הצגת המקור של הדף "התמרת פורייה"

{{לשכתב|הערך הוא כמעט דף נוסחאות. חסרים הסברים רחבים בהרבה על החשיבות והשימושים|נושא=מדעי הטבע|כל הערך=כן}}
{{סימון מתמטי}}
'''התמרת פורייה''' (נקראת גם '''טרנספורם פורייה'''; {{שם בשפת המקור|שם=Fourier transform|שפה=אנגלית}}) היא התמרה אינטגרלית {{אנ|Integral transform}} המשמשת ככלי מרכזי ב[[אנליזה הרמונית]]. התמרת פורייה היא פירוק של פונקציה לרכיבים מחזוריים ([[סינוס (טריגונומטריה)|סינוסים]] ו[[קוסינוס]]ים או לחלופין [[אקספוננט|אקספוננטים מרוכבים]]) וביצוע [[אנליזה מתמטית]] לפונקציה על ידי ניתוח רכיביה. בשל כך ניתן לראות את ההתמרה בתור מיפוי בין מרחב ה[[זמן]] למרחב ה[[תדר]]. שיטה זו פותחה על ידי [[ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה]] וקרויה על שמו.

להתמרות פורייה יש שימוש נרחב מאוד ב[[פיזיקה]], ב[[הנדסה]] ובכל תחום העוסק ב[[פולס]]ים וב[[גל]]ים, ובפרט ב[[אופטיקה פיזיקלית|אופטיקת גלים]] וב[[מכניקת הקוונטים]]. התמרת פורייה היא אחד הכלים החשובים ב[[הנדסת חשמל]] ומהווה את הבסיס המדעי לפיתוחים טכנולוגיים בתחומי ה[[תקשורת ספרתית|תקשורת הספרתית]], [[עיבוד אותות]] ומערכות ליניאריות, [[עיבוד תמונה]] ו[[קידוד (זיכרון)|קידוד]]. כמו כן, התמרת פורייה משמשת ככלי בתחומים רבים נוספים של ה[[מתמטיקה]], למשל בתור כלי עזר לפתרון של [[משוואה דיפרנציאלית|משוואות דיפרנציאליות]], או בתורת המספרים האנליטית (למשל [[:en:Poisson summation formula|נוסחת הסכימה של פואסון]]). ב[[פיזיקה של מצב מוצק]] ניתן להשתמש בהתמרת פורייה למעבר מהסריג הישיר (כלומר סריג המתאר את מבנה ה[[גביש]] במרחב המקום) ל[[סריג הופכי]] (סריג המתאר את אותו הגביש ב"מרחב הגל").

התמרת פורייה מהווה כלי חשוב בניתוח של צלילים משום שצליל צלול (תו בתדר בודד) הוא למעשה [[גל קול]] המתנודד בזמן בתדר מסוים. ההתמרה מאפשרת לנתח צלילים ולבודד את התדרים המרכיבים אותם. באופן כללי יותר, התמרת פורייה מאפשרת לאתר רכיבים מחזוריים בתוך פונקציה, ולכן יש לה שימוש רחב בניתוח אותות ובעיבוד תמונה.

ההתמרה היא הרחבה ל[[טור פורייה]] – כאשר זמן המחזור של הפונקציה המחזורית בטור פורייה שואף לאינסוף מתקבלת התמרת פורייה.

== מוטיבציה – פירוק לפונקציות הרמוניות ==
התמרת פורייה נוצרה מהצורך לפרק כל פונקציה, לצירוף של כמה [[פונקציה הרמונית|פונקציות הרמוניות]], כאשר פונקציה הרמונית מוגדרת כ[[פונקציה מחזורית]] בעלת תדירות זוויתית <math>\omega</math> (לפעמים נקראת בקיצור "פונקציה הרמונית" או פשוט "הרמוניה"). הצורה הכללית של פונקציה הרמונית היא:
: <math>f_{\omega}(t) = A e^{\pm i\omega t}= A\cos(\omega t)\pm iA\sin(\omega t)</math>.
צירוף ליניארי של כמה פונקציות כאלה נותן ביטוי מהצורה הכללית:
: <math>f_S(t)=1/T\sum_k f_{\omega_k}(t) = 1/T\sum_k A_k e^{ i\omega_k t}</math>
כאשר <math>T</math> הוא זמן המחזור של <math>f_{\omega_0}(t)</math>, ו־<math>A_k </math> היא התמרת פורייה ההפוכה של <math>f_S(t)</math> עבור <math>\omega_k</math> המחושב כך:
: <math>A_k=\int_{0+\alpha}^{T+\alpha} f_S(t) e^{ -i\omega_k t} dt </math>.
על ידי הכפלת כל מקדם בהרמוניה המתאימה לו וסכימת המכפלות, מקבלים את הפונקציה המקורית כסכום של פונקציות [[אורתונורמליות]] (כלומר פונקציות בלתי תלויות ליניארית שהנורמה של כל אחת מהן היא 1). כל אחד מהמקדמים, בתחום [[הנדסת חשמל|הנדסת החשמל]] ובייצוג של האות (סיגנל) המקורי כתלות בזמן, מייצג עוצמה של תדר במערכת היחידות החדשה שאליה הומר על ידי התמרת פורייה ההפוכה.

