הצגת המקור של הדף "השערת רימן"

ב[[מתמטיקה]], '''השערת רימן''' היא [[השערה (מתמטיקה)|השערה]] שהציע בשנת [[1859]] ה[[מתמטיקאי]] [[ברנהרד רימן]], מגדולי המתמטיקאים בהיסטוריה. לפי ההשערה, החלק הממשי של כל ה[[אפס של פונקציה|אפסים]] (ה[[טריוויאלי (מתמטיקה)|לא טריוויאליים]]) של [[פונקציה מרוכבת]] הידועה בשם "[[פונקציית זטא של רימן]]" הוא <math>\ \frac{1}{2}</math>. השערה זו, הקשורה קשר עמוק ל[[התפלגות]] של ה[[מספר ראשוני|מספרים הראשוניים]], היא מן ה[[בעיה פתוחה במתמטיקה|בעיות הפתוחות]] הבולטות ביותר ב[[תורת המספרים]] וב[[מתמטיקה]] בכלל, וכלולה ב-7 [[בעיות המילניום של מכון קליי]]. ההשערה הוצגה לראשונה ב-[[1859]] במאמרו של רימן [[על מספר הראשוניים מתחת לגודל נתון]].

==המתמטיקה של השערת רימן==
[[פונקציית זטא של רימן]] היא [[פונקציה מרוכבת]] המוגדרת עבור [[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]] s בעלי חלק ממשי גדול מ-1 על ידי <math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}</math>, ועבור ערכים אחרים באמצעות [[המשכה אנליטית]]. לאחר ההמשכה, הפונקציה [[פונקציה מרומורפית|מרומורפית]] בכל המישור, עם [[קוטב (אנליזה)|קוטב]] פשוט בנקודה s=1, ואפסים פשוטים בנקודות <math>\ s=-2,-4,-6,\dots</math>. אפסים אלו נקראים {{עוגן|אפסים טריוויאליים}}"האפסים הטריוויאליים", משום שהם נובעים מיד מן הנוסחה להמשכה האנליטית של הפונקציה. 

השערת רימן עוסקת באפסים של פונקציית זטא, מלבד אלה שבערכים השליליים הזוגיים. ההשערה קובעת שכולם נמצאים על {{עוגן|הישר הקריטי}}"הישר הקריטי" <math>\ \mbox{Re}(z)=\frac{1}{2}</math>. 

רימן פרסם את השערתו במאמרו העוסק בהתפלגות המספרים הראשוניים, ולהשערה קשר עמוק להתפלגות זו. בשנת [[1896]] הוכיחו [[ז'אק אדמר]] ו[[שארל דה לה ואלה פוסן]], כל אחד מהם באופן עצמאי, שלפונקציה אין אפסים על הישר <math>\, \mbox{Re}(z)=1</math>, ותוצאה זו לבדה הספיקה להם כדי להוכיח את [[משפט המספרים הראשוניים]]. מכאן נובע גם שעל כל האפסים להימצא ב"רצועה הקריטית" <math>\, 0< \mbox{Re}(z) < 1</math>. בשנת [[1900]] כלל ה[[מתמטיקאי]] הנודע [[דויד הילברט]] את השערת רימן ברשימת [[23 הבעיות של הילברט|23 הבעיות]] שלו כבעיה השמינית, רשימה שהיוותה אתגר למתמטיקאים במהלך [[המאה ה-20]], ואחדות מהבעיות שבה עודן מחכות לפתרון. הוא אמר אודות הבעיה: "אם אתעורר לאחר שינה בת חמש-מאות שנה, שאלתי הראשונה תהיה: האם הוכיחו כבר את השערת רימן?"{{הערה|1=The Riemann Hypothesis, J. Brian Conray, Notices of the AMS, March 2003, [http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf]}}.

[[הלגה פון קוך]] הוכיח ב-[[1901]] כי השערת רימן שקולה לגרסה החזקה הבאה של [[משפט המספרים הראשוניים]]:  <math>\pi(x)=\int_2^x \frac{dt}{\ln{t}} + O(\sqrt{x}\ln{x})</math> כאשר <math>\ x\to\infty</math>.{{כ}} <math>\pi(x)</math> היא [[פונקציית המספרים הראשוניים]]. 

השערת רימן שקולה לכך שהתפלגות הסימן של [[פונקציית מביוס]] <math>\ \mu</math> מקיימת את התנאי <math>\ M(x) = \sum_{n \leq x}\mu(n) = O(x^{1/2+\epsilon})</math> לכל <math>\epsilon>0</math>. 

השערת רימן שקולה לכך ש[[קבוע דה ברויין-ניומן]] אינו גדול מאפס.

