הצגת המקור של הדף "השערת פואנקרה"

{{חומר רקע|<center>[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]], [[יריעה]], [[מרחב פשוט קשר]]</center>
|250px}}
[[קובץ:Poincare.jpg|250px|ממוזער|שמאל|[[אנרי פואנקרה]] - {{משמאל לימין|Henri Poincaré}}, {{מימין לשמאל|1854 – 1912}}]][[קובץ:Perelman, Grigori (1966).jpg|250px|ממוזער|שמאל|[[גריגורי פרלמן]] (Григорий Перельман) נולד ב-1966. מוכיח השערת פואנקרה.]]
[[קובץ:P1S2all.jpg|250px|ממוזער|שמאל|איור המדגים שה[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] הדו-ממדית [[מרחב פשוט קשר|פשוטת קשר]]: כל [[מסילה (מתמטיקה)|לולאה]] על הספירה ניתן לכווץ לנקודה. באופן דומה גם הספירה התלת-[[ממד (מתמטיקה)|ממד]]ית פשוטת קשר. הספירה היא גם [[יריעה טופולוגית|יריעה]] (ללא שפה) [[מרחב קשיר|קשירה]] ו[[מרחב קומפקטי|קומפקטית]]. השערת פואנקרה אומרת שכל יריעה (תלת-ממדית) כזו היא בעצם הספירה.]]
[[קובץ:Torus_cycles.svg|250px|ממוזער|שמאל|איור המדגים שה[[טורוס]] אינו [[מרחב פשוט קשר|פשוט קשר]]: באיור מופיעות שתי [[מסילה (מתמטיקה)|לולאות]] שאותן אי-אפשר לכווץ לנקודה]]

ב[[מתמטיקה]], '''השערת פואנקרה''' היא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] המאפיין את ה[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] התלת-ממדית מבין כל ה[[יריעה|יריעות]] מאותו ממד. ההשערה, שהציע [[אנרי פואנקרה]] בשנת [[1904]], נחשבה במשך שנים לאחת ה[[בעיה פתוחה במתמטיקה|בעיות הפתוחות]] החשובות ביותר ב[[טופולוגיה]]. ההשערה קובעת: {{ציטוט
|תוכן=כל [[יריעה טופולוגית]] תלת-ממדית [[יריעה סגורה|סגורה]] (כלומר [[קבוצה קומפקטית|קומפקטית]] וללא שפה) ו[[מרחב פשוט קשר|פשוטת קשר]] היא [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפית]] (כלומר, שקולה מנקודת מבט טופולוגית) ל[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] התלת-ממדית.}}

במהלך [[המאה ה-20]] עמלו מתמטיקאים רבים על השערה זו ועל [[השערת פואנקרה המוכללת|גרסה רב ממדית שלה]]. הניסיונת להוכיח את ההשערה הובילו לתוצאות רבות וחשובות בטופולוגיה אלגברית, וזיכו מספר מתמטיקאים ב[[מדליית פילדס]]. בין היתר, בשנת 1961 הוכחה גרסה של ההשערה עבור ממדים גבוהים מ-4 על ידי [[סטיבן סמייל]] (Stephen Smale), ובשנת 1982 הוכחה גרסה 4-ממדית של ההשערה על ידי [[מייקל פרידמן]].

בשנת [[2000]] נבחרה ההשערה על ידי [[מכון קליי]] כאחת משבע [[בעיות המילניום]],{{הערה|{{קישור כללי
|כתובת = https://www.claymath.org/millennium/poincare-conjecture/
|כותרת = Poincaré Conjecture
|תאריך_וידוא = 20.02.2016
|שפה = אנגלית
|ציטוט = If we stretch a rubber band around the surface of an apple, then we can shrink it down to a point by moving it slowly, without tearing it and without allowing it to leave the surface.
|אתר= באתר [[מכון קליי למתמטיקה]]
|מידע נוסף = הסבר קצר עם איור, וקישורים למידע מפורט יותר
}}}} שעבור פתרון מלא של אחת מהן מציע המכון פרס כספי בסך [[מיליון]] [[דולר אמריקני|דולר]].

בסדרת מאמרים שכתב בשנים [[2002]] ו-[[2003]], הציג המתמטיקאי [[גריגורי פרלמן]] [[הוכחה]] להשערה. הצגת ההוכחה לא הייתה שלמה, ומתמטיקאים רבים בעולם החלו ללמוד את הרעיונות החדשים ולהשלים את הפרטים החסרים. עד אמצע [[2006]] התגבשה הסכמה שהוכחתו של פרלמן הביאה את הבעיה אל סיומה, והוא נבחר לקבל את [[מדליית פילדס]], אך דחה אותה.

ב-18 במרץ 2010 הכריז מכון קליי על זכאותו של פרלמן לפרס,{{הערה|[https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2022/06/Poincare-press-release.pdf Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture a Awarded to Dr. Grigoriy Perelman], Clay Mathematics Institute, March 18, 2010|כיוון=שמאל}} אך פרלמן סירב לקבלו. בספטמבר 2011 החליט המכון לתרום את הסכום כמלגות.

== יריעות ==
{{ערך מורחב|יריעה}}
אחת הבעיות השכיחות ב[[טופולוגיה]] ו[[גאומטריה]] היא מחקר של מרחבים, אשר נראים במרחקים קצרים כ[[מרחב אוקלידי]]. פני [[כדור הארץ]] הם דוגמה למרחב כזה: בעוד שבמרחקים קצרים פני כדור הארץ נראים כמישור, בכללותם הם מהווים [[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] דו-ממדית.

דוגמה נוספת היא מבנה [[היקום]] על פי [[תורת היחסות הכללית]]. במרחקים קצרים תורת היחסות הכללית מתלכדת עם [[תורת היחסות הפרטית]] לפיה מבנה היקום (כולל ממד הזמן) הוא מרחב 4-ממדי "שטוח" (מקביל בתכונותיו למרחב אוקלידי תלת־ממדי). אולם מבנה היקום בכללותו מסובך בהרבה.

כדוגמה נוספת, אפשר לתאר נמלה המשוטטת על מעטפת של [[בלון]]. בהנחה שתמונת העולם של הנמלה היא דו-ממדית ומקומית, היא אינה יכולה לדעת האם העולם שלה הוא אכן בצורת פני [[כדור (גאומטריה)|כדור]], או שאולי מדובר במישור המתמשך לאינסוף, או ב[[בקבוק קליין]]. מרחבים כאלה, שבאופן מקומי נראים כמרחב אוקלידי בעל ממד קבוע, נקראים בטופולוגיה [[יריעה טופולוגית|יריעות]].

כשחוקרים יריעות מבחינה טופולוגית, אין משמעות כמותית למושג מרחק אלא מתעניינים רק בתכונות היריעה הנשמרות תחת מתיחות וכיווצים. לדוגמה, מבחינה טופולוגית, בלון אינו משתנה אם מנפחים אותו, או מעוותים את צורתו, למעשה הוא שקול מבחינה טופולוגית לפני כדור הארץ.

בשם "הספירה התלת-ממדית" ({{משמאל לימין|3-sphere}}) מתכוונים ל[[שפה (טופולוגיה)|שפתו]] התלת-ממדית של [[כדור (טופולוגיה)|כדור]] ב[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]] הארבע-ממדי, כלומר לקבוצה מהצורה <math>\ \{(x,y,z,u)|x^2+y^2+z^2+u^2=1\}</math>. באופן דומה, "הספירה הדו-ממדית" היא שטח הפנים של כדור תלת-ממדי, כגון פני [[כדור הארץ]], ו"הספירה החד-ממדית" היא [[מעגל]]. הראשונה היא יריעה דו-ממדית, והשנייה – יריעה חד-ממדית.

באופן פורמלי ניתן להגדיר יריעה טופולוגית בצורה הבאה:
קבוצה <math>X \subset \R^n</math> במרחב האוקלידי מהווה [[יריעה טופולוגית]] (ללא שפה) מממד <math>k</math> אם לכל נקודה <math>x\in X</math> קיים כדור פתוח <math>B</math> סביבה כך ש החיתוך <math>B \cap X</math> [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפי]] למרחב האוקלידי <math> \R^k</math>, כלומר קיימת [[פונקציה]] [[פונקציה רציפה|רציפה]] [[פונקציה_חד-חד-ערכית|חד-חד ערכית]] ו[[העתקה על|על]] <math>\phi:X\cap B \to \R^k</math>.כך שההעתקה ההופכית של <math>\phi</math> גם היא רציפה.

יריעה טופולוגית היא הגרסה הבסיסית ביותר של מושג היריעה. יש גרסאות נוספות המבוססת על גרסה זו. השערת פואנקרה, בנסוחה המקובל עוסקת ביריעות טופולוגיות.

הקבוצה <math>X</math> נקראת [[מרחב קומפקטי|קומפקטית]] אם היא [[קבוצה סגורה|סגורה]] ו[[קבוצה חסומה|חסומה]].

==ניסוח ההשערה וגרסאותיה==
יריעה <math>X</math> נקראת [[מרחב קשיר מסילתית|קשירה (מסילתית)]] אם כל שתי נקודות ב <math>X</math> ניתן לחבר ב[[עקום]] המשוכן ב-<math>X</math>. היריעה <math>X</math> נקראת [[מרחב פשוט קשר|פשוטת קשר]] אם כל עקום סגור ב-<math>X</math> אפשר לכווץ, כלומר להקטין אותו ברציפות (מבלי שאף חלק ממנו יצא מ-<math>X</math>) לנקודה. באופן פורמלי יותר. עקום סגור הוא העתקה רציפה <math>\gamma: S^1\to X</math> מ[[מעגל]] ל <math>X</math>. לכווץ את העקום משמעו להרחיב העתקה זו להעתקה רציפה <math>\bar\gamma:D\to X</math> מ[[עיגול]] ל-<math>X</math>. כאמור, השערת פואנקרה טוענת:
{{ציטוט|תוכן=כל יריעה טופולוגית תלת-ממדית (ללא שפה) קומפקטית, קשירה ופשוטת קשר הומיאומורפית לספירה התלת ממדית.}}

===הכללות לממד גדול מ-3===
להשערת פואנקרה יש הכללה ליריעות מממד כלשהו. הכללה זו נקראת [[השערת פואנקרה המוכללת]] {{אנ|Generalized Poincaré conjecture}}. ולעיתים גם סתם השערת פואנקרה. להכללה זו מספר ניסוחים שקולים. אחד מהם מבוסס על מושג [[שקילות הומוטופית|השקילות ההומוטופית]]. באופן אינטואיטיבי שני מרחבים טופולוגיים <math>X</math> ו- <math>Y</math> שקולים הומוטופית, אם כל אובייקט שניתן לכיווץ ב-<math>X</math> ניתן גם לכיווץ ב-<math>Y</math>. באופן יותר פורמלי שקילות הומוטופית היא העתקה רציפה <math>\phi:X\to Y</math> כך שקיימת העתקה רציפה <math>\psi:Y\to X</math> כך שההרכבות <math>\alpha:=\phi \circ \psi</math> ו-<math>\beta:=\psi\circ \phi</math> [[הומוטופיה|הומוטופיות]] להעתקות הזהות (על המרחבים <math>Y</math> ו-<math>X</math> בהתאמה). כלומר, ניתן לשנות את <math>\alpha</math> ו-<math>\beta</math> באופן הדרגתי עד שיהפכו להעתקת הזהות.