כאשר בביטוי האחרון לשם מציאת המקדם, משתמשים בדרך כלל בתוך <math>f(t)</math> בערכים של הפונקציה מצורתה הרגילה, כלומר בערכים מתוך הפונקציה המקורית.

<math>\omega</math> – מרחב הפונקציה המותמרת – נקרא מרחב התדירות הזוויתית, או פשוט '''[[תדירות|מרחב התדר]]'''. אפשר לראות את המשרעת והפאזה של <math>A(\omega)</math> כרכיבים של אות מחזורי בעל [[תדירות זוויתית]] <math>\omega</math>. למרחב המקורי קוראים '''מרחב הזמן'''.

משמעות ההתמרה למרחב התדר היא שמקבלים [[פונקציה מרוכבת]] שמחזירה עבור כל תדירות את המשרעת והפאזה המתאימות על ידי [[מספר מרוכב]] (ערכו המוחלט הוא המשרעת, והזווית שלו היא הפאזה). דבר זה נותן כלי חזק מאוד לניתוח התנהגות של פונקציות מבחינת התדר.

דוגמה לשימוש בהתמרה: בקובצי שמע ניתן לפרק את גל הקול לפונקציות הרמוניות ולהסיר מהקובץ את התדירויות הגבוהות (על ידי מסנן מעביר תדרים נמוכים – low-pass filter) שהאוזן לא שומעת ובכך להקטין את נפח הקובץ באופן משמעותי.

== הגדרה פורמלית ראשונה==
התמרת פורייה של פונקציה <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}</math> מוגדרת כפונקציה <math>F: \mathbb{R} \to \mathbb{C}</math> כך שמתקיים:
{{משוואה
|כותרת = '''התמרת פורייה'''
|הזחה = :
|משוואה = <math>F(\omega) \equiv \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt </math>
|ריווח תא = 6
|צבע מסגרת = #50C878
|צבע רקע = #ECFCF4}}
אפשר להגדיר את ההתמרה בעזרת קבועים אחרים, בחירת הקבועים נעשית משיקולי נוחות. ההתמרה מוגדרת רק עבור פונקציות שעבורן אינטגרל כזה מוגדר ולא מתבדר. האינטגרל קיים עבור פונקציות שהן [[פונקציה אינטגרבילית|אינטגרביליות]] בערכן המוחלט לפי לבג, כלומר פונקציות ב-<math>L_1(\mathbb{R})</math>. מכאן ניתן להגדיר את התמרת פורייה בקבוצה <math>L_1(\mathbb{R})\cap L_2(\mathbb{R})</math> שהיא [[קבוצה צפופה]] ב-<math>L_2(\mathbb{R})</math>. בשלב הבא מרחיבים את ההתמרה על כל <math>L_2(\mathbb{R})</math>, ומקבלים שהתמרת פורייה מוגדרת על אוסף הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג – <math>L_2(\mathbb{R})</math> שהוא [[מרחב הילברט]].

=== התמרת פורייה ההפוכה ===
באופן דומה, אפשר להגדיר את ההתמרה בצורה הבאה (התמרה זו נקראת התמרת פורייה הפוכה). זו ההתמרה של פונקציה <math>\mathcal{F}: \mathbb{R} \to \mathbb{C}</math> שניתנת על ידי:
{{משוואה
|כותרת = '''התמרת פורייה הפוכה'''
|הזחה = :
|משוואה = <math>f(t) = \mathcal{F}(t) \equiv \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega </math>
|ריווח תא = 6
|צבע מסגרת = #0073CF
|צבע רקע = #F5F9FF}}

אפשר לראות שהפעלת התמרת פורייה ההפוכה על התמרת פורייה מחזירה את הפונקציה המקורית.
: <math>\mathcal{F}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega =
 \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} d\omega \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-i\omega x} e^{i\omega t} dx = </math>
:<math> = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\omega (t-x)} d\omega\right) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta{(t-x)} dx = f(t) </math>
שכן:
: <math>\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\omega (t-x)} d\omega = \delta(t-x) \ \ </math>

כאשר <math>\delta(t-x)</math> היא [[פונקציית דלתא של דיראק]].

