הצגת המקור של הדף "השערת abc"

'''השערת abc''' היא השערה מרחיקת לכת בענף ה[[אנליזה דיופנטית|אנליזה הדיופנטית]] של [[תורת המספרים]], שהציעו [[ז'וזף אוסטרלה]] (Joseph Oesterlé) ו[[דויד מסר]] (David Masser) בסוף [[שנות ה-80 של המאה ה-20]]. ההשערה ידועה לפיכך גם בשם '''השערת אוסטרלה-מסר'''. ההשערה מכלילה [[משפט (מתמטיקה)|משפטים]] חשובים ו[[השערה (מתמטיקה)|השערות]] מרכזיות בתחום, ובהם [[משפט פאלטינגס]] וגרסה חלשה של [[המשפט האחרון של פרמה]]. לפי ההשערה, אם a,b,c הם [[מספרים זרים]] המקיימים <math>a+b=c</math>, אז ה[[רדיקל של מספר שלם|רדיקל]] <math>\operatorname{rad}(abc)</math> אינו קטן בהרבה מ-c. זהו נוסח עבור [[מספר שלם|מספרים שלמים]] של [[משפט מייסון-סטותרס]] על [[פולינום|פולינומים]]. 

באוגוסט 2012 הודיע המתמטיקאי היפני [[שיניצ'י מוצ'יזוקי]] (Shinichi Mochizuki) כי הוא פיתח גישה חדשה, "תורת טייכמולר בין-מרחבית" (inter-universal Teichmüller theory), המובילה לדבריו להוכחה של השערת abc. מומחים ב[[גאומטריה לא קומוטטיבית]] העריכו שיש בגישה זו תוכן של ממש, אם כי קשה לראות בשלב זה יישומים אחרים של התורה. למרות שיתוף פעולה מסוים מצידו של מוצ'יזוקי, וכנסים שנערכו בניסיון לפענח את ההוכחה, הבעיה מתקדמת באיטיות. בסוף 2017 התקבלו מאמריו של מוצ'יזוקי לפרסום בכתב העת של ה-
Research Institute for Mathematical Sciences של [[אוניברסיטת קיוטו]], שבו מוצ'יזוקי הוא העורך הראשי. מומחים מובילים עדיין אינם רואים בכך ראיה לנכונותה של ההוכחה [http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=9871].

== ההשערה ==
לכל <math>\epsilon>0</math> יש לכל היותר מספר סופי של שלשות של מספרים זרים a,b,c המקיימות <math>a+b=c</math> ו- <math>c>\operatorname{rad}(abc)^{1+\epsilon}</math>, כאשר <math>\operatorname{rad}(abc)</math> היא מכפלת ה[[גורם ראשוני|גורמים הראשוניים]] השונים של המכפלה abc. הגרסה האפקטיבית של ההשערה קובעת שאין פתרון למשוואה a+b=c עבור a,b,c זרים המקיימים <math>c > \operatorname{rad}(abc)^2</math>.

עבור רוב המספרים, הרדיקל <math>\operatorname{rad}(n)</math> הוא מסדר הגודל של n, ורק לעיתים נדירות הוא קטן בהרבה: זה קורה כאשר n מתחלק ב[[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] גבוהה של גורם ראשוני. למשל, <math>\operatorname{rad}(2^4\cdot3^5)=2\cdot 3=6 \ll 2^4\cdot 3^5=3888</math>. משום כך, בדרך כלל יהיה הרדיקל של abc גדול מ-c. שלשות כמו <math>3+125=128</math> שבהן הרדיקל קטן, <math>\operatorname{rad}(3\cdot 5^3\cdot 2^7)=30 < 128</math>, הן נדירות למדי. יש אמנם מספר אינסופי של שלשות שעבורן <math>c>\operatorname{rad}(abc)</math>, אבל על-פי ההשערה, אם מחזקים את ה[[אי-שוויון (מתמטיקה)|אי-שוויון]] הזה מעט ודורשים <math>c>\operatorname{rad}(abc)^{1+\epsilon}</math>, יש לו כאמור רק מספר פתרונות סופי.

==קישורים חיצוניים==
* {{הארץ|אסף שטול-טראורינג|עבודה של 500 עמודים עשויה לפתור תעלומה מתמטית|1.1827725|20 בספטמבר 2012}}
* "Around ABC", Preda Mihaiescu, The European Mathematical Society Newsletter, pp. 29-34, Sept. 2014.
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:בעיות פתוחות בתורת המספרים]]