=== השערת רימן המוכללת ===

פונקציית זטא של דדקינד עבור [[שדה מספרים]] <math>\,K</math> היא ההמשכה האנליטית של 
<math>\zeta_K(s)=\sum_{I\sub\mathcal O_K}\big(N^K_{\mathbb Q}(I)\big)^{-s}</math>, כאשר <math>\,I</math> עובר על ה[[אידיאל (אלגברה)|אידיאלים]] של [[חוג דדקינד|חוג השלמים]] <math>\mathcal O_K</math>, ו-<math>N^K_{\mathbb Q}(I)=|\mathcal O_K : I|</math>, הנורמה של <math>\,I</math>. אם <math>\,K</math> הוא [[שדה המספרים הרציונליים]], מתקבלת פונקציית זטא של רימן. גם במקרה הכללי, הטור המתאר את פונקציית זטא מתכנס עבור <math>\ \mbox{Re}(s)>1</math>, וקיימת עבורו המשכה ל[[פונקציה מרומורפית]] בכל [[המישור המרוכב]] שיש לה קוטב פשוט יחיד ב-<math>\ s=1</math>.

'''השערת רימן המוכללת''' גורסת כי לכל שדה מספרים <math>\,K</math>, כל אפס s של פונקציית זטא של דדקינד המתאימה מקיים <math>\mbox{Re}(s)=\frac12</math>.

==מקומה של השערת רימן במתמטיקה המודרנית==
השערת רימן היא אחת ההשערות החשובות ביותר במתמטיקה המודרנית. אחת הסיבות לכך היא שישנם אלפי מאמרים מתמטיים שמוכיחים משפטים מתמטיים שונים רק בהנחה שהשערת רימן נכונה. ראויה לציון העובדה שפעמים רבות הוכח משפט מתמטי כלשהו רק בתנאי שהשערת רימן נכונה ורק לאחר מכן הוא הוכח שוב מבלי להניח אותה. כמובן שהישג כזה מוערך גם אם התוצאה המותנית בהשערה הייתה ידועה קודם לכן, מכיוון שהשערת רימן טרם הוכחה. ישנן בעיות שהוכח לגביהן שאם השערת רימן נכונה, ניתן יהיה להתקדם בהן לקראת פתרון (כגון [[השערת גולדבך]]). כמו כן לפעמים מאמר מתמטי משפר חסם מתמטי כלשהו ועושה זאת בו זמנית לשני ערכים שונים, אחד (משופר יותר) המניח את נכונותה של השערת רימן, ואחד (משופר פחות) מבלי להניח את נכונותה{{הערה|ראה למשל ב: D. R. Heath-Brown and J.-C. Puchta. Integers represented as a sum of primes and powers of two.
Asian J. Math., 6(3):535–565, 2002. שמוכיח שמספיק סכום של שני ראשוניים ו13 חזקות של 2 בשביל לבטא כל מספר, אם לא נניח את נכונות השערת רימן, ואם נניח את נכונותה, יספיק סכום של שני ראשוניים ו7 חזקות של 2 בשביל לבטא כל מספר/ זו כמובן רק דוגמה אחת מיני מאות.}}. השערת רימן כל כך נפוצה ומפורסמת כך שמתמטיקאים נוטים להזכירה במאמרים מתמטיים בראשי תיבות מבלי להסביר אותם כגון: GRH = Generalized Riemann Hypothesis  = השערת רימן המוכללת.

===פרס קליי===
{{הפניה לערך מורחב|בעיות המילניום של מכון קליי}}
בשנת [[2000]] הכריז [[מכון קליי למתמטיקה]], הנמצא בקיימברידג', [[מסצ'וסטס]], על פרס בסך מיליון דולר שיינתן לראשון שיפתור אחת משבע [[בעיות המילניום של מכון קליי|בעיות מתמטיות מרכזיות]]. אחת משבע הבעיות האלו היא השערת רימן והפרס יינתן למי ש[[הוכחה|יוכיח]] את נכונותה.
 <!-- [[הפרכה|הפרכת]] הטענה, אף שגם היא מהווה פתרון של הבעיה, אינה מזכה בפרס. הסבר אפשרי להבחנה זו טעון בעובדה שאם הטענה אינה נכונה, ניתן להפריכה באמצעות [[תוכנית מחשב]] שתמצא דוגמה שבה הטענה אינה מתקיימת, ואילו אם הטענה נכונה, רק גאונות אנושית תצליח להוכיחה. -->

==ראו גם==
* [[כאוס קוונטי]]

==לקריאה נוספת==
* [[מרכוס דו סוטוי]], '''המוזיקה של המספרים הראשוניים''', [[ספרי עליית הגג]] ו[[הוצאת ידיעות אחרונות]], תרגם: אוריאל גבעון, [[2006]].

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [http://www.utm.edu/research/primes/notes/rh.html השערת רימן] באתר "מספרים ראשוניים"
* {{לא מדויק|2010/02/08/riemann_hypothesis_overview/|אז מהי השערת רימן?}}
* {{iCast||{{כ}}'''BioCast''' - אלף אישים באלף שניות: {{שם הערך}}|379261|401895|9 באוקטובר 2011}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{בעיות המילניום של מכון קליי}}
{{פונקציות L וזטא}}

{{בקרת זהויות}}

{{מיון רגיל:רימן, השערת}}
[[קטגוריה:השערת רימן|*]]
[[קטגוריה:תורת המספרים האנליטית]]
[[קטגוריה:בעיות פתוחות בתורת המספרים]]
[[קטגוריה:הבעיה השמינית של הילברט]]
[[קטגוריה:בעיות המילניום של מכון קליי]]
[[קטגוריה:פונקציות זטא]]
[[קטגוריה:ברנהרד רימן]]