כעת ניתן לנסח את השערת פואנקרה המוכללת כך:

{{ציטוט|תוכן=כל יריעה טופולוגית מממד <math>k</math> (ללא שפה) קומפקטית, השקולה הומוטופית לספירה <math>k</math>-ממדית גם הומיאומורפית לספירה זו.}}

על פניו השערה זו, למקרה <math>k=3</math>, נראית חלשה יותר מהשערת פואנקרה. בעוד שברור שכל [[מרחב טופולוגי]] ששקול הומוטופית לספירה (מממד גדול מ-1) הוא פשוט קשר, ההפך אינו נכון באופן כללי. הטענה הבאה סוגרת פער זה:

'''טענה:''' אם <math>X</math> יריעה טופולוגית <math>k</math>-ממדית (ללא שפה) קומפקטית קשירה ופשוטת קשר כך שלכל <math>1< i \leq \frac{k}{2}</math> [[חבורות ההומולוגיה]] <math>H_i(X)</math> מתאפסת אז <math>X</math> שקולה הומוטופית לספירה <math>k</math>-ממדית.
{{טבלה מוסתרת|עיצוב=|עיצוב כותרת=|תוכן=מכך ש-<math>X</math> פשוטת קשר נובע שהיא [[יריעה אוריינטבילית|אוריינטבילית]]. כמו כן זה גם גורר ש <math>H_1(X)=0</math>.  לכן, לפי [[דואליות פואנקרה]], תנאי הטענה גוררים שכל חבורות ההומולגיה של <math>X</math> מתאפסות, פרט ל <math>H_0(X)</math> ו-  <math>H_k(X)</math> האיזומורפיות ל-<math>\Z</math>. לפי [[משפט הורביץ (טופולוגיה אלגברית)|משפט הורביץ]]  עובדה זו, יחד עם פשיטות הקשר של <math>X</math>, גוררת ש[[חבורות ההומוטופיה]] <math>\pi_i(X)</math>
[[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאליות]] לכל  <math>i<k</math> וש <math>\pi_k(X)\cong \Z</math>. נבחר נציג <math>\phi:S^k\to X</math> של יוצר של <math>\pi_k(X)</math>. נקבל ש-<math>\phi</math>  משרה איזומורפיזם על כל חבורות ההומולוגיה וגם על החבורה היסודית. לפי משפט הורביץ זה גורר ש-<math>\phi</math> משרה איזומורפיזם על כל [[חבורות ההומוטופיה]]. במילים אחרות <math>\phi</math> מהווה [[חבורות_ההומוטופיה#שקילות_הומוטופית_חלשה_ומשפט_וייטהד|שקילות הומוטופית חלשה]]. לפי משפט של קירבי{{הערה|עמ' 4 ב-[https://www.mn.uio.no/math/tjenester/kunnskap/kompendier/seminar-holm.pdf Structure theory of manifolds]}} <math>X</math> שקולה הומוטופית ל[[מרחב CW|קומפלקס תאי]]. לכן לפי [[משפט וייטהד]] <math>\phi</math>  היא שקילות הומוטופית.|כותרת=הוכחה|לא מוסתר=}}

טענה זו מספקת מספר ניסוחים שקולים להשערת פואנקרה המוכללת. למשל, במקום לדרוש ש-<math>X</math> שקול הומוטופית לספירה די לדרוש ש-<math>X</math> פשוטת קשר ושחבורות ההומולוגיה שלה איזומורפיות לאלה של הספירה.

===גרסאות לסוגים שונים של יריעות ===
בתקופתו של פואנקרה המושג יריעה עדיין לא הוגדר כראוי. במחצית הראשונה של המאה ה-20 הוגדרו מספר גרסאות למושג היריעה. השערת פואנקרה מתייחסת ל[[יריעה טופולוגית|יריעות טופולוגיות]] שהוא המושג הכללי ביותר של יריעה. יש להשערת פואנקרה גרסאות עבור סוגים נוספים של יריעות: [[יריעה חלקה|יריעות חלקות]] (יריעות שעליהן ניתן להגדיר את מושג ה[[נגזרת]]) ו[[יריעה ליניארית למקוטעין|יריעות ליניאריות למקוטעין]] {{אנ|Piecewise linear manifold}}, (מושג שמהווה מושג ביניים בין יריעות טופולוגיות ויריעות חלקות). באופן עקרוני, אף אחת מגרסאות אלה אינה גוררת את האחרת. לדוגמה, כל יריעה חלקה היא יריעה טופולוגית אבל לא להפך, כך שההשערה עבור יריעות טופולוגיות היא כללית יותר מאשר ההשערה עבור יריעות חלקות. אולם, אם יריעה חלקה היא [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפית]] לספירה (שקולה לספירה כיריעה טופולוגית) אין זה אומר שהיא [[דיפיומורפיזם|דיפיומורפית]] לה (שקולה לספירה כיריעה חלקה), כך שההשערה עבור יריעות טופולוגיות לא גוררת את השערה עבור יריעות חלקות.

לפי [[משפט מויס]] {{אנ|Moise's theorem}}, כל הגרסאות האלה שקולות זו לזו בממד 3. בממד כללי רק הגרסה ליריעות טופולוגיות הוכחה. הגרסה ליריעות חלקות הופרכה והגרסה ל[[יריעה ליניארית למקוטעין|יריעות ליניאריות למקוטעין]] עודנה פתוחה.

==התפתחות ההשערה והוכחתה ==
===המקרה החד-ממדי===
{{מפת תמונה
| תמונה = Connected_Curves.png
| הצמדה = ימין
| רוחב קטן = 150
| סימון = כן
| הגדלה = לא
| כיתוב תמונה = ארבעת [[עקום|העקומים]] (לרבות עקומים עם [[יריעה עם שפה|שפה]]) [[מרחב קשיר|הקשירים]] (עד כדי [[הומיאומורפיזם]]). מתוכם רק המעגל הוא עקום סגור – [[מרחב קומפקטי|קומפקטי]] ללא שפה.
| מיפוי =
rect 9 66 78 90 [[קטע פתוח]]
rect 7 3 77 26 [[קטע סגור]]
circle 107 47 28 [[מעגל]]
rect 6 34 72 58 [[קטע סוגור למחצה]]
}}{{ערך מורחב|עקומה}}
ירעות חד־ממדיות נקראות [[עקומה|עקומים]]. עקומים לא מהווים מוקד עניין ב[[טופולוגיה גאומטרית]] ו[[טופולוגיה אלגברית|אלגברית]]. מיונם פשוט למדי. בפרט העקום (ללא שפה) [[מרחב קומפקטי|הקומפקטי]] הקשיר היחיד (עד כדי הומיאמורפיזם) הוא [[מעגל]]. בתקופתו של פואנקרה, לפני שמושג היריעה הוגדר באופן פורמלי, עובדה זו לא נחשבה לטענה שדורשת הוכחה, ולכן גם המקרה החד-ממדי של השערת פואנקרה נחשב לטריוויאלי. בתחילת המאה ה-20, כאשר מושג ה[[יריעה טופולוגית|יריעה]] הוגדר פורמלית, גם מוינו כל העקומים ובהתאם הגרסה החד-ממדית של השערת פואנקרה מעולם לא היוותה מוקד עניין.

===המקרה הדו-ממדי===
{{ערך מורחב|משטח (טופולוגיה)}}
<!-- [[קובץ:Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg|200px|ממוזער|שמאל|[[ברנהרד רימן]] מאבות ה[[גאומטריה]] המודרנית. מיין משטחים בהקשר גאומטרי. המיון דומה למיון הטופולוגי]]
 -->
יריעות דו-ממדיות נקראות [[משטח (טופולוגיה)|משטחים]]. מיון של משטחים קומפקטיים התבצע בעיקרו במהלך המאה ה-19. המיון התפתח באופן הדרגתי והתבצע על ידי מספר מתמטיקאים. מיון זה לא היה [[ריגורוזיות|ריגורוזי]], בין היתר מכיוון שהמושג המודרני של יריעה לא היה קיים. מיון ריגורוזי הושלם ב[[שנות ה-20 של המאה ה-20|שנות ה-20]] על ידי [[ברהאנה]].{{הערה|ראו נספח D ב-[https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-3-642-34364-3.pdf A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces]}}

פואנקרה, שהיה מהאבות המייסדים של ה[[טופולוגיה אלגברית|טופולוגיה האלגברית]], פיתח את מושג ה[[הומולוגיה (מתמטיקה)|הומולוגיה]] - אחד הכלים הראשונים שפותחו במסגרת הטופולוגיה האלגברית. תורת ההומולוגיה מצמידה לכל [[מרחב טופולוגי]] סדרה של [[חבורה אבלית|חבורות אבליות]] הנקראות חבורות ההומולוגיה שלה.{{הערה|זהו תיאור מודרני של מושג [[חבורות ההומולוגיה|ההומולוגיה של מרחב טופולוגי]]. אצל פואנקרה המושג היה מעט שונה}} למרחבים [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפיים]] יש חבורות הומולוגיה [[איזומורפיות]]. פואנקרה חישב את חבורות ההומולוגיה של כל המשטחים הקומפקטיים וגילה שגם ההפך נכון: אם חבורות ההומולוגיה של שני משטחים איזומורפיות אז המשטחים הומיומורפיים. עובדה זו מוכיחה את הגרסה הדו-ממדית של השערת פואנקרה.
{|class="wikitable" style="; text-align:center;"
|-
|[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]]
[[קובץ:Green_Sphere_illustration.png|150px|ספירה]]
<math>H_0=\Z,\, H_1=0,\,H_2=\Z</math>

[[גנוס (טופולוגיה)|גנוס]] = 0
|[[טורוס]]
[[קובץ:Torus illustration.png|150px|טורוס]]
<math>H_0=\Z,\, H_1=\Z^2,\,H_2=\Z</math>

גנוס = 1
|[[קובץ:Double torus illustration.png|150px|משטח מגנוס 2]]
<math>H_0=\Z,\, H_1=\Z^4,\,H_2=\Z</math>

גנוס = 2
|[[קובץ:Triple torus illustration.png|150px|משטח מגנוס 3]]
<math>H_0=\Z,\, H_1=\Z^6,\,H_2=\Z</math>

גנוס = 3
|<math>\dots</math>
|-
|[[מישור פרויקטיבי]]
[[קובץ:Boy_surface_green.png|150px|מישור פרויקטיבי]]
<math>H_0=\Z,\, H_1=\Z/2\Z,\,H_2=0</math>

[[גנוס (טופולוגיה)|גנוס]] = 0
|[[בקבוק קליין]]
[[קובץ:Klein_bottle_green.png|150px|בקבוק קליין]]
<math>H_0=\Z,\, H_1=\Z\oplus \Z/2\Z,\,H_2=0</math>

גנוס = 1
|<math>\R P^2\#\R P^2 \#\R P^2</math>
<math>H_0=\Z,\, H_1=\Z^2\oplus \Z/2\Z,\,H_2=0</math>

גנוס = 2
|<math>\R P^2\#\R P^2 \#\R P^2\#\R P^2</math>
<math>H_0=\Z,\, H_1=\Z^3\oplus \Z/2\Z,\,H_2=0</math>

גנוס = 3
|<math>\dots</math>
|-
|colspan="5"| המיון של [[משטח (טופולוגיה)|משטחים]] [[יריעה סגורה|סגורים]] (משטחים [[מרחב קומפקטי|קומפקטיים]] ללא [[יריעה עם שפה|שפה]]) יחד עם [[חבורות ההומולוגיה|חבורות ההומולגיה]] שלהם ו[[גנוס (טופולוגיה)|הגנוסים]] שלהם. בשורה הראשונה משטחים [[יריעה אוריינטבילית|אוריינטביליים]] ובשורה השנייה משטחים לא אוריינטביליים.
|}

===המקרה התלת-ממדי - ניסוח ההשערה ===
[[קובץ:PSM_V82_D416_Henri_Poincare.png|200px|ממוזער|שמאל|[[אנרי פואנקרה]] - מאבות הטופולוגיה האלגברית, ניסח את ההשערה בתחילת [[המאה ה-20]]]]
[[קובץ:Icosahedron.stl|ממוזער|ימין|מודל תלת־ממדי של [[עשרימון משוכלל]]. אחת ההגדרות של [[ספירת פואנקרה]] היא "אוסף כל העשרימונים משוכללים בעלי אותו מרכז וקוטר במרחב". ספירת פואנקרה היא דוגמה נגדית לגרסה מוקדמת של ההשערה, והיא זאת שהובילה את פואנקרה לניסוח השערה בגרסתה הנוכחית.]]
פואנקרה תהה אילו תכונות מטופולוגיה אלגברית דרושות כדי לאפיין גופים טופולוגיים פשוטים, כמו הספירה התלת-ממדית. פואנקרה חשב בתחילה שכמו במקרה הדו-ממדי, די בחבורות ההומולוגיה של הספירה כדי לתאר אותה, דהיינו שגוף תלת-ממדי שיש לו אותה הומולוגיה כמו לספירה, מוכרח להיות ספירה בעצמו, והוא אף העלה טענה זו על הכתב ב-[[1900]]. כמה שנים אחר-כך, ב-1904, מצא פואנקרה [[דוגמה נגדית]] להשערה זו: הוא גילה מרחב (הקרוי [[ספירת פואנקרה]]), שיש לו הומולוגיה של ספירה, אך הם אינם שקולים זה לזה.

