הצגת המקור של הדף "התפלגות ארלנג"

[[קובץ:Erlang.jpg|שמאל|120px|ממוזער|[[אגנר קרארוף ארלנג]]<br> (1878-1929)]]
{{נתוני התפלגות
|שם=התפלגות ארלנג
|תמונת צפיפות=Erlang_dist_pdf.svg
|תמונת מצטברת=Erlang_dist_cdf.svg
|פרמטרים= <math>\scriptstyle k \;\in\; \mathbb{N}</math> [[פרמטר צורה|צורה]] <br /><math>\scriptstyle \lambda \;>\; 0</math>,קצב ([[מספר ממשי|ממשי]])<br />alt.: <math>\scriptstyle \mu \;=\; \frac{1}{\lambda} > 0\,</math> [[פרמטר גודל|גודל]] (ממשי)
|תומך= <math>\scriptstyle x \;\in\; [0,\, \infty)\!</math>
|צפיפות= <math>{\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x} \over (k-1)!}</math>
|מצטברת= <math>\frac{\gamma(k, \lambda x)}{(k-1)!},</math>
|תוחלת=<math>\scriptstyle \frac{k}{\lambda}\,</math>
|סטיית תקן=<math>\scriptstyle \frac{\sqrt{k}}{\lambda}</math>
|חציון= אין צורה סגורה פשוטה
|שכיח= <math>\scriptstyle \frac{1}{\lambda}(k \,-\, 1)\,</math> ל-<math>\scriptstyle k \;\geq\; 1\,</math>
|שונות= <math>\scriptstyle \frac{k}{\lambda^2}</math>
|צידוד= <math>\scriptstyle \frac{2}{\sqrt{k}}</math>
|גבנוניות= <math>\scriptstyle \frac{6}{k}</math>
|אנטרופיה= <math>\scriptstyle (1 \,-\, k)\psi(k) \,+\, \ln\left[\frac{\Gamma(k)}{\lambda}\right] \,+\, k</math> 
|מומנטים=<math>\scriptstyle \left(1 \,-\, \frac{t}{\lambda}\right)^{-k}\,</math> ל-<math>\scriptstyle t \;<\; \lambda\,</math>
}}

'''התפלגות ארלנג''' היא משפחה של [[התפלגות|התפלגויות]] הסתברותיות רציפות עם שני פרמטרים ו[[תומך]] <math> x \;\in\; (0,\, \infty)</math>. הפרמטרים שההתפלגות מקבלת הם:
*פרמטר ה'''צורה''' <math>k</math> שהוא [[מספר שלם]] חיובי. פרמטר זה גם נקרא מספר השלבים.
*פרמטר ה'''קצב''' <math>\lambda</math> שהוא [[מספר ממשי]] חיובי. לפעמים משתמשים במקדם חלופי בשם '''השיעור''' עם סימן <math>\mu</math>, שמיצג את ה[[מספר הופכי|הופכי]] של הקצב.

באופן אינטואיטיבי ניתן להבין את התפלגות ארלנג כסכום של <math>k</math>-משתנים מקריים מעריכים, בלתי-תלויים עם תוחלת <math>\mu</math>. כאשר '''מספר השלבים''' בהתפלגות גדול (שואף לאינסוף) אז התפלגות שואפת ל[[התפלגות מנוונת]] מרוכזת סביב הנקודה <math>\scriptstyle \frac{1}{\mu}</math>.

לפיכך כאשר פרמטר הצורה <math>k</math> הוא 1, מתקבל [[מקרה_פרטי#שימושים_במתמטיקה|מקרה פרטי]] בו ההתפלגות היא למעשה [[התפלגות מעריכית]]. מצד שני [[התפלגות גמא]] מהווה [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של התפלגות ארלנג בה ניתן לשבץ ערכים ממשים בפרמטר '''מספר השלבים''' <math>k</math>. 

התפלגות ארלנג נקראת על שמו של '''[[אגנר קרארוף ארלנג]]''' שפיתח אותה במסגרת עבודתו על גרסה מוקדמת של תורת התורים. ארלנג התמודד עם הצורך המעשי להעריך את מספר שיחות הטלפון שעשויות להתקבל בו זמנית על ידי מפעילי תחנות מיתוג במערך תקשורת. מאוחר יותר כאשר הורחבה עבודתו של ארלנג בתחום הנדסת תעבורה טלפונית, הוכללה ההתפלגות כך שיתאפשר גם חישוב של זמני המתנה [[תורת התורים|במערכות תורים]]. כיום משמשת ההתפלגות ארלנג גם בתחומים כגון [[תהליך סטוכסטי|תהליכים סטוכסטיים]], [[אקטואריה]]  [[מתמטיקה ביולוגית|וביומתמטיקה]].