== הגדרה פורמלית שנייה==
אפשר לכתוב כל פונקציה <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}</math>, שהיא פונקציה [[אינטגרל|אינטגרבילית]] בריבוע לפי לבג (אפשר לכתוב זאת בקיצור כך <math>f \in L_2</math>) כצירוף ליניארי (אינטגרלי) של פונקציות הרמוניות בעלות תדר יחיד באופן הבא:
::: <math>(1) \quad \quad \quad \quad f(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}{ \hat{f}(\omega) \ e^{i \omega t} \ d\omega}</math>

הפונקציה <math>\hat{f}(\omega)</math> נתונה על ידי
::: <math>(2) \quad \quad \quad \quad \hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}{ f(t) \ e^{-i \omega t} \ dt} </math>

<math>\hat{f}(\omega)</math> נקראת "ההצגה של <math>f</math> במרחב ה[[תדירות|תדר]]" בעוד שהפונקציה <math>f(t)</math> נקראת "ההצגה של <math>f</math> במרחב ה[[זמן]]".

ניתן להצדיק נוסחה זאת משיקולים של [[אורתוגונליות]] במרחב <math>L_2</math>.

;מינוח
* ההעתקה המתאימה לכל פונקציה במרחב התדר את הפונקציה המתאימה במרחב הזמן על פי [[משוואה]] (1) נקראת '''"התמרת פורייה הפוכה"'''.
* ההעתקה המתאימה לכל פונקציה במרחב הזמן את הסט הרציף של המשרעות והפאזות עבור כל תדירות (למעשה, זוהי פונקציה במרחב התדר) על פי משוואה (2) נקראת '''"התמרת פורייה"'''.
* לעיתים מחליפים בין המונחים הנ"ל בספרים שונים.

== סימונים וגורמי נרמול ==
מספר סימונים שונים נהוגים עבור התמרת פורייה וכן ישנן מספר מוסכמות איפה להכניס את גורמי הנרמול בסך <math>1 / 2 \pi </math>.

להלן הגישות הנפוצות בנושא:
* הוספת גורם הנרמול <math>1 / 2 \pi</math> באחד מכיווני ההתמרה.
* הוספת גורם נרמול <math>1 / \sqrt{ 2 \pi}</math> לפני כל אחת מההתמרות.
* הוספת גורם הנרמול <math>1 / 2 \pi</math> להגדרת המכפלה הפנימית.

גישת הסימונים שהופיעה בהגדרה השנייה היא הגישה הנפוצה ב[[פיזיקה]] וב[[הנדסה]]. היא גם שכיחה ב[[מתמטיקה עיונית]], אם כי בתחום זה גם גישות סימון אחרות זוכות לתפוצה רחבה.

== העיקרון המתמטי שמאחורי התמרת פורייה ==
=== מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג ===
המרחב <math>L_2</math> הוא מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג. מרחב זה, בצירוף [[מכפלה פנימית|המכפלה הפנימית]]
: <math>\lang f | g \rang \equiv \int_{-\infty}^{+\infty}{ f(t) \ \overline{g(t)} \ dt} = \int_{-\infty}^{+\infty}{ f(t) \ {g(t)}^* \ dt}</math> הוא [[מרחב הילברט]].
אוסף הפונקציות <math>\left\{ e(\omega)\equiv \frac{e^{i \omega t}}{\sqrt{2 \pi}} \right\}_{\omega \in \mathbb{R}}</math> מהווה [[מערכת אורתונורמלית שלמה]], שהיא מעין הכללה של [[בסיס (אלגברה)|בסיס אורתונורמלי]], משמע:
:<math>\lang e(\rho) | e(\omega) \rang = \int_{-\infty}^\infty \left(\frac{e^{i\rho x}}{\sqrt{2\pi}}\right) \, \left(\frac{e^{-i\omega x}}{\sqrt{2\pi}}\right) \, dx =\delta(\rho - \omega) </math>
כאשר הפונקציה <math>\delta(x)</math> היא [[פונקציית דלתא של דיראק]]. מערכת זו נקראת ב[[מתמטיקה]] "הבסיס ההרמוני" ואילו ב[[פיזיקה]] קוראים לפונקציות אלה "[[גל מישורי|גלים מישוריים]]".

במובן זה, המשמעות של הפונקציה המותמרת היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני, משמע <math>F(\omega) = \lang f(t) | e(\omega) \rang</math>. והמשמעות של ההתמרה ההפוכה היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני המוצמד <math>f(t)= \lang e(t) | F(\omega) \rang</math>.

=== התמרת פורייה כאופרטור ===
ניתן לראות את התמרת פורייה כאופרטור <math>\mathcal{F}:L^2(\mathbb{R})\to L^2(\mathbb{R})</math>. אופרטור זה הוא [[איזומטריה]] (כלומר [[פונקציה על|על]] ושומר מרחקים). ניתן אף להגדיר את התמרת פורייה בגישה זאת, כאשר בהתחלה מגדירים את האופרטור על קבוצה צפופה ([[מרחב שוורץ]] למשל) עליה הוא איזומטריה, ומרחיבים מרציפות.