בטופולוגיה האלגברית ידועה שיטה נוספת, שהיא במובנים מסוימים עדינה יותר מן ההומולוגיה. התבוננות ב[[מסילה (מתמטיקה)|לולאות]] העוברות במרחב נתון מאפשרת להצמיד לו חבורה נוספת, הקרויה [[החבורה היסודית]], שאינה חייבת להיות [[חבורה אבלית|אבלית]]. חבורה זו היא טריוויאלית (כלומר, יש בה רק איבר אחד), אם כל לולאה סגורה העוברת במרחב אפשר לכווץ בהדרגה לנקודה, בלי לצאת מגבולות המרחב. מרחב שיש לו תכונה זו נקרא [[מרחב פשוט קשר]]. הספירה היא פשוטת קשר, בעוד שלספירת פואנקרה יש חבורה יסודית מ[[סדר של חבורה|סדר]] 120 ולכן הם אינם יכולים להיות הומיאומורפיים זה לזה.

בעקבות הבחנה זו, העלה פואנקרה את ההשערה שאם ליריעה תלת-ממדית סגורה יש אותה חבורה יסודית כמו לספירה, אזי היא הומיאומורפית אליה.

===פירמול ההשערה וגרסאותיה===
[[קובץ:Hausdorff_1913-1921.jpg|200px|ממוזער|שמאל|[[פליקס האוסדורף]] - הגדיר את המושג המודרני של [[מרחב טופולוגי]] בעשור השני של המאה ה-20. הגדיר גם את [[מרחק האוסדורף]] שהיה, לאחר שנים, הבסיס של אחד הכלים בהוכחת השערת פואנקרה]]
{{תמונות מרובות
| יישור = שמאל
| סיומת = [[הרמן וייל]] ו[[הסלר ויטני]]. מאבות תורת היריעות המודרנית.
| רוחב = 125
| תמונה1 = Portrait_of_Hermann_Weyl_(1885-1955),_Mathematician_(2553692300)_cropped.jpg
| חלופי1 = וייל
| תמונה2 = WhitneyHassler Moscow1935.tif
| חלופי2 = ויטני
}}

<div style="width: auto; float:left; clear:left;">
{|class="wikitable" style="float:left; text-align:center;"
|-
|[[קובץ:Samuel_Eilenberg_MFO_cropped.jpg|120px|סמואל אלנברג]]
|[[קובץ:Hurewicz 2.jpeg|120px|ווטולד הורביץ]]
||[[קובץ: Henry_whitehead_age_30_approx.jpg|120px|ג'ון וייטהד]]
|-
|colspan="3"| [[סמואל אלנברג]], [[ווטולד הורביץ]] ו[[ג'ון וייטהד]]. מאבותיה של [[טופולוגיה אלגברית|הטופולוגיה האלגברית]] המודרנית.
|}
</div>
במחצית הראשונה של [[המאה ה-20]] תחום הטופולוגיה בכלל והטופולגיה האלגברית והגאומטרית בפרט התפתח מאוד. התפתחות זו אפשרה את הניסוח המודרני והמדויק של ההשערה. היא גם אפשרה לעמוד על דקויות בניסוח ההשערה שלא היו ברורות קודם לכן, ובהתאם נוסחו מספר גרסאות להשערה. כמו כן נוצר עניין בהכללות של ההשערה לממדים גבוהים מ-3. הכלים שפותחו בתקופה זו היוו את אבני הבניין בהוכחות ההשערה, הכללותיה וגרסאותיה.

====פירמול הטופולוגיה הקבוצתית====
{{ערך מורחב|טופולוגיה קבוצתית}}
בעשור השני של המאה ה-20 פיתח [[פליקס האוסדורף]] את המושג [[מרחב טופולוגי]]. אומנם תחום הטופולוגיה היה קיים כבר שנים רבות אך מושג זה אפשר לנסח תוצאות והשערות בתחום בצורה ריגורוזית הדומה לצורה שבה מתמטיקאים מדברים עליהן כיום. עבודותיו של האוסדורף לא התמקדו ביריעות אלא במרחבים טופולוגיים ו[[מרחב מטרי|מטריים]] כלליים. כשהוכחה השערת פואנקרה, כמאה שנים לאחר האוסדורף, התברר שכחלק מההוכחה הופיעו מרחבים מטריים שאינם יריעות כלל. עבודתו של האוסדורף על מרחבים אלו הייתה שימושית מאוד בהוכחה. ספציפית, המושג [[מרחק האוסדורף]], המהווה מושג של מרחק בין שתי תת-קבוצות של מרחב מטרי, היה הבסיס לאחד הכלים בהוכחה.

====פירומול מושג היריעה====
{{הפניה לערך מורחב|ערכים=[[יריעה טופולוגית]], [[יריעה חלקה]]}}
בהתבסס על עבודותיו של האוסדורף נתן [[הרמן וייל]] הגדרה ריגוזית למושג יריעה חלקה. המיון הריגורוזי של משטחים התבצע בשנות ה-20 על ידי [[רוי הנרי ברהאנה|ברהאנה]],{{הערה| ראו [https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-3-642-34364-3.pdf A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces]}}
באופן סיסטמטי יותר פותח מושג היריעה על ידי [[הסלר ויטני]].{{הערה|ראו [https://philarchive.org/archive/IUROTHv1 On the History of Differentiable Manifolds]}} עבודות אלה אפשרו לנסח את השערת פואנקרה באופן ריגורוזי, כמו כן אפשרו לעמוד על ההבדלים בין הגרסאות עבור מחלקות יריעות שונות: יריעות טופולוגיות ויריעות חלקות.

====פירומול ופיתוח הטופולוגיה האלגברית====
עבודותיו של פואנקרה הניחו את היסודות לטופולוגיה האלגברית המודרנית. עם זאת, הגדרותיו לא היו מלאות. למשל מושג ההומולוגיה שפואנקרה הגדיר הניח קיום של טריאנגולציה על יריעה – דבר שאינו קיים באופן כללי. כמו כן, ההומולוגיות של פואנקרה לא היו חבורות (כפי שהן היום) אלה מספרים הנגזרים מחבורות אלה. מתמטיקאים רבים ([[אמי נטר]], [[ג'יימס אלכסנדר]], [[סולומון ליפשיץ]] ואחרים) שיפרו הגדרות אלה עד שבשנת [[1944]] הגיע [[סמואל אלנברג]] להגדרה המקובלת כיום.{{הערה|[https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf algebraic topology] עמ' 130-131}}{{הערה|[http://www.normalesup.org/~oudomphe/seminaires/spf/publi/expo13.pdf L’émergence de la notion de groupe d’homologie]|כיוון=שמאל}}

עבודתו של פואנקרה היוותה גם את הבסיס ל[[תורת ההומוטופיה]]. פואנקרה הגדיר את החבורה היסודית שהיא הראשונה בסדרה של חבורות הנקראות [[חבורת הומוטופיה]]. את יתר חבורת ההומוטופיה הגדירו [[אדוארד צ'אך]]{{אנ|Eduard Čech}} ו[[ווטולד הורביץ]]{{אנ|Witold Hurewicz}} ב[[שנות ה-30 של המאה ה-20|שנות ה-30]]. הורביץ הגדיר גם את מושג [[שקילות הומוטופית|השקילות ההומוטופית]] והוכיח את [[משפט הורביץ (טופולוגיה אלגברית)|משפט הורביץ]] החוקר את הקשר בין הומולוגיה והומוטופיה.{{הערה|[http://faculty.washington.edu/ivogt/HisMathSeminar_HomotopyTheory.pdf A (Brief) History of Homotopy Theory]|כיוון=שמאל}}

פיתוח חשוב נוסף בתחום הטופולוגיה האלגברית היה מושג ה[[מרחב CW|קומפלקס התאי]]. מושג זה פותח על ידי [[ג'ון וייטהד]] ומהווה מסגרת טובה עבור הטופולוגיה האלגברית. כל התוצאות בטופולוגיה האלגברית עובדות בצורה מיטבית עבור מרחבים אלה. וייטהד הגדיר גם את מושג [[שקילות הומוטופית חלשה|השקילות ההומוטופית החלשה]] והוכיח את [[משפט וייטהד]] שאמר שעבור קומפלקסים תאיים, שקילות הומוטופית חלשה שקולה לשקילות הומוטופית.

כפי שהוסבר [[השערת פואנקרה#הכללות לממד גדול מ-3|מעלה]], פיתוחים אלה אפשרו להראות שיריעה (טופולוגית) המקיימת את תנאי השערת פואנקרה שקולה הומוטופית חלש לספירה תלת־ממדית. אולם באותו שלב עדיין לא היה ידוע שעל יריעות כאלה יש מבנה של קומפלקס תאי, כך שלא היה ניתן להסיק מכך שהיריעה שקולה הומוטופית לספירה.

====המעבר לממד כללי====
{{ערך מורחב|השערת פואנקרה המוכללת}}
בשנות ה-30 וה-40 החלו להופיע גרסאות של ההשערה לממדים גבוהים יותר.{{הערה| ראו [https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/whitehd.pdf on the homotopy type of manifolds]}}
במקרה הרב-ממדי, לא כל היריעות הקומפקטיות (ללא שפה) פשוטות הקשר [[שקילות הומוטופית|שקולות הומוטופית]] לספירה. לכן הן גם לא יכולות להיות [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפיות]] לה. לכן יש צורך בהנחות נוספות על היריעה. אחת מהגרסאות המקובלות להשערת פואנקרה המוכללת אומרת
שכל יריעה (קומפקטית בלי שפה) אשר שקולה הומוטופית לספירה גם הומיאומורפית לה. כפי שהוסבר [[השערת פואנקרה#ניסוח ההשערה וגרסאותיה|למעלה]] גרסה זאת שקולה לגסאות חזקות יותר, שדורשות פחות תנאים על היריעה. גם גרסאות אלה הופיעו באותה תקופה, אך השקילות ביניהם התבררה רק מאוחר יותר. עם זאת, ניתן היה להסיק מהתוצאות של אותה התקופה, שיריעות המקיימות את הדרישות החלשות יותר בהכרח שקולות הומוטופית חלש לספירה.

