הצגת המקור של הדף "התכנסות (הסתברות)"

ב[[תורת ההסתברות]] יש כמה משמעויות שונות למושג ה'''התכנסות''' של [[סדרה (מתמטיקה)|סדרת]] [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]], שכולן [[הכללה (מתמטיקה)|מכלילות]] את המושג המתמטי הפשוט יותר, [[גבול של סדרה]]. כמו בענפים אחרים ב[[אנליזה מתמטית|אנליזה]], ההתכנסות של סדרה ל[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] היא רעיון מרכזי בתורת ההסתברות, ויש לו השלכות חשובות ב[[סטטיסטיקה]] וב[[תהליך סטוכסטי|תהליכים סטוכסטיים]]. 

לדוגמה, נניח ש-<math>\ X_n</math> סדרה של משתנים מקריים [[משתנים בלתי תלויים|בלתי תלויים]] בעלי [[תוחלת]] <math>\ \mu</math> ו[[שונות]] <math>\ \sigma^2</math>, ותהי <math>\ Y_n = \frac{X_1+\dots+X_n}{n}</math> סדרת הממוצעים. לפי [[חוק המספרים הגדולים|החוק החלש של המספרים הגדולים]], הסדרה <math>\ Y_n</math> '''מתכנסת בהסתברות''' אל התוחלת; לפי [[חוק המספרים הגדולים|החוק החזק של המספרים הגדולים]], אותה סדרה '''מתכנסת כמעט בוודאות'''; ואילו לפי [[משפט הגבול המרכזי]], הסדרה המתוקננת <math>\ \frac{Y_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}</math> '''מתכנסת בהתפלגות''' אל ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.

להלן, <math>\ X</math> הוא משתנה מקרי ו-<math>\ X_1,X_2,\dots,X_n,\dots</math> היא סדרה של משתנים מקריים, המוגדרים כולם על אותו [[מרחב הסתברות]] (למעט התכנסות בהתפלגות המוגדרת גם ללא הדרישה למרחב משותף). 

== התכנסות בהתפלגות ==

נניח ש- <math>\ F_n</math> הן [[פונקציית הצטברות|פונקציות ההסתברות המצטברת]] של המשתנים המקריים <math>\ X_n</math>, וש- <math>\ F</math> היא [[פונקציית הסתברות|פונקציית ההסתברות]] המצטברת של <math>\ X</math>. הסדרה <math>\ X_n</math> '''מתכנסת בהתפלגות''' ל- X, אם לכל x שבו F [[רציפות|רציפה]], <math>\ F_n(x) \rightarrow F(x)</math>, כלומר, סדרת הפונקציות <math>\ F_n</math> [[גבול של סדרת פונקציות|מתכנסת נקודתית]] לפונקציה F לכל [[רציפות|נקודת רציפות]] של F. מכיוון ש- <math>\ F(x) = P(X \leq x)</math>, משמעותה של התכנסות כזו היא שהסיכוי של <math>\ X_n</math> ליפול בקטע מסוים, כאשר n גדול מספיק, קרוב לסיכוי של X ליפול באותו קטע. 
מקובל לסמן התכנסות בהתפלגות ב- <math>\ X_n \xrightarrow{\mathcal D} X</math>. 

התכנסות בהתפלגות היא הצורה החלשה ביותר של התכנסות, והיא נקראת לפעמים '''התכנסות חלשה''', בדומה ל[[התכנסות (תורת המידה)|התכנסות חלשה]] של [[מידה (מתמטיקה)|מידות]]. התכנסות בהתפלגות שקולה להתכנסות נקודתית של סדרת הפונקציות המציינות אל הפונקציה המציינת של המשתנה בגבול. סוג זה של התכנסות נובע מכל אחד מן הסוגים האחרים שיוצגו להלן, ומכאן שהוא השכיח ביותר. אם המשתנה המקרי X הוא קבוע, אז התכנסות בהתפלגות שקולה ל[[#התכנסות בהסתברות|התכנסות בהסתברות]], החזקה ממנה בדרך כלל.

התכנסות בהתפלגות נשמרת תחת [[פונקציה רציפה|פונקציות רציפות]]: אם <math>\ X_n \xrightarrow{\mathcal D} X</math> אז <math>\ f(X_n) \xrightarrow{\mathcal D} f(X)</math> לכל פונקציה רציפה <math>\ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>.

התכונה "<math>\ F_n(x) \rightarrow F(x)</math> לכל x" (ללא המגבלה על הרציפות של F) חזקה ממש מהתכנסות בהתפלגות.

== התכנסות בהסתברות ==

הסדרה <math>\ X_1,\dots,X_n,\dots</math> '''מתכנסת בהסתברות''' אל המשתנה המקרי X, אם לכל <math>\ 0 < \delta</math>, סדרת ההסתברויות <math>\ P(|X_n - X|<\delta)</math> [[גבול של סדרה|מתכנסת]] ל-1. במילים אחרות, הסיכוי לכך שאברי הסדרה יהיו רחוקים מ- X, שואף לאפס. 
מקובל לסמן התכנסות בהסתברות ב- <math>\ X_n \xrightarrow{P} X</math>. כל סדרה המתכנסת בהסתברות, מתכנסת גם בהתפלגות.

== התכנסות כמעט בוודאות ==

הסדרה <math>\ X_1,\dots,X_n,\dots</math> '''מתכנסת כמעט בוודאות''' (Almost surely) אל המשתנה המקרי X, אם הסיכוי לכך ש- <math>\ \lim_{n\rightarrow \infty} X_n = X</math> שווה ל-1. במקרה כזה מסמנים <math>\ X_n \xrightarrow{a.s.} X</math>. התכנסות כמעט בוודאות נקראת לפעמים '''התכנסות בהסתברות 1''', '''התכנסות כמעט בכל מקום''', או '''התכנסות במובן החזק'''. 