== סימונים נוספים ==
לעיתים נהוג לסמן את ההתמרה <math>F(\omega) </math> כפונקציה של הפונקציה המקורית שמחזירה פונקציה אחרת:
: <math>F\equiv \mathfrak{F}( f) \equiv \mathcal{F}( f) </math>
או בעזרת [[אופרטור]] ה"כובע" על הפונקציה המקורית:
: <math>F\equiv \widehat{f} </math>.

מאחר שסימן ה"כובע" פשוט יותר, הוא יותר מקובל מהשימוש באותיות גדולות או באותיות מסולסלות. כמו כן, את התמרה פורייה ההפוכה נהוג לסמן על ידי כובע הפוך:
: <math>f \equiv \check{F} </math>.

לעיתים, כאשר הממשק הגרפי איננו מאפשר ציור "כובע" רחב, שמים את הביטוי המבוקש בסוגריים ואופרטור ה"כובע" (או הכובע ההפוך) מופיע מעליהם בדומה לסימון של חזקה.

== התמרת פורייה לאותות בזמן בדיד (DTFT) ==
התמרת פורייה בזמן בדיד (discrete-time Fourier transform) היא למעשה [[טור פורייה]] (כאשר עושים החלפת משתנים בין t ל־θ).

נניח ש־<math> \ x[n] </math> הוא אות בזמן בדיד, אזי התמרתו נתונה על ידי:
{{משוואה
|כותרת = '''התמרת פורייה בזמן בדיד'''
|הזחה = :
|משוואה = <math>X^{f} (\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n] e^{-i\theta n} </math>
|ריווח תא = 6
|צבע מסגרת = #50C878
|צבע רקע = #ECFCF4}}

כאשר [[תנאי מספיק]] לקיום ההתמרה הוא:
:<math>\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|x[n]\right| <\infty </math>

וההתמרה ההפוכה נתונה על ידי:
{{משוואה
|כותרת = '''התמרת פורייה הפוכה בזמן בדיד'''
|הזחה = :
|משוואה = <math>x[n]=\frac{1}{2\pi } \int _{-\pi }^{\pi }X^{f} (\theta )e^{i\theta n} d\theta </math>
|ריווח תא = 6
|צבע מסגרת = #0073CF
|צבע רקע = #F5F9FF}}

<math>X^{f} (\theta ) </math> מחזורית במחזור <math>2\pi</math>.

'''הסבר אינטואיטיבי על מחזוריות התדר:'''

אות בזמן בדיד הוא הכפלה של הפונקציה בזמן רציף ב"[[רכבת הלמים]]" כאשר רכבת הלמים מוגדרת כך:

:<math>f(t) = \delta(t + nT), n\in\Z </math>

כאשר <math>T</math> הוא זמן המחזור של הרכבת.

מישור התדר "רגיש" לקפיצות חדות במישור הזמן, כלומר אם יש אי רציפות או שיפוע מאוד גדול בפונקציה, זה גורר תדרים גבוהים. עיקרון זה נובע מהכלל שיוסבר בהמשך:
:<math>\widehat{\frac{df}{dt}}(\omega) = \widehat{\dot{f}(t)} = i\omega \hat{f}(\omega)</math>
משמעותו היא שגזירה של אות במרחב משפיעה בצורה ליניארית על מישור התדר, כך שהתדרים הגבוהים מקבלים [[משרעת]] גבוהה עם עליית התדר. לכן בעת מכפלה של הפונקציה המקורית ברכבת הלמים, שהיא מחזורית, מישור התדר יתנהג כמו פונקציית ההלמים ויהיה מחזורי.

אפשר להסביר זאת גם מבחינה מתמטית מהעיקרון שמכפלה בזמן שקולה לקונבולוציה בתדר,<math>F(f\bullet g) = \hat{f} \ast \hat{g} </math>, והתמרת פורייה של רכבת הלמים שווה לרכבת הלמים (עם זמן מחזור שונה ומשרעת שונה), כך שהכפלת האות ברכבת הלמים בזמן יוצרת קונבולוציה של ספקטרום התדירויות של האות עם רכבת הלמים. מהעיקרון ש[[קונבולוציה]] של כל פונקציה עם הלם היא הזזה של הפונקציה למקום ההלם, מתקבלת פונקציה מחזורית שכל מחזור בה הוא העתקה של ספקטרום התדירויות המקורי.

מפיתוח מתמטי זה עולה שאם דוגמים אות בזמן בדיד, החל מתדר דגימה מסוים (המכונה "[[תדר נייקוויסט]]"), אפשר לשחזר את האות במלואו ללא איבוד שום מידע שהרי במישור התדר כל ספקטרום התדירויות של האות המקורי נשמר, רק ששוכפל [[אינסוף]] פעמים.