====תורת מורס====
[[קובץ:Marston Morse.jpg|150px|ממוזער|שמאל|[[מרסטון מורס]] - הניח ב-[[1929]] את היסודות ל[[תורת מורס]]. תורה זאת מהווה כלי מרכזי במחקר של [[יריעה חלקה|יריעות חלקות]]. רוב ההוכחות של הגרסאות השונות של השערת פואנקרה התבססו על תורת מורס בצורה זו או אחרת.]]
[[קובץ:Aleksandr_Danilovich_Aleksandrov.jpg|150px|ממוזער|שמאל|[[אלכסנדר דנילוביץ' אלכסנדרוב|אלכסנדר אלכסנדרוב]] - הגדיר ב-[[1948]] את מרחבי אלכסנדרוב שבדיעבד התבררו כבעלי תפקיד מכריע בהוכחת השערת פואנקרה]]
{{ערך מורחב|תורת מורס}}
[[תורת מורס]] החלה את התפתחותה בסוף [[שנות ה-20 של המאה ה-20|שנות ה-20]]. את בסיס התורה פיתח [[מרסטון מורס]] ומספר מתמטיקאים המשיכו את פיתוחה.{{הערה|[https://math.berkeley.edu/~alanw/240papers03/chen.pdf A Brief History of Morse Homology]|כיוון=שמאל}}
תורת מורס מאפשרת לפרוס יריעה חלקה לפרוסות קלות יחיסת להבנה. פריסה זו נקבעת לפי [[פונקציה]] על היריעה המקיימת תכונות מסוימות. פונקציה כזאת נקראת [[פונקציית מורס]].
תורת מורס מהווה כלי מרכזי במחקר יריעות. רוב ההוכחות החלקיות של הגרסאות השונות של השערת פואנקרה התבססו על תורת מורס בצורה זו או אחרת.
תורת מורס מאפשרת בין היתר להגדיר מבנה תאי על כל יריעה חלקה. דבר זה מוכיח, בהתבסס על התוצאות הקודמות, שכל יריעה חלקה המקיימת את תנאי ההשערה שקולה הומוטופית לספירה.

===ניסיונות מוקדמים להוכחת ההשערה===
[[קובץ:Whitehead_manifold.png|200px|ממוזער|ימין|איור המדגים את ההתחלה של בנית [[יריעת וייטהד]].]]

בשנת [[1934]] פרסם [[ג'ון וייטהד|וייטהד]] הוכחה שגויה להשערה.
{{הערה|Whitehead, J. H. C. (1934), "Certain theorems about three-dimensional manifolds (I)", Quarterly Journal of Mathematics, 5 (1): |כיוון=שמאל}}
וייטהד הבין את טעותו מה שהוביל אותו בשנת [[1935]] לתגלית של יריעה תלת־ממדית (לא קומפקטית ללא שפה) כוויצה שאינה הומיומורפית ל <math>\R^3</math>.{{הערה|Whitehead, J. H. C. (1935), "A certain open manifold whose group is unity"|כיוון=שמאל}}
יריעה זאת נקראת [[יריעת וייטהד]]. יריעת וייטהד מהווה דוגמה נגדית לגרסה לא [[מרחב קומפקטי|קומפקטית]] של השערת פואנקרה: בעוד שלפי השערת פואנקרה כל יריעה (קומפקטית [[יריעה עם שפה|בלי שפה]]) ש[[שקילות הומוטופית|שקולה הומוטופית]] ל[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] גם [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפית]] לה, יריעת וייטהד שקולה הומוטופית [[מרחב אוקלידי|למרחב האוקלידי]] אך אינה הומיאומורפית לו.

לאחר עבודותיו של וייטהד ניסו מספר מתמטקאים להוכיח את ההשערה. ביניהם [[מקס ניומן]],{{הערה|Newman, William (2010). "14. Max Newman - Mathematician, Codebreaker, and Computer Pioneer". In Copeland, B. Jack (ed.). Colossus The Secrets of Bletchley Park's Codebreaking Computers|כיוון=שמאל}} [[ג'ורג' דה-ראהם]], [[R. H. Bing]] [[ולפגאנג האקן]], [[אדוין מויס]] ו[[קריסטוס פאפאקיריאקופוולס]].{{הערה|Szpiro, George (July 29, 2008). Poincaré's Prize: The Hundred-Year Quest to Solve One of Math's Greatest Puzzles. Plume. {{ISBN|978-0-452-28964-2}}.|כיוון=שמאל}} איש מהם לא הצליח, אך בשנת [[1958]] בינג הוכיח גרסה חלשה של ההשערה לפיה אם ביריעה <math>M</math> (קומפקטית תלת-ממדית ללא שפה) כל [[לולאה פשוטה]] (כלומר ללא חיתוכים עצמיים) מוכלת בקבוצה פתוחה ההומיאומורפית ל[[כדור (גאומטריה)|כדור]] תלת-ממדי אז <math>M</math> הומיומורפית לספירה התלת-ממדית.{{הערה|Bing, R. H. (1958). "Necessary and sufficient conditions that a 3-manifold be S3". Annals of Mathematics. Second Series. 68|כיוון=שמאל}}

===מרחבי אלכסנדרוב===
{{ערך מורחב|מרחב אלכסנדרוב}}
בשנת 1948, ללא כל קשר להשערת פואנקרה הגדיר [[אלכסנדר דנילוביץ' אלכסנדרוב|אלכסנדר אלכסנדרוב]] מחלקה של מרחבים מטריים שמכלילה יריעות רימניות. בשונה מיריעות, המבנה הטופולוגי המקומי של מרחבים אלה שונה מזה של מרחב אוקלידי. עדיין ניתן לפתח עבורם חלק מהתורה של יריעות רימניות. למעלה מחצי מאה מאוחר יותר, כשהוכחה השערת פואנקרה, התברר שלמרחבים אלה יש תפקיד חשוב בהוכחתה.

===מבנים חלקים על יריעות תלת־ממדיות, ומבנים תאיים על יריעות ממד כללי===
{{ערך מורחב|משפט מויס}}
[[קובץ:Edwin Moise Headshot.jpg|150px|ממוזער|שמאל|[[אדוין מויס]] - הוכיח, ב-[[1952]], שעל [[יריעה טופולוגית]] תלת־ממדית יש [[יריעה חלקה|מבנה חלק]] יחיד. מכאן (שבממד 3) אין הבדל בין השערת פואנקרה ליריעות חלקות וליריעות טופולוגיות. ההוכחה של השערת פואנקרה השתמשה במשפט זה]]

בשנת [[1952]] הוכיח [[אדווין מויס]] שעל כל [[יריעה טופולוגית]] מממד 3 קיים [[יריעה חלקה|מבנה חלק]] יחיד (עד כדי [[דיפאומורפיזם]]).{{הערה|Moise, Edwin E. (1952), "Affine structures in 3-manifolds. V. The triangulation theorem and Hauptvermutung", Annals of Mathematics, Second Series, 56: 96–114, doi:10.2307/1969769, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969769, MR 0048805|כיוון=שמאל}}

לאור תוצאה זאת, הגרסאות של השערת פואנקרה ליריעות שונות, כולן שקולות (לממד 3). בפרט מקבלים שכל יריעה טופולוגית (תלת־ממדית) המקיימת את תנאי ההשערה שקולה הומוטופית לספירה.

ההוכחה של השערת פואנקרה השתמשה במשפט מויס, מכיוון שהשלב הראשון בהוכחה הוא בחירה של מבנה חלק על היריעה. מבנה זה קיים בזכות משפט מויס.

משפט מויס לא תקף בממדים גבוהים מ-3 (ראו פרוט [[השערת פואנקרה#גילוי הספירות האקזוטיות|למטה]]). אולם, לפי משפט של [[רובין קירבי]] {{אנ|Robion Kirby}}, כל יריעה טופולוגית שקולה הומוטופית ל[[מרחב CW|קומפלקס תאי]], לכן גם בממדים אלו די לדרוש שקילות הומוטופית חלשה לספירה (או כל תנאי שקול כפי שתואר מעלה) כדי להבטיח את תנאי השערת פואנקרה המוכללת. עם זאת משפט קירבי הוכח רק ב-[[1969]],{{הערה|פורסם ב-[[1971]] - משפט 9 ב- [https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBFb0068606.pdf Some Theorems on Topological Manifolds]}} מספר שנים לאחר שהוכחה השערת פואנקרה המוכללת לממדים גדולים מ-4.

===פיתוח תורת הקו-בורדיזם===
{{ערך מורחב|תורת הקו-בורדיזם}}
[[קובץ:Pair of pants cobordism.svg|150px|ממוזער|ימין|דוגמה ל[[קו-בורדיזם]] בין שני [[עקום|עקומים]]: משמאל [[איחוד זר]] של 2 [[מעגל]]ים, מימין מעגל 1. קו-בורדיזם זה נקרא [[זוג מכנסיים]]]]
[[קובץ:René_Thom.jpeg|200px|ממוזער|שמאל|[[רנה תום]], מאבות [[תורת הקו-בורדיזם]]. מיין, בשנת [[1954]], את כל היריעות עד כדי קו-בורדיזם]]
בתחילת [[שנות ה-50 של המאה ה-20|שנות ה-50]] עסק המתמטיקאי [[רנה תום]] ב[[תורת הקו-בורדיזם]] (שיסודותיה הונחו על ידי [[לב פונטריאגין|פונטריאגין]]). תורה זו חוקרת יריעות עד כדי [[יחס שקילות]] חלש יותר מהומיאומורפיזם הנקרא [[קו-בורדיזם]]. יש מספר גרסאות למושג קו-בורדיזם. באופן אינטואיטיבי, קו-בורדיזם בין שתי יריעות (קומפקטיות בלי שפה) <math>X</math> ו-<math>Y</math> ממד <math>n</math> הוא דרך לחבר ביניהן על ידי יריעה מממד <math>n+1</math>. באופן פורמלי יותר, על פי אחת הגרסאות, קו-בורדיזם בין <math>X</math> ו-<math>Y</math> הוא יריעה (קומפקטית [[יריעה עם שפה|עם שפה]]) <math>M</math> כך ששפתה מורכבת מה[[איחוד זר|איחוד הזר]] של <math>X</math> ו-<math>Y</math>.
תום הראה שאוסף כל היריעות מממד מסוים, עד כדי קו-בורדיזם, מהווה חבורה. הוא גם תיאר חבורה זו (במובן מסוים). בין היתר הראה תום שיריעה המקיימת את התנאים של השערת פואנקרה המוכללת קו-בורדנטית לספירה (מאותו ממד). חלק גדול מההתקדמות בהשערת פואנקרה המוכללת, לרבות הוכחתה לממדים גדולים מ-3, מבוססת על טענה זו.{{הערה|René Thom, Quelques propriétés globales des variétés différentiables, Comment. Math. Helv. 28, (1954).|כיוון=שמאל}}

עבודותיו של תום על תורת הקו-בורדיזם זיכו אותו ב[[מדליית פילדס]] בשנת [[1958]].{{הערה|שם=פילדס| [https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal רשימת זוכי מדליית פילדס]}}

===גילוי הספירות האקזוטיות===
{{ערך מורחב|ספירה אקזוטית}}
[[קובץ:John Milnor, 1993 Oct (portioned).jpg|200px|ממוזער|שמאל|[[ג'ון מילנור]], גילה, ב-[[1956]], את ה[[ספירה אקזוטית|ספירות האקזוטיות]] בעת שניסה להכריע את ההשערה]]
באמצע [[שנות ה-50 של המאה ה-20|שנות ה-50]] עבד על ההשערה המתמטיקאי [[ג'ון מילנור]]. בהתבסס על עבודותיהם של תום ופונטריאגין הוא הצליח לבנות [[שמורה (מתמטיקה)|אינווריאנט]] של [[יריעה חלקה|יריעות חלקות]] המקיימות את תנאי ההשערה. כלומר, הוא התאים לכל יריעה חלקה כזו אובייקט מסוים, כך שאם שתי יריעות כאלה [[דיפאומורפיזם|דיפאומורפיות]] (זאת אומרת שקיימת העתקה [[פונקציה גזירה|גזירה]] [[פונקציה חד-חד-ערכית ועל|חד-חד ערכית ועל]] ביניהן שה[[פונקציה הפיכה|העתקה ההופכית]] לה גם-כן גזירה) אז האובייקטים המתאימים לשתיהן שווים. הוא הצליח לבנות דוגמה ליריעה חלקה 7-ממדית (שמקימת את תנאי ההשערה) שאינווריאנט זה עבורה שונה מאשר ערכו עבור הספירה ה-7 ממדית. בכך הוא הוכיח שיריעה זו אינה דיפאומורפית לספירה ה-7 ממדית. תחילה חשב מילנור ש[[הפרכה|הפריך]] את השערת פואנקרה המוכללת, אך במהרה הבין כי למעשה היריעה שבנה דווקא הומיאומורפית לספירה (הוא הוכיח זו על ידי [[תורת מורס]]), אבל לא דיפאומורפית לה. הייתה זו הדוגמה הראשונה ליריעות שהן הומיאומורפיות אך לא דיפאומורפיות. דוגמה זו הפתיעה מאוד את מילנור ואת הקהילה המתמטית, כיוון שעד אותו שלב ההערכה הייתה שדוגמה כזו אינה קיימת.

