתכנס|מתכנסת]], אפשר ללמוד ממנה על העקום מעל שדות סופיים: היחס <math>\ \frac{p}{N_p}</math> קרוב הרי ל-1 (לפי חסם הסה), וכשמכפילים את היחסים האלה אפשר לצפות שיתקבל מספר קטן בדיוק כאשר, באופן ממוצע, מספר הנקודות בכל היטל סופי גדול מן הצפוי. החלק השני של ההשערה קובע, על-פי שיקולים אלה, שההמשכה האנליטית <math>\ L(E,s)</math> מתאפסת ב- <math>\ s=1</math> [[אם ורק אם]] הדרגה <math>\ r>0</math>; ליתר דיוק, ההשערה קובעת שסדר ה[[אפס (אנליזה מרוכבת)|אפס]] שווה ל- r. 

המרכיב השלישי, והאחרון, בהשערה, קושר תכונות נוספות של העקום עם התנהגות עדינה יותר של פונקציית L שלו בנקודה הקריטית. עד כה הוכיחו את החלקים השני והשלישי בהשערה במספר מקרים חשובים, אך איש אינו יודע עדיין איך להוכיח את המקרה הכללי.

== לקריאה נוספת==
<div style="direction: ltr;">

* Henri Darmon, Rational Points on Modular Elliptic Curves, Cbms Regional Conference Series in Mathematics, 2004.
</div>
{{בעיות המילניום של מכון קליי}}
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:תורת המספרים האנליטית]]
[[קטגוריה:פונקציות זטא]]
[[קטגוריה:בעיות המילניום של מכון קליי]]
[[קטגוריה:בעיות פתוחות בתורת המספרים]]