נוצרה פה תופעה מעניינת: דגימה בזמן שקולה למחזוריות בתדר. וגם להפך – התמרת פורייה של אות אינסופי שערכו 0 החל מזמן מסוים (בערך מוחלט), זהה להרחבה מחזורית של אותו האות (טור פורייה), כלומר הרחבה מחזורית בזמן שקולה לדגימה בתדר.

== התמרת פורייה לאותות סופיים (או מחזוריים) בזמן בדיד (DFT) ==
עבור <math> \ x[n] </math>
המוגדרת על ידי:

:<math>n \in \{0,1,...,N-1\}</math>

התמרת פורייה הבדידה (DFT) מוגדרת על ידי:
{{משוואה
|כותרת = '''התמרת פורייה בדידה'''
|הזחה = :
|משוואה = <math>X [m] =\sum _{n=0 }^{N-1} x[n] e^{-2i{\pi}mn/N}</math>
|ריווח תא = 6
|צבע מסגרת = #50C878
|צבע רקע = #ECFCF4}}

עבור <math>m=0,1,...,N-1</math>.

ההתמרה במקרה זה היא [[העתקה ליניארית]] [[פונקציה חד-חד-ערכית|חח"ע]] ממרחב ה-N-יות על עצמו. התמרה זו היא ההתמרה היחידה בה הסכימה היא סופית, דבר שהופך אותה לשימושית מאוד עבור שימושי המחשב. משמעות ההתמרה היא [[בסיס (אלגברה)|מעבר בין בסיסים]] ליניאריים.
[[קובץ:DFT vis.jpg|ממוזער|431x431 פיקסלים|המחשה ויזואלית של מטריצת המעבר. כל שורה וכל עמודה היא וקטור דגימה של הרמוניה מחזורית על המישור המרוכב (פאזור) בעל תדר שונה. השורה האמצעית היא בעלת התדר הגבוה ביותר]]

מקובל לסמן את ההרמוניה הבסיסית כך:
:<math>e^{i2\pi/N} := W_N </math>

על ידי סימון זה, ניתן לכתוב את [[מטריצת מעבר|מטריצת המעבר]] בין בסיס הזמן לבסיס התדר:

<math>
W = \frac{1}{\sqrt{N}} \begin{bmatrix}
1&1&1&1&\cdots &1 \\
1&W_N&W_N^2&W_N^3&\cdots&W_N^{N-1} \\
1&W_N^2&W_N^4&W_N^6&W_N&W_N^{2(N-1)}\\ 1&W_N^3&W_N^6&W_N^9&\cdots&W_N^{3(N-1)}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&W_N^{N-1}&W_N^{2(N-1)}&W_N^{3(N-1)}&\cdots&W_N^{(N-1)(N-1)}
\end{bmatrix}
 </math>

[[קובץ:Fourierop rows only.svg|ממוזער|446x446 פיקסלים|בכל שורה ישנן שתי הרמוניות, אחת ממשית ואחת מדומה, הסכום שלהן יוצר את הפאזור]]
[[מטריצה]] זו היא [[אופרטור אוניטרי|אוניטרית]] (עד כדי קבוע), [[מטריצה הפיכה|הפיכה]] ו[[מטריצה חיובית|מוגדרת חיובית]]. משמעות הדבר היא שבמעבר למישור התדר אין איבוד מידע (אפשר לחזור למישור הזמן על ידי הכפלה במטריצה ההפוכה) ואין שינוי באנרגיה (אוניטרית, [[ערך עצמי|הערכים העצמיים]] שווים ל-1 בערכם המוחלט).

כאשר עוברים למישור התדר מתקבל וקטור שמשמעותו הוא המשערת הנדרשת עבור כל הרמוניה כדי לבנות את אותו הווקטור כ[[צירוף ליניארי]] של כל ההרמוניות (וזהו למעשה, ההרכב הספקטרלי של האות). ככל שיהיה יותר דגימות בזמן, כך מימד המטריצה עולה. משמעות הדבר שהאות מיוצג על ידי יותר תדרים והרזולוציה בתדר עולה.

התמרה זו שימושית מאוד ב[[עיבוד אותות ספרתי]]. מימוש נאיבי של ההתמרה על וקטור מימד n עובד ב[[סיבוכיות]] <math>\mathcal{O}(n^2)</math>. קיים גם [[אלגוריתם]] מהיר למימוש ההתמרה בשם [[התמרת פורייה מהירה|FFT]] בסיבוכיות <math>\mathcal{O}(n\log n)</math>.