מאז, יריעות ההומיאומורפיות לספירה אך לא דיפאומורפיות לה נקראות [[ספירה אקזוטית|ספירות אקזוטיות]]. באופן כללי יותר, יריעות חלקות הומיאומורפיות ל[[יריעה חלקה]] נתונה <math>M</math> אך לא דיפאומורפיות לה נקראות [[מבנה אקזוטי|מבנים אקזוטיים]] על <math>M</math>. מילנור יחד עם שותפים מיינו את כל הספירות האקזוטיות מכל ממד למעט 4.

גילוי הספירות האקזוטיות זיכה את מילנור במדליית פילדס בשנת [[1962]].{{הערה|שם=פילדס}}

===ההוכחה למקרה שהממד גדול מ-4===

{{ערך מורחב|משפט ה-h-קובורדיזם}}
[[קובץ:Stephen_Smale2.jpg|200px|ממוזער|שמאל|[[סטפן סמייל]], הוכיח, בשנת [[1961]], את ההשערה עבור ממדים הגבוהים מ-4]]

בשנת [[1961]] הוכיח [[סטפן סמייל]] את השערת פואנקרה המוכללת עבור ממדים גדולים מ-4.{{הערה|[http://www.math.uchicago.edu/~shmuel/tom-readings/Smale,%20PC.pdf Generalized Poincare's Conjecture in Dimensions Greater Than Four]|כיוון=שמאל}} בשנת [[1962]] הכליל סמייל תוצאה זו למשפט שאומר, שקיום קו-בורדיזם בין יריעות שממדם גדול מ-4 המקיים תנאים מסוימים, גורר קיום הומיאומורפיזם בין יריעות אלה. קו-בורדיזם שמקיים תנאים אלו נקרא <math>h</math>-קו-בורדיזם, ומשפטו של סמייל אודות קו-בורדיזמים אלו נקרא [[משפט ה-h-קו-בורדיזם]].

זמן קצר לאחר הוכחתו של סמייל הוכיחו [[ג'ון סטאלינג]] {{אנ|John Stallings}} ו[[קריסטופר זימאן]] {{אנ|Christopher Zeeman}} את אותו משפט בדרך אחרת.{{הערה|סטלינג הוכיח לממד גדול מ-6:  Stallings, John (1960). "Polyhedral homotopy spheres". Bulletin of the American Mathematical Society. 66: 485–488. doi:10.1090/S0002-9904-1960-10511-3. זימן הרחיב את ההוכחה לממדים גדולים מ 4: Zeeman, Erik Christopher (1962). "The Poincaré conjecture for n greater than or equal to 5". Topology of 3-manifolds and related topics (Proc. The Univ. of Georgia Institute, 1961). Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall: 198–204. MR 0140113.}}

הן הוכחתו של סמייל והן אלה של סטאלינג וזימאן היו תקפות רק ל[[יריעה חלקה|יריעות חלקות]] (כמו גם ל[[יריעה ליניארית למקוטעין|יריעות ליניאריות למקוטעין]]). לא על כל יריעה טופולוגית קיים מבנה חלק, כך שההוכחה אינה מתאימה לכל היריעות הטופולוגיות. בשנת [[1966]] הוכיח [[מקס ניומן]] את המשפט עבור יריעות טופולוגיות כלליות מממדים גדולים מ-4 בהתבסס על השיטה של סטאלינג.{{הערה|
{{cite journal |author-link=Max Newman |first=M. H. A. |last=Newman |title=The Engulfing Theorem for Topological Manifolds |journal=[[Annals of Mathematics]] |series=(2) |volume=84 |year=1966 |issue=3 |pages=555–571 |mr=0203708 |doi=10.2307/1970460 }}}} למעשה ניומן הוכיח משפט חזק יותר: כל [[יריעה טופולוגית]] [[מרחב קומפקטי|קומפקטית]] ללא [[יריעה עם שפה|שפה]] מממד גדול מ-4 [[שקילות הומוטופית חלשה|השקולה הומוטופית חלש]] לספירה, גם [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפית]] לה. בדיעבד משפט זה שקול להשערת פואנקרה לממדים אלה, אך זה נובע ממשפט של קירבי שהוכח מספר שנים מאוחר יותר.

באופן שיטחי ולא מדויק ניתן לתאר את הוכחתו של סמייל להשערה כך: תחילה משתמשים ב[[משפט תום]] כדי להראות שיריעה <math>n</math>-ממדית <math>X</math> המקיימת את תנאי ההשערה מהווה שפה של יריעה (עם שפה) קומפקטית <math>D</math>. לאחר מכן מבצעים סדרה סופית של פעולות ה"משפרות" את <math>D</math>. לבסוף מוכיחים שלאחר מספיק פעולות <math>D</math> הופכת ל[[כדור (טופולוגיה)|כדור]] <math>n+1</math>-ממדי. מכאן ש-<math>X</math> חיובת להיות הספירה.

בממד נמוך מ-4 "אין מספיק מקום" כדי לבצע פעולות אלה. בממד-4 אומנם ניתן לבצען, אך הן לא "משפרות את המצב".

הוכחתו זו זיכתה את סמייל במדליית פילדס בשנת [[1966]].{{הערה|שם=פילדס}}

===ההוכחה לממד-4===
{{ערך מורחב|יריעה 4-ממדית}}
[[קובץ:Michael Freedman, circa 1970s (re-scanned C; headshot).jpg|200px|ממוזער|שמאל|[[מייקל פרידמן]], הוכיח, בשנת [[1982]], את ההשערה עבור ממד 4]]
בשנת [[1982]] הצליח [[מייקל פרידמן]] להכליל את תוצאתיו של סמייל למקרה ה-4-ממדי. הוא סיפק גרסה 4-ממדית של משפט ה-h-קו-בורדיזם והוכיח את השערת פואקרה המוכללת עבור ממד 4. יתר על כן, הוא סיפק מיון מלא של כל היריעות ה-4-ממדיות הקופקטיות פשוטות הקשר.

באופן אינטואיטיבי, הוכחתו התבססה על בניה [[אינסוף|אינסופית]] בה מבצעים את התהליך שביצע סמייל אינסוף פעמים ומראים שאז הוא באמת "משפר את המצב".

על הוכחת השערת פואנקרה בממד 4 קיבל פרידמן מדליית פילדס בשנת [[1986]].

====מבנים אקזוטיים על יריעות 4-ממדיות====
תוצאותיו של פרידמן, בשילוב עם תוצאות של [[סיימון דונלדסון|דונלדסון]] על אינווריאנטים של יריעות חלקות 4-ממדיות, הובילו למציאת דוגמאות של מבנים אקזוטיים על יריעות 4-ממדיות (דבר שלא היה ידוע קודם). בפרט נמצאו [[עוצמת הרצף|<math>\color{blue}{\aleph}</math>]] מבנים אקזוטיים על [[המרחב האוקלידי]] ה-4-ממדי <math>\R^4</math>. מרחב זה הוא המרחב האוקלידי היחיד בעל מבנים אקזוטיים. שאלת קיומם של מבנים אקזוטיים על הספירה ה-4-ממדית עודנה [[בעיה פתוחה|פתוחה]].

על מציאת מבנים אקזוטיים על <math>\R^4</math> קיבל דונלדסון את מדליית פילדס בשנת [[1986]].{{הערה|שם=פילדס}}

===מרחק גרומוב-האוסדורף ומשפט הקומפקטיות של גרומוב===
[[קובץ:Gromov_Mikhail_Leonidovich.jpg|200px|ממוזער|שמאל|[[מיכאיל גרומוב]], מגדולי [[גאומטריה|הגאומטריקאים]] בתקופתו. בין היתר, חקר את המרחב המטרי של המרחבים המטריים. הוכיח בשנת 1981 את [[משפט הקומפקטיות של גרומוב]]. בדיעבד התברר כי למשפט זה תפקיד חשוב בהוכחת השערת פואנקרה]]
{{הפניה לערך מורחב|ערכים=[[מרחק גרומוב-האוסדורף]], [[משפט הקומפקטיות של גרומוב]]}}

בשנת [[1975]] פיתח [[דויד אדוארדס]] גרסה אבסולוטית ל[[מרחק האוסדורף]]. גרסה זאת נקראה לימים "[[מרחק גרומוב-האוסדורף]]". בעוד שמרחק האוסדורף מוגדר עבור תת-קבוצות במרחב מטרי נתון, מרחק גרומוב-האוסדורף מוגדר עבור מרחבים מטריים קומפקטיים כלשהם, ללא שיהיה צורך לשכנם במרחב מטרי גדול יותר. מושג זה מאפשר לדון במרחב המטרי של כל המרחבים המטריים.{{הערה|
David A. Edwards, "The Structure of Superspace", in "Studies in Topology", Academic Press, 1975, [http://alpha.math.uga.edu/~davide/The_Structure_of_Superspace.pdf pdf]
}}{{הערה|
A. Tuzhilin, "Who Invented the Gromov–Hausdorff Distance? (2016)", [https://arxiv.org/abs/1612.00728 arXiv]
}}

בשנת [[1981]] פתיח [[מיכאיל גרומוב]] מושג זה מחדש, ללא שהיה מודע לעבודותיו של אדוארדס. גרומוב גם הוכיח תכונות רבות של מושג זה, שהידועה ביניהן היא "[[משפט הקומפקטיות של גרומוב]]". משפט זה אומר שקבוצות מסוימות במרחב המטרי של המרחבים המטריים הן קומפקטיות.{{הערה|{{citation
 | last = Gromov | first = Mikhael
 | isbn = 2-7124-0714-8
 | location = Paris
 | mr = 682063
 | publisher = CEDIC
 | series = Textes Mathématiques [Mathematical Texts]
 | title = Structures métriques pour les variétés riemanniennes
 | volume = 1
 | year = 1981}}}}

משפט הקומפקטיות של גרומוב מאפשר לראות ב[[מרחב אלכסנדרוב|מרחבי אלכסנדרוב]] כמקרה גבולי של יריעות רימינות. למסקנה זאת הייתה חשיבות מכרעת בהוכחת השערת פואנקרה.

===ניסוח השערת הגאומטריזציה===
{{ערך מורחב|השערת הגיאומטריזציה}}
[[קובץ:William_Thurston.jpg|200px|ממוזער|שמאל|[[ויליאם ת'ורסטון]], ניסח בשנת [[1982]], את [[השערת הגאומטריזציה]] ממנה נובעת השערת פואנקרה]]

בשנת [[1982]] ניסח [[ויליאם ת'ורסטון]] השערה המספקת מיון (חלקי) ליריעות תלת-ממדיות קומפקטיות. באופן לא פורמלי, ההשערה טוענת שכל יריעה כזו ניתן "להרכיב" מאבני בניין פשוטות יחסית הנקראות [[גאומטריה (סוג של יריעה)|גאומטריות]].

אבני בניין אלה הן יריעות שעליהן קיימת [[מטריקה רימנית]] (מושג כמותי של מרחק) מאוד סימטרית. באופן פורמלי יותר: כך שלכל <math>x,y</math> על היריעה <math>X</math> קיימת [[איזומטריה]] של <math>X</math> ({{פירושון|[[טרנספורמציה]]}} מ-<math>X</math> לעצמו השומרת מרחק), המעבירה את <math>x</math> ל-<math>y</math>.

