הצגת המקור של הדף "השערת הודג'"

'''השערת הודג'''' (קרויה על שם [[וויליאם הודג']]) היא השערה מרכזית ב[[גאומטריה אלגברית]] ואחת מ-7 [[בעיות המילניום של מכון קליי]]. ההשערה עוסקת בקשר בין הגאומטריה של אוסף הפתרונות למערכת משוואות פולינומית מסוימת לבין מערכות משוואות שמכילות את מערכת המשוואות הנתונה.

==הקוהומולוגיה של יריעה פרויקטיבית חלקה==

[[יריעה אלגברית]] פרויקטיבית היא קבוצת האפסים המשותפים של אוסף כלשהו של [[פולינום|פולינומים]] הומוגנים. אומרים שהיריעה חלקה אם היא [[יריעה חלקה]] במובן של [[גאומטריה דיפרנציאלית]].

תהא <math> X </math> יריעה פרויקטיבית חלקה. כל תת-יריעה פרויקטיבית <math> Y </math> (לאו דווקא חלקה) מגדירה מחלקת קוהומולוגיה <math> \eta_{Y,X}\in H^{2k}(X;\mathbb{Z}) </math>, כאשר <math> k </math> הוא הקו-ממד של <math> Y </math> ב-<math> X </math>. 

הודג' הוכיח שחבורות הקוהומולוגיה של <math> X </math> עם מקדמים מרוכבים מתפרקות לסכום ישר מהצורה

<math> H^k(X;\mathbb{C})=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X), </math>

כאשר תת-המרחב <math> H^{p,q}(X) </math> מכיל את מחלקות הקוהומולוגיה שמיוצגות על ידי תבניות הרמוניות מטיפוס <math> (p,q) </math>. אפשר להראות שלכל תת-יריעה <math> Y </math> מקו-ממד <math> k </math>, מחלקת הקוהומולוגיה <math> \eta_{Y,X} </math> שייכת לתת המרחב <math> H^{k,k}(X) </math>. השערת הודג' היא שמחלקות הקו הומולוגיה של תתי יריעות לא נמצאות בתת-מרחב קטן יותר.

==ניסוח ההשערה==

'''השערת הודג':''' אם <math> X </math> יריעה פרויקטיבית חלקה, אז, לכל <math> k </math>, תת-המרחב <math> H^{2k}(X;\mathbb{Q})\cap H^{k,k}(X) </math> נפרש על ידי מחלקות הקוהומולוגיה של תתי היריעות של <math> X </math>.

==מקרים שבהם ההשערה ידועה==

1. המקרה <math> k=1 </math> נובע ממשפט של [[סולומון לפשץ]]. המקרה <math> k=dim(X)-1 </math> נובע מזה ומ[[משפט לפשץ החזק]].
בפרט, ההשערה נכונה עבור יריעות מממד קטן מ-4.

2. חוג הקוהומולוגיה של [[יריעה אבלית]] גנרית נוצר על ידי חבורת הקוהומולוגיה השנייה (שעבורה ההשערה נכונה) ומכאן נובע שההשערה נכונה עבור יריעות אבליות גנריות.

==קישורים חיצוניים==
* {{קישור כללי
|כותרת = השערת הודג'
|כתובת = http://www.claymath.org/millennium-problems/hodge-conjecture/
|תאריך_וידוא = 20-פברואר-2016
|הכותב =  
|תאריך = 
|עמודים = 
|שפה = אנגלית
|doi = 
|ציטוט = In the twentieth century mathematicians discovered powerful ways to investigate the shapes of complicated objects.
|אתר= באתר של [[מכון קליי למתמטיקה]]
|מידע נוסף = כולל קישורים: {{PDF}} לניסוח הרשמי והרצאה להסבר
}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
{{בעיות המילניום של מכון קליי}}

{{מיון רגיל:הודג', השערת}}
[[קטגוריה:בעיות פתוחות באלגברה]]
[[קטגוריה:בעיות פתוחות בטופולוגיה]]

[[קטגוריה:בעיות המילניום של מכון קליי]]
[[קטגוריה:תורת ההומולוגיה|הודג']]