=== הקשר בין DFT ל-DTFT והעיוות שנוצר ב-DFT ===
ניתן להסתכל על הווקטור הסופי שעליו מבצעים DFT בזמן כוקטור אינסופי שעליו מבצעים DTFT כאשר כל הדגימות שאינם הווקטור עצמו שוות ל-0. מבט זה מסביר תופעה של עיוות ספקטרלי שנוצרת ב-DFT. ניקח לדוגמה פונקציית [[קוסינוס]] פשוטה. התמרת ה-DTFT שלה היא "[[פונקציית דלתא של דיראק|דלתא]]" בתדר, כלומר, היא מורכבת רק מתדר אחד.

אמנם אם נעבור לזמן סופי, הדבר שקול להכפלה של הקוסינוס ב"[[פונקציית חלון|חלון]]", הקוסינוס מוכפל בפונקציה שמאפסת את כל מה שלא ב[[תחום ההגדרה]] שלה.
כאשר עוברים למישור התדר ההכפלה בחלון הופכת ל[[קונבולוציה]] עם ההתמרת פורייה של החלון (שהיא למעשה פונקציית [[sinc]]) ובמקום "דלתא" יפה בתדר מתקבלת "זליגת אנרגיה" בין תדרים סמוכים. כדי להתגבר על מכשול זה משתמשים ב[[:en:Window function|שיטת החלונות]] (שינוי צורת החלון כך שיוריד את העיוות) או באלגוריתם "[[Wola FFT|WOLA FFT]]" (ביצוע DFT על ממוצע של מספר חלונות).

[[קובץ:Spectral leakage Sine.svg|ממוזער|440x440 פיקסלים|זליגת אנרגיה בין תדרים בהתמרת DFT]]

=== ההתמרה ההפוכה ===
{{משוואה
|כותרת = '''התמרת פורייה בדידה הפוכה'''
|הזחה = :
|משוואה = <math>x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[m] \cdot e^{i2\pi mn/N}</math>
|ריווח תא = 6
|צבע מסגרת = #0073CF
|צבע רקע = #F5F9FF}}

== תכונות ==
=== ליניאריות ===
התמרת פורייה והתמרת פורייה ההפוכה הן ליניאריות, כלומר:
: <math>\forall f,g \in L_2 \, \alpha, \beta \in \mathbb{C} \ \ \ : \ \ \ \ {\widehat{\left( \alpha f + \beta g \right)}} (\omega) = \alpha \hat{f}(\omega) + \beta \hat{g}(\omega)</math>

על תכונות של העתקות ליניאריות ראו בערך [[העתקה ליניארית]].

=== משפט פלנשרל וזהות פרסבל ===
[[משפט פלנשרל]] {{אנג|Plancherel theorem}} קובע כי:
:<math>\int_{-\infty}^\infty f(t) g(t)^* \, dt =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)^* \, d\omega</math>

[[זהות פרסבל]] היא [[מקרה פרטי]] אך שימושי ביותר של משפט פלנשרל.
:<math>\int_{-\infty}^\infty \left| f(t) \right|^2 dt =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \left| \hat{f}(\omega) \right|^2 d\omega </math>

הפירוש של תכונה זאת היא שימור ה[[נורמה (אנליזה)|נורמה]], כלומר ה[[אוניטריות]] של התמרת פורייה.

העיקרון הפיזיקלי של זהות פרסבל הוא שסך האנרגיה של האות במישור הזמן שווה לסך האנרגיה במישור התדר.

=== קונבולוציה ===

[[קונבולוציה]] מוגדרת באופן הבא:
: <math>f*g = \int_{-\infty}^{+\infty}{ f(x - t) \ g(t) \ dt}</math>

התמרת פורייה מקיימת את הזהויות הבאות בקשר לקונבולוציה:
* <math>\widehat{f*g} = \hat{f} \cdot \hat{g}</math>
* <math>\widehat{f \cdot g} = \hat{f} * \hat{g}</math>

התכונות האלו של התמרת פורייה הופכות אותה לשימושית מאוד בחישובים מורכבים נומריים,
במקום לעשות קונבולוציה (שהיא למעשה סכימה על כל המרחב של הכפלות של פונקציות), ניתן להתמיר את הפונקציות למרחב פורייה ושם לכפול אותן פעם אחת ולהחזיר את התוצאה בהתמרה ההפוכה. לעיתים רבות הדרך השנייה יותר מהירה חישובית.

קונבולוציה כוללת 3 פעולות{{הערה|[https://www.youtube.com/watch?v=6fVz9qBKynk סרטון בעברית ביוטיוב]}}: שיקוף הזזה וסכימה (אינטגרציה) והפונקציה המתקבלת היא פונקציה של t כלומר התוצאה תלויה במידת ההזזה.

כמו כן התמרת פורייה כוללת הכפלה ב<math>e^{-i\omega t} </math> וסכימה כאשר מתקיימת הנוסחה <math>{\displaystyle {\widehat {f(t-t_{0})}}={\hat {f}}(\omega )e^{-i\omega t_{0}}}</math>, כלומר, ההזזה בזמן שקולה להכפלה באקספוננט בתדר. ומכאן נובע משפט הקונבולוציה.