קל יחסית למיין את כל הגאומטריות. בהתאם גם לא מאוד קשה (בשימוש בכלים סטנדרטיים שהיו קיימים באותה עת) להסיק את השערת פואנקרה מהשערת הגאומטריזציה. טרם ניסוח השערת הגאומטריזציה באופן כללי הוכיח אותה ת'ורסטון למשפחה רחבה של יריעות תלת-ממדיות.

עבודותיו של ת'ורסטון על יריעות מממד נמוך זיכו אותו במדליית פילדס בשנת [[1982]].{{הערה|שם=פילדס}}

===פיתוחה של זרימת המילטון-ריצ'י===
{{ערך מורחב|זרימת המילטון-ריצ'י}}
[[קובץ:Richard_Hamilton.jpg|200px|ממוזער|שמאל|[[ריצ'רד המילטון (מתמטיקאי)|ריצ'רד המילטון]], פיתח את [[זרימת המילטון-ריצ'י]] ב[[שנות ה-80 של המאה ה-20|שנות ה-80]] והגה אסטרטגיה להוכחת השערת פואנקרה, המבוססת על זרימה זו.]]
[[קובץ:Ricci flow.png|200px|ממוזער|ימין|איור המדגים איך זרימת המילטון-ריצ'י הופכת [[מטריקה]] רימנית לא סימטרית על ה[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] למטריקה הרימנית הסטנדרטית (והסימטרית) על הספירה]]

בשנת [[1982]] הוכיח [[ריצ'רד המילטון (מתמטיקאי)|ריצ'רד המילטון]] את "[[משפט הספירה]]". משפט זה אומר ש[[יריעה רימנית]] (יריעה חלקה עם [[מטריקה רימנית]] עליה) המקיימת תנאים מסוימים, היא דיפאומורפית לספירה מממד מתאים. לשם כך הוא פיתח [[זרימה גאומטרית]] שאותה כינה [[זרימת ריצ'י]] (היום היא מכונה לעיתים גם זרימת המילטון-ריצ'י). זרימה גאומטרית היא דרך לשנות את הגאומטריה של אובייקט מסוים באופן רציף והדרגתי. זרימת המילטון-ריצ'י משנה את המטריקה הרימנית על היריעה (מבלי לשנות את היריעה עצמה) על ידי הוספה של [[עקמומיות ריצ'י]] שלה (עם מקדם) למטריקה. תהליך זה הופך את היריעה לסימטרית יותר. המילטון הוכיח שבתנאי המשפט היריעה תהפוך בסופו של דבר לספירה מבחינה מטרית, ומכיוון שהזרימה אינה משנה את המבנה הטופולוגי, זו ראיה לכך שמלכתחילה הייתה דיפאומורפית לספירה.

זרימת המילטון-ריצ'י מוגדרת על ידי מערכת [[משוואה דיפרנציאלית חלקית|משוואת דפרנציאליות חלקיות]]. הזרימה מהווה פתרון למערכת הזו. מערכת משוואות זו דומה ל[[משוואת החום]] אלא שבמקום לפזר [[חום (פיזיקה)|חום]] היא "מפזרת" [[עקמומיות]]. לכן, המטריקה הופכת ליותר סימטרית לאורך הזרימה. כפי שקורה במקרים רבים של משוואות דיפרנציאליות חלקיות, ליריעות רימניות כלליות, למערכת משוואות זו אין פתרון המתקיים לאורך זמן, לכן זרימת ריצ'י "נתקעת" לאחר זמן מה.

במהלך [[שנות ה-80 של המאה ה-20|שנות ה-80]], בעקבות הצעה של [[שינג טונג יאו]] הגה המילטון אסטרטגיה להוכחת השערת הגאומטריזציה המבוססת על זרימת ריצ'י. תחילה בוחרים מבנה של יריעה חלקה על היריעה הנתונה <math>M</math>. קיום (ויחידות) של מבנה כזה היה ידוע עוד ב[[שנות ה-50 של המאה ה-20|שנות ה-50]]. לאחר מכן בוחרים מטריקה רימנית כלשהי על <math>M</math>. קל להוכיח קיום של מטריקה רימנית על כל יריעה חלקה. אז מפעילים את זרימת ריצ'י על היריעה עד אשר היא "תתקע". קצת לפני שהיא נתקעת "חותכים" את היריעה באופן שיאפשר המשך זרימה על כל אחד מהחלקים בנפרד (תוך כדי התאמת המקדם בזרימה לכל חלק בניפרד). ממשיכים בתהליך עד שכל אחד מהחלקים מגיע למצב קבוע. המילטון הראה שמצבים אלו הם בדיוק הגאומטריות. כעת נותר רק "להרכיב" את היריעה בחזרה מגאומטריות אלה.

בתחילת [[שנות ה-90 של המאה ה-20|שנות ה-90]] ניסה המילטון לממש אסטרטגיה זו, ואף הצליח בכך במספר רב של מקרים. אך בסופו של דבר נקלע למבוי סתום ולא הצליח להוכיח את ההשערה.

בשנת [[2011]] כעשור לאחר שהשערת פואנקרה הוכחה על ידי [[גרגורי פרלמן|פרלמן]] באמצעות זרימת המילטון-ריצ'י, זכה המילטון ב[[פרס שאו]] על פיתוח זרימה זו.

===הכלת הבעיה בפרס המילניום של קליי===
{{ערך מורחב|פרס המילניום של קליי}}
בשנת [[2000]] פרסם [[מכון קליי]] רשימה של שבע בעיות במתמטיקה לכבוד תחילת [[המילניום השלישי]]. מכון קליי הבטיח פרס בסכום של מיליון [[דולר אמריקאי|דולר]] על פתרון כל אחת מהבעיות. הבעיות נגעו לתחומים הבאים: [[פיזיקה מתמטית]], [[תורת המספרים]] ([[תורת המספרים האנליטית|האנליטית]] ו[[תורת המספרים האלגברית|האלגברית]]), [[תאוריה של מדעי המחשב]], [[גאומטריה אלגברית]] ו[[טופולוגיה אלגברית]] ו[[טופולוגיה גאומטרית|גאומטרית]].
השערת פואנקרה הייתה הבעיה השישית ברשימה זו. היא הייתה הבעיה היחידה שניתן לשייך לתחומי הטופולוגיה האלגברית והגאומטרית באופן מובהק. לצדה הייתה גם [[השערת הודג']] שנמצאת על התפר שבין גאומטריה אלגברית לטופולוגיה אלגברית.

את נוסח ההשערה הרשמי כתב [[ג'ון מילנור]].

===הוכחת ההשערה===
[[קובץ:Perelman, Grigori (1966) Upright.jpg|200px|ממוזער|שמאל|[[גריגורי פרלמן]], הוכיח את ההשערה בתחילת [[המאה ה-21]]]]
בתחילת [[שנות ה-90 של המאה ה-20|שנות ה-90]] עבד [[גריגורי פרלמן]] על [[מרחבי אלכסנדרוב]] יחד עם [[יורי בורגו]], [[מיכאיל גרומוב]] ו[[אנטון פטרונין]]. בשנת [[1992]] נסע פרלמן ל[[ארצות הברית]] למספר שנים. בתקופה זו הוא שמע הרצאה של ריצ'רד המילטון. לאחר ההרצאה שוחח פרלמן עם המילטון ארוכות. בשיחה זו סיפר לו המילטון את כל ההתקדמות שהייתה לו בהוכחת השערת פואנקרה.{{הערה|כך על פי מורו של פרלמן בתיכון סרגי רוקשין [https://www.youtube.com/watch?v=-56qGNDh6_k&t=609s כאן]}} זמן מה לאחר מכן (בשנת [[1996]]), לאחר שפרלמן ראה פרסום של המילטון ב-[[arXiv]], הוא פנה להמילטון והציע לו לשתף פעולה בניסיון להוכיח את ההשערה. לאחר שהמילטון לא ענה להצעה זו,{{הערה|כך על פי הכתבות [https://www.youtube.com/watch?v=-56qGNDh6_k&t=661s כאן] ו[https://www.newyorker.com/magazine/2006/08/28/manifold-destiny כאן]}} חזר פרלמן ל[[רוסיה]] (ל[[מכון סטקלוב]] ב[[סנט-פטרסבורג]]) לעבוד על ההשערה בגפו. פרלמן הבין שכאשר זרימת ריצ'י נתקעת, היא הופכת את היריעה למרחב אלכסנדרוב, ולכן קיווה שבעזרת מרחבי אלכסנדרוב יוכל להתקדם במקום שבו נעצר המילטון.
פרלמן עמל על ההשערה כשבע שנים ולבסוף, בשנים [[2002]]–[[2003]] פרסם את עיקרי הוכחתו להשערת פואנקרה בסדרה של שלושה מאמרים ב-arXiv.

===אחרית דבר===
====אימות ההוכחה====
<div style="width: auto; float:left; clear:left;">
{|class="wikitable" style="float:left; text-align:center;"
|-
|[[קובץ:Bruce_Kleiner.jpeg|160px|ברוס קלינר]]
|[[קובץ:JohnLott.jpg|120px|ג'ון לוט]]
|-
||[[קובץ:John-Morgan1.jpg|120px|ג'ון מורגן]]
|[[קובץ:Gang_Tian_(2005).jpeg|120px|גאנג טיאן]]
|-
|colspan="2"|המתמטיקאים שאימתו את ההוכחה של פרלמן בתחילת [[המאה ה-21]].
מימן לשמאל מלמעלה למטה: [[ברוס קלינר]], [[ג'ון לוט]], [[ג'ון מורגן]] ו[[גאנג טיאן]]
|}
</div>

פרסום [[משפט (מתמטיקה)|תוצאות מתמטיות]] חשובות ב[[אתר אינטרנט]] כדוגמת ה-[[arXiv]] לפני פרסום ב[[כתב עת מדעי]], הוא דבר מקובל מאוד. אולם בדרך כלל, לאחר פרסום כזה, ה[[מאמר מדעי|מאמר]] מוגש לכתב עת, שם הוא עובר [[ביקורת עמיתים]]. אחת המטרות של תהליך זה היא בדיקת נכונת הממצאים המוצגים במאמר. [[גרגורי פרלמן|פרלמן]] בחר שלא להגיש את המאמר לכתב עת, דבר שלא איפשר בדיקה באופן זה. בנוסף, מאמריו של פרלמן לא הכילו פרטים רבים מההוכחה, ודרשו עבודת השלמה. מכל מקום, לבעיות מסדר גודל כמו השערת פואנקרה, יש תכופות היסטוריה של "הוכחות" שגויות, והוכחתן מורכבת מאוד, כך שלוקח זמן ל[[הקהילה המדעית|קהילה המדעית]] להשתכנע בשלמות ההוכחה.

לאחר שפרסם את מאמריו, הוזמן פרלמן לתת מספר הרצאת ב[[ארצות הברית]] על עבודתו. בהרצאות אלה נכחו מומחים רבים בתחומים אליהם נגעה ההשערה. מספר [[מתמטיקאי]]ם החלו לעבוד על אימות ההוכחה והשלמת הפרטים.

בשנת 2006 כתבו [[ברוס קלינר]] (Bruce Kleiner), [[ג'ון לוט]] (John Lott), [[ג'ון מורגן]] (John Morgan) ו[[גאנג טיאן]] (Gang Tian) מספר מאמרים ב-[[arXiv]] שהתבססו על עבודותיו של פרלמן והכילו הוכחה מפורטת של ההשערה. בשנים 2007–2008 התפרסמו מאמרים אלה בכתבי עת לאחר שעברו ביקורת עמיתים.{{הערה|[http://www.claymath.org/sites/default/files/millenniumprizefull.pdf הודעה לתקשורת של מכון קליי המבשרת על זכיית פרלמן בפרס וסוקרת את הבעיה ופתרונה]}} נקודה זו היוותה עבור רבים{{הערה|למשל [http://www.claymath.org/sites/default/files/millenniumprizefull.pdf מכון קליי]}} סיום בדיקת ההוכחה. מאמרים נוספים עם הסברים שונים ופרספקטיבות שונות על ההוכחה התפרסמו בשנים לאחר מכן. העבודות של קלינר, לוט, מורגן וטיאן לא היו חפות לחלוטין מטעויות. אולם הטעויות שהתגלו במהלך השנים היו קטנות ותוקנו במהרה. קלינר, לוט, מורגן וטיאן, כמו גם רוב המתמטיקאים שעבדו על הנושא אחריהם, לא ניסו לנכס לעצמם [[קרדיט מדעי|קרדיט]] על ההוכחה, כולם הסכימו שפרלמן הוכיח את המשפט בהתבסס על פריצת הדרך של המילטון והעבודות המאוחרות יותר באו רק לבאר את ההוכחה.