==פונקציית צפיפות הסתברות==

[[פונקציית צפיפות הסתברות|פונקציית צפיפות ההסתברות]] של [[משתנה מקרי]] מסוג ארלנג ניתנת על-פי:

<div align="center"><math>f(x; k,\lambda)={\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad\mbox{ : }x, \lambda \geq 0</math></div>

כאמור <math display="inline">k</math> נקרא פרמטר הצורה, ו-<math>\lambda</math> נקרא פרמטר הקצב.

צורה שקולה לכתיבת פונקציית צפיפות ההסתברות על ידי פרמטריזציה חלופית בה נעשה שימוש ב-<math>\mu</math>:

<div align="center"><math>f(x; k,\mu)=\frac{ x^{k-1} e^{-\frac{x}{\mu}} }{\mu^k (k-1)!}\quad\mbox{ : }x, \mu \geq 0</math></div>

בצורה זו משתמשים ב-<math>\mu</math> פרמטר גודל, כאשר (<math>\mu = 1/\lambda</math>). בצורה זו ניתן לראות בנקל כי כאשר <math>\mu</math> שווה ל 2, ההתפלגות זהה ל[[התפלגות כי בריבוע]] בעלת <math>2k</math> [[דרגות חופש (סטטיסטיקה)|דרגות חופש]]. ולכן התפלגות ארלנג היא הכללה להתפלגות כי בריבוע עבור דרגת חופש זוגית, ואכן לעיתים נקראת התפלגות זו '''התפלגות ארלנג-k'''.

==פונקציית ההסתברות המצטברת==

[[פונקציית הסתברות|פונקציית ההסתברות]] המצטברת של משתנה ארלנג היא:

<div align="center"><math>F(x; k,\lambda) = \frac{\gamma(k, \lambda x)}{(k-1)!}</math></div>

כאשר גמא בנוסחה הנ"ל היא [[פונקציית גמא הלא שלמה]]. 

ניתן גם לרשום את פונקציית ההסתברות המצטברת של משתנה ארלנג כפיתוח לטור:
 <div align="center">
:<math>F(x; k,\lambda) = 1 - \sum_{n=0}^{k-1}\frac{1}{n!}e^{-\lambda x}(\lambda x)^n</math>
</div>

==תכונות==

נוסחת ארלנג מהווה הפתרון [[משוואה דיפרנציאלית|למשוואה הדיפרנציאלית]]:
<div align="center"><math>x f'(x) + ( \lambda x + 1 - k ) f(x) = 0</math></div>
עם [[תנאי שפה]]: <math>f(1)=\frac{e^{-\lambda } \lambda^k}{\Gamma (k)}</math> ([[התפלגות פואסון]])

===ערך חציון===

קיים פיתוח אסימפטוטי לפי נוסחה של [[סריניוואסה רמנוג'אן|רמנוג'אן]] עבור ''הערך החציון'' של התפלגות ארלנג{{הערה|{{Cite journal | last1 = Choi | first1 = K. P. | doi = 10.1090/S0002-9939-1994-1195477-8 | title = On the medians of gamma distributions and an equation of Ramanujan | journal = Proceedings of the American Mathematical Society | volume = 121 | pages = 245–251 | year = 1994 | jstor = 2160389| pmid =  | pmc = }}}} עבור הפיתוח הזה ניתן לחשב את הקבועים וההגבלות הידועים.{{הערה|{{Cite journal | last1 = Adell | first1 = J. A. | last2 = Jodrá | first2 = P. | doi = 10.1090/S0002-9947-07-04411-X | title = On a Ramanujan equation connected with the median of the gamma distribution | journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 360 | issue = 7 | pages = 3631 | year = 2007 | pmid =  | pmc = }}}}
{{הערה|{{Cite journal | last1 = Jodrá | first1 = P. | title = Computing the Asymptotic Expansion of the Median of the Erlang Distribution | doi = 10.3846/13926292.2012.664571 | journal = Mathematical Modelling and Analysis | volume = 17 | issue = 2 | pages = 281–292 | year = 2012 | pmid =  | pmc = }}}}
הקרוב הוא:

<math>\dfrac{k}{\lambda}\left(1-\dfrac{1}{3k+0.2}\right)</math> 

והערך החציון לפי הקרוב הוא פחות מהתוחלת, שערכה הוא: <math>\tfrac{k}{\lambda}</math>.{{הערה|שם=Banneheka2009|Banneheka BMSG, Ekanayake GEMUPD (2009) "A new point estimator for the median of gamma distribution". ''Viyodaya J Science'', 14:95-103}}

==סימולציית מספרים אקראיים ==
ניתן להפיק [[מספר אקראי|מספרים אקראיים]] בהתפלגות-ארלנג ממספרים אקראיים התפלגות אחידה (<math>U \in (0,1]</math>) באמצעות הנוסחה הבאה:{{הערה|http://www.xycoon.com/erlang_random.htm}}
<div align="center"><math>E(k,\lambda) \approx -\frac{1}\lambda \ln \prod_{i=1}^k U_{i}</math></div>

== שימושים ==
===זמני המתנה===

מודל [[תהליך פואסון]] מאפשר ייצוג של סדרת אירועים בלתי תלויים, בעלי קצב עם תוחלת סופית. במצב זה ניתן להעריך את זמן ההמתנה לסיומם של k אירועים כאלו על ידי התפלגות ארלנג. השאלה המקבילה: "מהו מספר האירועים הצפוי בפרק זמן נתון?" מתואר על ידי [[התפלגות פואסון]].)