=== הזזה בזמן ===
:<math>\widehat{f(t-t_0)}=\hat{f}(\omega)e^{-i\omega t_0} </math>

משמעות הדבר היא שהזזה במישור הזמן, משמעותה "סיבוב ליניארי" במישור התדר.

כדי להזיז פונקציה בשלמותה, צריך להזיז את התדרים שבה בלי לפגוע בשלמות הפונקציה. כדי לעשות זאת, צריך להזיז את התדרים הנמוכים יותר מהתדרים הגבוהים (בזמן שתדר <math>\omega</math> זז מחזור שלם תדר <math>2\omega</math> זז 2 מחזורים).

=== נגזרת ===
התמרת פורייה מתנהגת בצורה נוחה במיוחד ביחס לפעולת ה[[נגזרת|גזירה]].

מאחר שמותר להכניס את סימן הגזירה תחת ה[[אינטגרל]], קל לראות כי:
: <math>\frac{df(t)}{dt} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int{ \hat{f}({\omega}) \frac{d}{dt} e^{i \omega t} d\omega} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int{ \hat{f}({\omega}) i\omega e^{i \omega t} d\omega} </math>
ולכן
: <math>\widehat{\frac{df}{dt}}(t) = \widehat{\dot{f}(t)} = i\omega \hat{f}(\omega)</math>
כלומר, גזירה במרחב הזמן שקולה פשוט לכפל ב־<math>i\omega</math> במרחב התדר.

תכונה שימושית זו נובעת מכך שהפונקציה המעריכית היא [[פונקציה עצמית]] של אופרטור הגזירה, שכן
: <math>\frac{d}{dx} e^{ikx} = ik \ e^{ikx}</math>
:תכונה זו הופכת את התמרת פורייה למאוד שימושית בעבודה עם מערכות שמאופיינות על ידי משוואה דיפרנציאלית (כגון [[מערכת LTI]]).

== הכללה למספר ממדים ==
ההכללה לפונקציות ב־<math>N</math> [[ממד (אלגברה ליניארית)|ממדים]] היא מיידית.

אם <math>f: \mathbb{R}^N \to \mathbb{C}</math> פונקציה אינטגרבילית לבג, אזי הפונקציה <math>F(\vec{k})</math> נקראת "ההצגה של f במרחב [[וקטור כל|וקטור הגל]]" ונתונה על ידי
::: <math>F(\vec{k}) \equiv \hat{f}(\vec{k}) \equiv \frac{1}{\sqrt{2 \pi}^N} \int_{\vec{r} \in \mathbb{R}^N}{ f(\vec{r}) \ e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}} \ d^N r} </math>
וההתמרה ההפוכה מחזירה את הפונקציה המקורית ומוגדרת על ידי:
::: <math>f(\vec{r}) \equiv \frac{1}{\sqrt{2 \pi}^N} \int_{\vec{k} \in \mathbb{R}^N}{ F(\vec{k}) \ e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} \ d^N k}</math>

כאשר:
* <math>\int_{\vec{k} \in \mathbb{R}^N}{ d^N k}</math> הוא אינטגרל "נפחי" על כל המרחב (משמע <math>\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} ... \int_{-\infty}^{+\infty} dk_1 dk_2...dk_N</math>).
* <math>\vec{k} \cdot \vec{r} \equiv \sum_{n=1}^{N}{r_n k_n}</math> הוא [[מכפלה סקלרית]] ב־<math>\mathbb{R}^N</math>.