מונח זה הוא [[מקרה פרטי]] של [[כמעט כל (מתמטיקה)#הכול פרט לקבוצה ממידה אפס|התכנסות כמעט בכל מקום]] של סדרת פונקציות [[פונקציה מדידה|מדידות]]. במקרה ההוא ה[[מידה (מתמטיקה)|מידה]] לא בהכרח סופית, ולכן ההגדרה הכללית היא שקבוצת הנקודות עליהן '''אין''' התכנסות היא מ'''מידה אפס'''.

כל סדרה המתכנסת כמעט בוודאות מתכנסת גם בהסתברות, ולכן גם בהתפלגות. מאידך, התכנסות כמעט בוודאות אינה שכיחה במיוחד. למשל, אם המשתנים <math>\ X_n</math> [[משתנים מקריים בלתי תלויים|בלתי תלויים]], אז הסדרה אינה יכולה להתכנס כמעט בוודאות, אלא אם המשתנה X שאליו היא מתכנסת הוא קבוע. אם למשתנים תוחלת אפס והטור <math>\ \sum V(X_n)</math> [[טור מתכנס|מתכנס]], אז הסדרה מתכנסת לאפס כמעט בוודאות.

=== התכנסות כמעט תמיד ===

הסדרה <math>\ X_1,\dots,X_n,\dots</math> '''מתכנסת כמעט תמיד''' אל X, אם לכל <math>\ \delta>0</math>, ההסתברויות <math>\ p_n = P(\forall k>n: |X_k - X| < \delta)</math> שואפות ל-1. תופעה זו שקולה להתכנסות כמעט בוודאות.

=== התכנסות בוודאות ===
אם הגבול <math>\ \lim_{n\rightarrow \infty} X_n</math> קיים ושווה ל- X בוודאות (ולא רק בהסתברות 1), אז הסדרה '''מתכנסת בוודאות''' ל-X. זוהי התכנסות חזקה יותר מהתכנסות כמעט בוודאות, אך מבחינת תורת ההסתברות ההבדל בין השתיים זניח, ולכן ההתכנסות בוודאות אינה שימושית במיוחד.

== התכנסות בתוחלת ==
הסדרה <math>\ X_1,\dots,X_n,\dots</math> '''מתכנסת בתוחלת''' אל <math>X</math>, אם לכל המשתנים המקריים <math>\ |X_n|</math> יש תוחלת סופית, והסדרה <math>\ E(|X_n-X|)</math> שואפת לאפס.

באופן כללי יותר, הסדרה '''מתכנסת במומנט ה-p-י''' (<math>X_n \xrightarrow{\overset{}{L^p}} X</math>) אם לכל המשתנים כנ"ל יש מומנט p-י סופי, והסדרה הסדרה <math>\ E(|X_n-X|^p)</math> שואפת לאפס. זוהי למעשה התכנסות ב[[מרחב Lp]]. התכנסות בתוחלת היא מקרה פרטי של התכנסות במומנט – היא התכנסות במומנט הראשון.

אם <math>X_n</math> מתכנסת במומנט השני ל־<math>X</math>{{כ}} (<math>p=2</math>), אומרים ש־<math>X_n</math> מתכנסת ב'''ממוצע ריבועי''' (mean square) ל־<math>X</math>{{כ}} (<math>X_n \xrightarrow{\overset{}\overset{}\text{m.s.}} X</math>).

התכנסות במומנט ה-p-י חזקה יותר ככל ש-<math>p</math> גדול יותר (בתנאי ש־<math>\ p\geq 1</math>), ותמיד (לכל <math>0 < p</math>) נובעת ממנה התכנסות בהסתברות (לפי [[אי-שוויון צ'ביצ'ב]]). מאידך, אם המשתנים <math>\ X_n</math> חסומים, אז התכנסות בהסתברות גוררת גם התכנסות במומנט ה-p-י לכל <math>\ p \geq 1</math>.

==התכנסות חלשה==
סוג נוסף של התכנסות הוא '''התכנסות חלשה''' - נאמר כי <math>X_n \overset{w}{\to} X</math> (מהמילה weakly) אם לכל פונקציה רציפה וחסומה <math>g</math> מתקיים <math>E[g(X_n)] \to E[g(X)]</math>.

התכנסות חלשה למעשה שקולה להתכנסות בהתפלגות. למעשה, אפשר להחליף בשקילות את התנאי על הפונקציה שתהיה [[פונקציה חסומה]] וגזירה כל מספר סופי של פעמים.

== הגדרות פורמליות של טיפוסי ההתכנסות ==
הסדרה <math>\ X_1,\dots,X_n,\dots</math> '''מתכנסת בהסתברות''' ל-<math>\ X</math> אם
* <math>\ \forall \epsilon > 0: \forall \delta > 0: \exists N\!: \forall n>N\!: P(|X_n-X|<\delta) > 1-\epsilon</math>;
'''מתכנסת כמעט תמיד''' אם
* <math>\ \forall \epsilon > 0: \forall \delta > 0: \exists N\!: P(\forall n>N\!: |X_n-X|<\delta) > 1-\epsilon</math>;
ו'''מתכנסת כמעט בוודאות''' אם
* <math>\ P(\forall \delta > 0: \exists N\!: \forall n>N\!: |X_n-X|<\delta) = 1</math>.

== ראו גם ==
* [[התכנסות של סדרת פונקציות]]

== לקריאה נוספת ==
*[[עלי מרצבך]] ו[[אברהם שמרון]], '''תורת ההסתברות''', [[אקדמון]], 1994.

[[קטגוריה:תורת ההסתברות]]
[[קטגוריה:התכנסות (מתמטיקה)]]