====פרלמן לאחר שהוכיח את ההשערה====
חבריו של פרלמן תארו אותו כאדם סגור למדי מאז ומתמיד. אולם לפני שהוכיח את ההשערה לא היה פרלמן מנותק מהעולם. הוא קיים קשרים חברתיים ומקצועיים עם מספר מתמטיקאים. בשנים שבהן עבד על ההשערה הוא היה מרוכז כמעט לחלוטין בה אך שמר עדיין על קשרים אלו. בשנתיים הראשונות לאחר שהוכיח את ההשערה המשיך לתקשר עם מתמטיקאים רבים ואף הסכים לשוחח עם עיתונאים. אולם בשנים לאחר מכן החל פרלמן להתבודד מהעולם ולנתק כמעט כל קשר שהיה לו. אף על פי שהתהילה הגדולה שזכה לה אפשרה לו למצוא בקלות עבודה מכניסה מאוד, הוא נשאר לחיות בדירה קטנה ב[[סנקט פטרבורג]]. יתר על כן, בסוף שנת [[2005]] התפטר מעבודתו, והודיע לקומץ חבריו שהחליט להפסיק לעסוק במתמטיקה.{{הערה|[https://www.youtube.com/watch?v=-56qGNDh6_k כתבה על פרלמן בה מראינים חבריו]}}

====הפולמוס סביב התנהגותם של יאו ותלמידיו בנושא====
{{מפת תמונה
| תמונה = Manifold Desteny.jpeg
| הצמדה = שמאל
| רוחב קטן = 200
| סימון = כן
| הגדלה = לא
| כיתוב תמונה = איור שהתפרסם ב{{ה|ניו-יורקר}} בשנת [[2006]] המאשים את יאו בניסיון לגזול לפרלמן את התהילה על ההוכחה. יש [[מחלוקת]] בקהילה המדעית האם ובאיזו מידה האשמות אלה מוצדקות. אולם קיים [[קונצנזוס]] על כך שאין בהוכחתו של פרלמן חוסרים מהותיים, ורק הצגת ההוכחה דרשה פרוט נוסף
| מיפוי =
circle 1269 376 381 [[גרגורי פרלמן]]
circle 367 1704 496 [[שינג-טונג יאו]]
circle 1363 1418 91 [[מדליית פילדס]]
}}
ביוני [[2006]] פרסמו [[האו דונג קאו]] ו[[שי-פינג ז'ו]] מאמר ב[[הז'ורנל האסייתי למתמטיקה|ז'ורנל האסייתי למתמטיקה]] תחת הכותרת "הוכחה שלמה של השערת הגאומטריזציה - יישום של תורת זרימת ריצ'י של המילטון-פרלמן".{{הערה| [https://web.archive.org/web/20120514194949/http://www.intlpress.com/AJM/p/2006/10_2/AJM-10-2-165-492.pdf A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow]|כיוון=שמאל}} המאמר פורסם ביוזמת העורך הראשי של כתב העת [[שינג טונג יאו]] מורם של השניים, תוך כדי שהוא עוקף את יתר העורכים. בדומה למאמרים קודמים מאמר זה מציג הוכחה מפורטת להשערה המבוססת על עבודותיו של פרלמן, אך בשונה משאר המאמרים שעשו כן, כותרת המאמר והתקציר שלו, מציגים את המאמר כהוכחה ולא כהצגה מפורטת של הוכחה קיימת. בנוסף, במאמר הם העתיקו הסברים שפרסמו קודם לכן קלינר ולוט לחלק מהפרטים החסרים אצל פרלמן ללא שציינו את קלינר ולוט.

התנהלותו של יאו (חתן [[מדליית פילדס]]) ושל תלמידיו גררה ביקורת קשה. הפרשה חרגה מגבולות הקהילה המתמטית כאשר באוגוסט 2006 התפרסם מאמר ב[[הניו יורקר|ניו יורקר]] מאת [[סילביה נזר]] ו[[דויד גרובר]] הסוקר את הפרשה ומאשים את יאו בניסיון ליחס לו ולתלמידיו קרדיט על ההוכחה.{{הערה| [https://www.newyorker.com/magazine/2006/08/28/manifold-destiny Manifold Destiny]|כיוון=שמאל}}
במאמר בניו יורקר נטען כי במסיבת עיתונאים בסין, תיאר יאו איך הוא רואה את חלוקת הקרדיט עבור הוכחה: 50% להמילטון כ־25% לפרלמן ו-30% ליאו ותלמידיו (הסכום לא 100 במקור). המאמר גם מאשים את יאו בהתנהגות דומה במקרים אחרים.

יאו התנער מההאשמות כלפיו. טען שהציטוט ממסיבת העיתונאים מפוברק, שמעולם לא ניסה לנכס לעצמו או לתלמידיו קרדיט על ההוכחה, ושמעולם לא טען שבהוכחה של פרלמן יש חורים אלא רק שהיא לא ברורה דיה ויש חשיבות להשלמת הפרטים. יאו אף איים לתבוע את הניו-יורקר.{{הערה|[http://doctoryau.com/9.18.06.pdf מכתב איום בתביעה שכתב יאו לניו-ירקר]}}

מספר מתמטיקאים כתבו מכתבי תמיכה ביאו. ביניהם גם המילטון, שכתב מכתב שמשבח את תרומתו של יאו לתוכנית להוכחת ההשערה עוד בשנות ה-80, מתאר מספר מקרים בהם יאו התנהג בצורה הגונה ואף סירב לקחת קרדיט כאשר הרגיש שלא תרם מספיק לתוצאה מסוימת. המילטון גם כותב שיאו תמך בהענקת מדליית פילדס לפרלמן ושלמיטב ידיעתו יאו מעולם לא טען שמגיע לו או לאיש מלבד פרלמן והמילטון קרדיט על ההוכחה.{{הערה|[https://web.archive.org/web/20100124102635/http://www.doctoryau.com/testimonials.html רשימת מכתבי התמיחה באתר של יאו]}}

בדצמבר 2006 פרסמו קאו וז'ו ב-[[arXiv]] גרסה מעודכנת של מאמרם שבה הם נותנים את מלוא הקרדיט על ההוכחה להמילטון ופרלמן, ומתנצלים על כך שלא התייחסו לקלינר לוט כשהשתמשו בתוצאותיהם. כמו כן הם פרסמו [[אראטום]] בז'ורנל האסייתי למתמטיקה באותו החודש.{{הערה|[https://arxiv.org/pdf/math/0612069.pdf Hamilton-Perelman’s Proof of the Poincar´e Conjecture and the Geometrization Conjecture]|כיוון=שמאל}} המאמר המקורי הוסר מכתב העת באותו הזמן.

====זכייתו של פרלמן במדליית פילדס====
[[קובץ:FieldsMedalFront.jpg|200px|ממוזער|שמאל|[[מדליית פילדס]], אחד הפרסים היוקרתיים במתמטיקה. מספר מתמטיקאים זכו במדליה זאת על התקדמותם לעבר הוכחת השערת פואנקרה. בשנת [[2006]] זכה פרלמן בפרס זה על הוכחתו אולם סירב לקבלו.]]
[[מדליית פילדס]] מחולקת ב[[הקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים|קונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים]] המתקיים אחת לארבע שנים. הפעם הראשונה בה הקונגרס התכנס לאחר פרסומיו של פרלמן הייתה ב[[אוגוסט]] [[2006]]. באותה העת היה קונצנזוס בקהילה המדעית על כך שעבודותיו של פרלמן משמעותיות, אך שלמותה של ההוכחה עדיין לא התבררה באופן סופי. ועדת פרס פילדס לשנת 2006 בראשות נשיא [[האיגוד המתמטי הבינלאומי]] [[ג'ון באל]] החליטה להעניק לפרלמן את המדליה "על תרומתו לגאומטריה ותובנותיו המהפכניות למבנה האנליטי והגאומטרי של זרימת ריצ'י". בהודעה לתקשורת על זכייתו, הם מציינים את הוכחתו של פרלמן להשערת פואנקרה והשערת הגאומטריזציה ואת העובדה שבזמן שעבר לא נמצאו בה חוסרים משמעותיים, אך גם את העובדה שתהליך הבדיקה טרם הסתיים.{{הערה|[https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2006/PerelmanENG.pdf ההודעה לתקשורת על זכיתו של פרלמן במדליית פילדס]}} פרלמן סירב לקבל את המדליה. הייתה זו הפעם הראשונה שמתמטיקאי סירב לקבל פרס זה.{{הערה|שם=פילדס}} לצדו של פרלמן זכו במדליית פילדס באותה שנה עוד שלושה מתמטיקאים על עבודות בתחומים שונים במתמטיקה.

====זכייתו של פרלמן בפרס קליי====
על פי תקנון פרס קליי, על מנת שפתרון ייבחן על ידי מכון קליי צריכים להתקיים התנאים הבאים:
* הפתרון צריך להתפרסם בכתב עת העובר ביקורת עמיתים (אם כתב העת עומד בסטנדרטים מסוימים אפשר לוותר על התנאי האחרון)
* צריכות לעבור לפחות שנתיים מאז פרסום זה
* ההוכחה צריכה להתקבל על ידי הקהילה המדעית
המכון אינו דורש שהפרסום יתבצע על ידי פותר הבעיה. כשנתיים לאחר פרסום מאמריהם של קלינר לוט מורגן וטיאן מינה המכון ועדה שבחנה את זכאותו של פרלמן לפרס. הוועדה כללה את [[סיימון דונלדסון]], [[דויד גבאי]], [[מיכאיל גרומוב]], [[טרנס טאו]] ו[[אנדרו ויילס]]. בשנת 2010 קבעה הוועדה כי פרלמן הוכיח את ההשערה וזכאי לפרס. החלטת הוועדה אושרה על ידי המועצה המדעית של מכון קליי ([[ג'יימס קארלסון]], סיימון דונלדסון, [[גרגורי מרגוליס]], [[ריצ'רד מלרוז]], [[יום-טונג סיו]] ואנדרו ויילס).
במרץ 2010 פרסם המכון הודעה על זכייתו של פרלמן. פרלמן התלבט כשלושה חודשים האם לקבל את הפרס.{{הערה|[https://www.youtube.com/watch?v=-56qGNDh6_k&t=2253s ראו כאן]}} לבסוף לקראת טקס הענקת הפרס הודיע פרלמן שהוא דוחה את הפרס. לא ברור מה ההסבר שנתן פרלמן. מקורות שונים מציינים הסברים שונים.{{הערה|{{קישור כללי|כתובת=https://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=3056|כותרת=Perelman Turns Down Millennium Prize {{!}} Not Even Wrong|שפה=en-US|תאריך_וידוא=2021-05-18}}}} חלקם נותנים את ההסבר הסתום "הסיבה העיקרית היא חוסר הסכמה עם הקהילה המתמטית. לא מוצאות חן בעיני ההחלטות שלהם, אני מוצא אותן לא הוגנות"{{הערה|למשל [https://youtu.be/-56qGNDh6_k?t=2374 כאן]}} אחרים מוסיפים הסבר מפורט יותר: "אני רואה בתרומתו של המתמטיקאי האמריקאי המילטון לפתרון הבעיה לא פחותה משלי"{{הערה|למשל [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Perelman/ כאן]}}

==השערת פואנקרה כמקרה מבחן לקשר בין תורות גאומטריות==
תחומים שונים ב[[גאומטריה]] עוסקים במחלקות שונות של [[עצם מתמטי|אובייקטים]] גאומטריים. לכל תחום יש את מחלקת האובייקטים שבה הוא עוסק ואת המניפולציות שאפשר לבצע על האובייקטים מבלי שנחשיב אותם לשוניים. בשפה של [[תורת הקטגוריות]] לכל תחום מתאימה קטגוריה. התחום חוקר את האובייקטים בקטגוריה המתאימה, ושני אובייקטים נחשבים לשקולים אם הם [[איזומורפיזם|איזומורפיים]] ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] המתאימה.