== טבלת התמרות שימושיות ==
הטבלה הבאה מכילה מספר התמרות שימושיות. <math>F(\omega)</math> ו־<math>G(\omega)</math> מציינות את ההתמרות של <math>f(t)</math> ו־<math>g(t) </math> בהתאמה.
{| border="1" cellspacing=0 cellpadding="5"
|-
! || '''פונקציה''' || '''ההתמרה''' || '''פירוש'''
|-
| 1 || <math>a f(t) + b g(t)</math> || <math>a F(\omega) + b G(\omega)</math> || ליניאריות
|-
| 2 || <math>f(t - a)</math> || <math>e^{- i\omega a} F(\omega)</math> || הזזה בקבוע
|-
| 3 || <math>e^{ iat} f(t)</math> || <math>F(\omega - a)</math> || כפל ב[[מופע|פאזה]] מרוכבת
|-
| 4 || <math>f(a t)</math> || <math>|a|^{-1} F \left( \frac{\omega}{a} \right)</math>  || שינוי סקלה
|-
| 5 || <math>\frac{d^n f(t)}{dt^n}</math> || <math>(i\omega)^n F(\omega)</math> || גזירה במרחב הזמן
|-
| 6 || <math>t^n f(t)</math> || <math>i^n \frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}</math> || גזירה במרחב התדר
|-
| 7 || <math>(f * g)(t)</math> || <math>\sqrt{2\pi} F(\omega) G(\omega)</math>  || קונבולוציה
|-
|8
|<math>\overline{f(x)}</math>
|<math>\overline{F(-\omega)}</math>
|אופרטור הצמוד
|-
|9|| <math>f(t) g(t)</math> || <math>(F * G)(\omega) \over \sqrt{2\pi}</math>  || מכפלה
|-
|10|| <math>\delta(t)</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> || דלתא של דיראק
|-
|11|| <math>1</math> || <math>\sqrt{2\pi}\delta(\omega)</math> || -
|-
|12|| <math>t^n</math> || <math>i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)</math>  || -
|-
|13|| <math>e^{i a t}</math> || <math>\sqrt{2\pi} \delta(\omega - a)</math> || -
 |-
|14|| <math>\cos (a t)</math> || <math>\pi\frac{\delta(\omega - a) + \delta(\omega + a)}{1}</math> || [[קוסינוס]]
|-
|15|| <math>\sin( at)</math> || <math>\pi\frac{\delta(\omega - a) - \delta(\omega + a)}{i}</math>  || [[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]]
|-
|16|| <math>\exp(-a t^2)</math> ||<math>\frac{1}{\sqrt{2a}} \exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)</math>||[[התפלגות נורמלית|גאוסיאן]]
|-
|17|| <math>W \sqrt{\frac{2}{\pi}} \mathrm{sinc}(W t)</math> || <math>\mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 W}\right)</math> || התמרת [[פונקציית המלבן]] לפונקציית [[sinc]]
|-
|18
|<math>\frac{1}{t}</math>
|<math>-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)</math>
| -
|-
|19
|<math>\frac{1}{t^n}</math>
|<math>-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)</math>
| -
|-
|20
|<math>\sgn(t)</math>
|<math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}</math>
| גל מרובע
|-
|}

== שימושים ==
* [[קובץ:Fourier circle drawing2.gif|ממוזער|שרטוט של [[ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה|פורייה]] באמצעות חיבור של תנועות מעגליות, בעזרת התמרת פורייה על [[מספרים מרוכבים]] אפשר למצוא תנועות מעגליות שהסכום שלהן שואף לשרטוט נתון.]][[מתמטיקה]]
** פתרון [[משוואות דיפרנציאליות]] (בעיקר חלקיות)
** [[אנליזה הרמונית]]
** [[אנליזה פונקציונלית]]
* [[פיזיקה]]
** [[גל]]ים
** פתרון [[משוואת הגלים]]
** פתרון [[משוואת החום]]
** [[קרינה אלקטרומגנטית]]
** [[מכניקת הקוונטים]]
** פתרון [[משוואת שרדינגר]]
* [[מדעי המחשב]]
** [[עיבוד אותות]]
** [[עיבוד אותות קול|עיבוד קול]]
** [[עיבוד תמונה]]
* [[הנדסה]]
** [[אלקטרוניקה]]
** [[אלקטרומגנטיות]]

== ראו גם ==
* [[טור פורייה]]
* [[תורת שטורם-ליוביל]]
* [[שדה המספרים המרוכבים]]
* [[חשבון אינפיניטסימלי]]
* [[אלגברה ליניארית]]
* מרחבי [[מכפלה פנימית]] ובפרט [[מרחב הילברט]]
* [[אורתוגונליות]]
* [[משוואות דיפרנציאליות]]
* [[אופרטור הרמיטי]]
* [[התמרת פורייה קוונטית]]
* [[התמרת לפלס]]
* [[התמרת האף]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [https://wims.univ-cotedazur.fr/wims/wims.cgi?ession=UCE3C8C438.2&+lang=en&+module=tool%2Fanalysis%2Ffourierlaplace.cn מחשבון להתמרה פורייה ישירה והפוכה]
* [http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/fourier.pdf התמרת פורייה – [[טרנס טאו]]]
* {{דוידסון|ארז גרטי|פורייה: עושים גלים|tikshuv/math_and_comp/פורייה-עושים-גלים|5 נובמבר 2011}}
* {{MathWorld}}
* [https://youtu.be/0KY8WySNNBo סרטון הסברה על מישור התדר]
* [https://ofer-megged-phys-notes.blogspot.com/2020/03/blog-post_22.html מבוא רעיוני להתמרת פורייה] מתוך הבלוג "[https://ofer-megged-phys-notes.blogspot.com/ רשימות בפיזיקה עיונית]"
* {{יוטיוב|9cO7nDcVqJg|שם=building the Fourier transform|אורך=23:12|ערוץ=Michael Penn}}
* {{בריטניקה}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:התמרת פורייה|*]]
[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]
[[קטגוריה:אנליזה הרמונית]]