ניתן להשתמש בהתפלגות ארלנג להערכת זמן בין שיחות נכנסות, בשילוב עם אורכם הצפוי של שיחות נכנסות על מנת לייצר מידע על עומס התנועה נמדד ביחידות על שם ארלנג. ניתן להעריך לפי שיטה זו את ההסתברות [[חבילת מידע|לנפילת חבילות מידע]] ב[[רשת מחשבים]] ועיכוב, על פי הנחות שונות לגבי אופן טיפול בשיחות שנחסמות. כאשר שיחות שנחסמות מבוטלות ניתן להשתמש בנוסחת ארלנג ב', וכאשר שיחות חסומות נאגרות בתור עד שהם נענות ניתן לחשב לפי נוסחת ארלנג ג'. נוסחות ארלנג-ב ו-ג עדיין משמשות מהנדסים ברמה יומיומית כמודלים של תעבורה. יישומים לנוסחאות אלו הם בתכנון מוקדים שרות טלפוניים ומערכות הזמנה לשירותים מכוונים ומערכות מעכב פרסום טלפוני.

כמו כן, נעשה שימוש בהתפלגות ארלנג בתחום כלכלת עסקית בבניית מודלים לתיאור משך זמן בין רכישות.{{הערה|{{צ-מאמר|מחבר = C. Chatfield and G.J. Goodhardt|שם = A Consumer Purchasing Model with Erlang Interpurchase Times|כתב עת = Journal of the American Statistical Association|כרך = 68|עמ = 828-835|שנת הוצאה = Dec. 1973|doi = 10.2307/2284508|קישור = http://www.jstor.org/stable/2284508}}}}

== התפלגויות קשורות ==

*כאשר <math>\scriptstyle X \;\sim\; \mathrm{Erlang}(k,\, \lambda)\,</math> אז <math>\scriptstyle a \cdot X \;\sim\; \mathrm{Erlang}\left(k,\, \frac{\lambda}{a}\right)\,</math> עם <math>\scriptstyle a \in \mathbb{R}</math>
* <math>\scriptstyle \lim_{k \to \infty}\frac{1}{\sigma_k}\left(\mathrm{Erlang}(k,\, \lambda) \,-\, \mu_k\right) \;\xrightarrow{d}\; N(0,\, 1) \,</math> ([[התפלגות נורמלית]])
*סכומם של שני משתני ארלנג <math>\scriptstyle X \;\sim\; \mathrm{Erlang}(k_1,\, \lambda)\,</math> ו<math>\scriptstyle Y \;\sim\; \mathrm{Erlang}(k_2,\, \lambda)\,</math> הוא משתנה ארלנג עם פרמטרים <math>\scriptstyle X \,+\, Y \;\sim\; \mathrm{Erlang}(k_1 \,+\, k_2,\, \lambda)\,</math>
*סכומם של מספר <math>\scriptstyle X_i \;</math> [[התפלגות מעריכית|משתנים מעריכים]] בעלי פרמטר (λ) הוא משתנה ארלנג עם פרמטרים <math>\scriptstyle \sum_{i=1}^k{X_i} \;\sim\; \mathrm{Erlang}(k,\, \lambda)\,</math>
*התפלגות ארלנג היא מקרה פרטי של [[התפלגות פירסון]] מסוג שלישי.
*כאשר k הוא [[מספר שלם]]: <math>\scriptstyle X \;\sim\; \Gamma(k,\, \lambda ) </math> ([[התפלגות גמא]]) אז <math>\scriptstyle X \;\sim\; \mathrm{Erlang}(k,\, \lambda)\,</math>
*כאשר מחלקים משתנה מעריכי <math>\scriptstyle U \;\sim\; \mathrm{Exponential}(\lambda)\,</math> במשתנה ארלנג <math>\scriptstyle V \;\sim\; \mathrm{Erlang}(n,\, \lambda)\,</math> אז התוצאה היא משתנה [[התפלגות פארטו|פארטו]] <math>\scriptstyle \frac{U}{V} \;\sim\; \mathrm{Pareto}(1,\, n)</math>

==ראו גם==
* [[התפלגות פואסון]]
* [[התפלגות גמא]]
* [[התפלגות מעריכית]]
* [[תהליך פואסון]]

== קישורים חיצוניים ==
* {{MathWorld}}
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

{{התפלגות}}

[[קטגוריה:התפלגויות רציפות]]
[[קטגוריה:סריניוואסה רמנוג'אן]]