לעיתים כל אובייקט מתחום אחד מהווה גם אובייקט מתחום אחר. לדוגמה כל [[יריעה חלקה]], מהווה גם [[יריעה טופולוגית]] וכל יריעה טופולוגית מהווה גם [[מרחב טופולוגי]]. בשפה של תורת הקטגוריות מצב כזה אומר שיש [[פונקטור]] [[פונקטור שוכח|שוכח]] בין הקטגוריות המתאימות.

פונקטורים שוכחים הם בדרך כלל [[פנקטור נאמן|נאמנים]]. אם נתון פונקטור שוכח נאמן <math>F:\mathcal C \to \mathcal D</math> אפשר לראות באובייקטים ב - <math>\mathcal C</math> בתור אובייקטים ב-<math>\mathcal D</math> המצוידים במבנה נוסף ומקימים תכונות מסוימות.

לעיתים לא נדרש שום מבנה נוסף. במקרה כזה הפונקטור השוכח הוא [[פונקטור מלא]] וניתן לחשוב על <math>\mathcal C</math> בתור [[תת-קטגוריה מלאה]] ב-<math>\mathcal D</math>. זה המצב לדוגמה במקרה של הפונקטור השוכח בין יריעות טופולוגיות למרחבים טופולוגיים. לעיתים התנאים הנוספים שנדרשים מערבים רק את המבנה הנוסף, כך שעל כל אובייקט מ-<math>\mathcal D</math> קיים מבנה של אובייקט מ-<math>\mathcal C</math>. במקרה כזה הפונקטור הוא [[פונקטור סוריקטיבי עקרונית]] ואפשר לחשוב על <math>\mathcal C</math> בתור [[תת-קטגוריה רחבה]] של <math>\mathcal D</math>. זה המצב לדוגמה במקרה של הפונקטור השוכח בין מרחבים טופולוגיים ל[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]].

בהינתן פונקטור שוכח <math>F:\mathcal C \to \mathcal D</math> אפשר לשאול את שתי השאלות הבאות:
# על אילו אובייקטים מ-<math>\mathcal D</math> קיים מבנה של אובייקט מ-<math>\mathcal C</math>?
# בהינתן אובייקט מ-<math>\mathcal C</math>. כמה מבנים שונים (לא איזומורפים) של אובייקט מ-<math>\mathcal C</math> שיתאימו לאותו אובייקט ב <math>\mathcal D</math> ניתן להגדיר עליו? מהם?
ניתן לנסח את שתי שאלות אלה באופן הבא: פונקטור <math>F:\mathcal C \to \mathcal D</math> משרה העתקה <math>\bar F:\mathcal \bar C \to \mathcal \bar D</math> בין אספי מחלקות האיזומורדיזם של הקטגוריות המתאימות.
# עד כמה העתקה זו אינה [[העתקה על|על]]? מה התמונה שלה?
# עד כמה העתקה זו אינה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חח"ע]]? איך נראית [[תמונה הפוכה]] של איבר בתמונה?
לא תמיד יש עינין בשאלות אלה. לדוגמה
* אם הפונקטור הוא מלא אז תשובה לשאלה השנייה ברורה (ההעתקה היא חח"ע). במקרים אלה בדרך כלל התשובה לשאלה הראשונה פשוטה גם כן, כיוון שבדרך כלל <math>\mathcal C</math> מוגדרת בתור תת-קטגורית כל האובייקטים ב-<math>\mathcal D</math> המקימים תכונה מסוימת.
* אם הפונקטור סוריקטיבי עקרונית אז התשבה לשאלה הראשונה ברורה (ההעתקה היא על.)
* לפעמים, השאלה הראשונה אמורפית מדי ואין לצפות שתהיה לה תשובה סבירה. למשל אין לצפות לתיאור סביר של אוסף כל [[מטריקה|המטריקות]] ה[[מרחב מטרי#מרחב מטרי כמרחב טופולוגי|משרות]] [[טופולוגיה (טופולוגיה)|טופולוגיה]] מסוימת.
אולום במקרים רבים שאלות אלה הן קשות ומעניינות מאוד.

אחת הקטגוריות הבסיסיות ב[[טופולוגיה גאומטרית]] היא קטגורית היריעות הטופולוגיות הקומפקטיות. אחת הקטגוריות הבסיסיות ב[[טופולוגיה אלגברית]] היא קטגורית הטיפוסים ההומוטופיים. הספירות מהוות אובייקטים יסודי בשתי קטגוריות אלה.
השערת פואנקרה עוסקת בשאלה השנייה עבור הפונקטור השוכח בין קטגוריות אלה במקרה הפרטי של הספירה התלת-ממדית. כשההשערה נוסחה, הספירה התלת־ממדית הייתה הספירה מהמימד הנמוך ביותר עבורה ההשערה לא הייתה ידועה. היא גם הייתה האחרונה שעבורה נפתרה ההשערה. באופן כללי, שאלה זאת עדיין פתוחות בשביל אובייקטים כללים בקטגוריות אלה.
[[קובץ:Diagram_of_geometric_categories.png|950px|ממוזער|מרכז|קטגוריות של [[עצם מתמטי|אובייקטים]] מתחומים שונים ב[[גאומטריה]] ו[[פונקטור]]ים [[פונקטור שוכח|שוכחים]] ביניהם]]

==השערת פואנקרה ובעיית המרחב==
[[קובץ:CMB Timeline75-he.jpg|שמאל|ממוזער|300px|סקיצה דו־ממדית של [[מרחב-זמן]] 4-ממדי. לפי מודלים פשטניים, מרחב-זמן דומה לחרוט 4-ממדי שבסיסו הוא ספירה תלת-ממדית.]]
מספר מקורות,{{הערה|למשל [https://www.youtube.com/watch?v=tkzJARellyU] ו-[https://www.cantorsparadise.com/the-poincaré-conjecture-cb4ca7014cc5]}} בניסיון להנגיש את השערת פואנקרה, מנסים לקשר בין ההשערה ל[[מבנה היקום|בעיית תיאור היקום שלנו]]. אולם קשר זה רופף ביותר, מהסיבות הבאות:
* על-פי [[תורת היחסות הכללית]], אין משמעות לכלל היקום ברגע זמן אחד, אלא רק ל[[מרחב-זמן]]. תיאור כזה של היקום הוא 4-[[ממד (מתמטיקה)|ממד]]י ולא 3-ממדי כך שהשערת פואנקרה (הרגילה) לא מדברת עליו. יש תאוריות מאוחרות יותר מתורת היחסות שנותנות מספר ממדים שונה אך גם בהן אין משמעות פיזיקלית ליקום תלת-ממדי.
* על-פי התאריות הפיזיקליות המקובלות כיום, המרחב-זמן אינו [[קומפקט]]י. ההערכה היא שהיקום ימשיך ל[[התפשטות היקום|התפשט]] [[גורל היקום|לעד ללא גבול]].
* המרחב-זמן מכיל (ככול הנראה) נקודות, קווים ומשטחים סינגולריים ([[המפץ הגדול]], [[חור שחור|חורים שחורים]] ו[[חור שחור#חור שחור מסתובב|חורים שחורים מסתובבים]] בהתאמה). מבנה היקום בסביבת נקודות אלה עדין לא ברור לחלוטין, כך שייתכן שלא מדובר ביריעה. ניתן לא להתייחס לנקודות הסינגולריות עצמן כחלק מהיקום, אך אז הוא יהיה "עוד פחות קומפקטי"
* ניתן באופן עקרוני לבחור תת-יריעה [[מרחב דמוי חלל|דמוית חלל]] העוברת דרכינו בחלל-זמן ולהכריז עליה בתור היקום ברגע זה. בחירה כזאת תהיה שרירותית ולבחירות שונות עלולות להיות טופולוגיות שונות.
* ייתכן שניתן לבחור יריעה זו כך שהיא תהיה [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפית]] ל[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] התלת-ממדית ובפרט [[מרחב פשוט קשר|פשוטת קשר]]. אולם אין לכך שום ערובה. אם קיימים [[חור תולעת|חורי תולעת]], אז היא לא תהיה פשוטת קשר, ולא תהיה הומיאומורפית לספירה.
* גם אם יריעה זו הומיאומורפית לספירה, אין כל סיבה [[א-פריורי]] שהיא תהיה פשוטת קשר. ישנם שיקולים פיזיקליים [[היוריסטיקה|היוריסטיים]] המרמזים על כך שהמבנה הגלובלי של יריעה כזאת הוא דמוי ספירה{{הערה|ראו דוגמה דיון בנושא בספר "על תורת היחסות הפרטית והכללית"  של [[אלברט איינשטיין]]}} אך הם אינם מתבססים על כך שיריעה זו היא פשוטת קשר.

עם כל זאת, הספירה בכלל והספירה התלת־ממדית בפרט הן מהדוגמאות הבסיסיות לירעות. זה אחד ממקורות העינין בהשערת פואנקרה. מודלים רבים המתארים את מבנה היקום מתבססים על הספירה התלת-ממדית בצורה זאת או אחרת.

==לקריאה נוספת==
* דונל או'שיי, '''השערת פואנקרה''', [[הוצאת אריה ניר]], 2008
*מאשה גסן, '''חידת פרלמן, סיפור על גאון ועל פריצת הדרך המתמטית של המאה,''' הוצאת עליית הגג ומשכל, 2012
* [[איאן סטיוארט (מתמטיקאי)|איאן סטיוארט]], '''תיבת האוצרות המתמטיים של פרופסור סטיוארט''', [[כנרת זמורה-ביתן דביר]], 2012, הפרק "השערת פואנקרה", עמ' 160–165
* Szpiro, George (July 29, 2008). Poincaré's Prize: The Hundred-Year Quest to Solve One of Math's Greatest Puzzles. Plume. {{ISBN|978-0-452-28964-2}}.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
* [https://davidson.weizmann.ac.il/online/askexpert/math_and_comp/מהי-השערת-פואנקרה מהי השערת פואנקרה?] באתר [[מכון דוידסון לחינוך מדעי]]
* [https://www.youtube.com/watch?v=-56qGNDh6_k כתבה ברוסית על פרלמן, המספרת על תהליך הוכחת ההשערה מנקודת מבט לא מתמטית]
*[http://www.claymath.org/sites/default/files/millenniumprizefull.pdf הודעה לתקשורת של מכון קליי המבשרת על זכיתו של פרלמן בפרס וסוקרת את הבעיה ופתרונה]
* [https://www.newyorker.com/magazine/2006/08/28/manifold-destiny manifold destiny] מאמר בניו יורקר המאשים את [[שינג טונג יאו]] בניסיון לנכס לתלמידיו קרדיט על הוכחת השערת פואנקרה.
*[https://www.youtube.com/watch?v=hwOCqA9Xw6A סרטון] של [[נמברפייל]] המסביר על [[זרימת המילטון-ריצי]]

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{בעיות המילניום של מכון קליי}}
{{טופולוגיה גאומטרית}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:טופולוגיה]]
[[קטגוריה:בעיות נודעות במתמטיקה]]
[[קטגוריה:בעיות המילניום של מכון קליי]]
[[קטגוריה:משפטים בטופולוגיה|פואנקרה]]