הצגת המקור של הדף "התפלגות גאמבל"

{{נתוני התפלגות
|שם=התפלגות גאמבל
| תמונת צפיפות = Gumbel-Density.svg
| גודל תמונה =
| תמונת מצטברת = Gumbel-Cumulative.svg
| פרמטרים = <math>\mu</math>, פרמטר מיקום ([[מספר ממשי|ממשי]])<br /><math>\beta>0</math>, פרמטר סקאלה (ממשי)
| תומך = <math>x\in\mathbb{R}</math>
| הסתברות =
| צפיפות = <math>\frac{1}{\beta}e^{-(z+e^{-z})}</math> <br /> כאשר <math>z=\frac{x-\mu}{\beta}</math>
| מצטברת = <math>e^{-e^{-(x-\mu)/\beta}}</math>
| תוחלת = <math>\mu + \beta\gamma</math> <br> כאשר <math>\gamma</math> הוא [[קבוע אוילר-מסקרוני]]
| סטיית תקן =
| חציון = <math>\mu - \beta\ln(\ln 2)</math>
| שכיח = <math>\mu</math>
| שונות = <math>\frac{\pi^2}{6}\beta^2</math>
| אנטרופיה = <math>\ln(\beta)+\gamma+1</math>
| מומנטים = <math>\Gamma(1-\beta t) e^{\mu t}</math>
| אופיינית = <math>\Gamma(1-i\beta t) e^{i\mu t}</math>
| צידוד = <math>\frac{12\sqrt{6}\,\zeta(3)}{\pi^3} \approx 1.14</math>
| גבנוניות = <math>\frac{12}{5}</math>

}}
ב[[תורת ההסתברות]] ו[[סטטיסטיקה]] '''התפלגות גאמבל''' משמשת כמודל הסתברותי של ערכי קיצון (מקסימום או מינימום) של מספר דגימות של התפלגויות.

ניתן להשתמש בהתפלגות כמודל הסתברותי של הערך המקסימלי של הזרימה בנהר בשנה מסוימת בהינתן ערכי המקסימום בעשר השנים האחרונות או לאומדן הסיכון לרעידת אדמה קיצונית, שיטפון או [[אסון טבע]] אחר. היישום של התפלגות גאמבל לייצוג התפלגות ערכי מקסימום קשור לתאוריית ערכים קיצוניים{{אנ|extreme value theory}}.

התפלגות גאמבל היא [[מקרה פרטי]] של התפלגות הערכים הקיצונית המוכללת{{אנ|generalized extreme value distribution}} (הידועה גם בשם התפלגות פישר-טיפט). היא ידועה גם בשם ''התפלגות לוג-ווייבול'' ''והתפלגות מעריכית כפולה'' (מונח שמשמש לפעמים במקום [[התפלגות לפלס]]).

התפלגות גאמבל נקראת על שמו של [[אמיל יוליוס גומבל|אמיל יוליוס גאמבל]] (1891 &#x2013; 1966).<ref>{{Citation|url=http://archive.numdam.org/article/AIHP_1935__5_2_115_0.pdf|title=Les valeurs extrêmes des distributions statistiques|last=Gumbel|first=E.J.|journal=Annales de l'Institut Henri Poincaré|volume=5|year=1935|pages=115–158|number=2}}</ref><ref>Gumbel E.J. (1941). "The return period of flood flows". The Annals of Mathematical Statistics, 12, 163–190.</ref>

== הגדרות ==
[[פונקציית צפיפות]] ההסתברות של ההתפלגות גאמבל היא<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://mathworld.wolfram.com/GumbelDistribution.html|הכותב=Weisstein, Eric W|כותרת=Gumbel Distribution|אתר=MathWorld--A Wolfram Web Resource}}</ref>

<math>f(x; \mu, \beta) = \frac{1}{\beta}e^{-(z+e^{-z})}</math> כאשר סימנו <math>z = \frac{x-\mu}{\beta}</math> ,

ו[[פונקציית התפלגות|פונקציית ההתפלגות המצטברת]] שלה היא

: <math>F(x;\mu,\beta) = e^{-e^{-(x-\mu)/\beta}}\,</math>

=== התפלגות גאמבל סטנדרטית ===
התפלגות גאמבל סטנדרטית מוגדרת כהתפלגות גאמבל עם פרמטרים <math>\mu = 0</math> ו <math>\beta = 1</math>, כלומר פונקציית צפיפות הסתברות שלה היא

: <math>f(x) = e^{-(x+e^{-x})}</math>
ופונקציית ההתפלגות המצטברת

: <math>F(x) = e^{-e^{(-x)}}\,</math> .

במקרה זה השכיח הוא 0, החציון הוא <math>-\ln(\ln(2)) \approx 0.3665</math>, הממוצע הוא <math>\gamma\approx 0.5772</math> ( [[קבוע אוילר-מסקרוני]]), וסטיית התקן היא <math>\pi/\sqrt{6} \approx 1.2825</math> .

== תכונות ==
* ה[[שכיח]] הוא μ, החציון הוא <math>\mu-\beta \ln\left(\ln 2\right)</math> והתוחלת נתונה על ידי <math>\operatorname{E}(X)=\mu+\gamma\beta</math>, כאשר <math> \gamma </math> הוא [[קבוע אוילר-מסקרוני]].
* סטיית התקן <math> \sigma </math> היא <math>\beta \pi/\sqrt{6}</math> כלומר <math>\beta = \sigma \sqrt{6} / \pi \approx 0.78 \sigma </math> .<ref name="Oosterbaan">{{Cite book|last=Oosterbaan|first=R.J.|url=https://archive.org/details/drainageprincipl0000unse/page/175|title=Drainage Principles and Applications, Publication 16|publisher=International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI)|year=1994|isbn=90-70754-33-9|editor-last=Ritzema|editor-first=H.P.|location=Wageningen, The Netherlands|pages=[https://archive.org/details/drainageprincipl0000unse/page/175 175–224]|chapter=Chapter 6 Frequency and Regression Analysis|chapter-url=http://www.waterlog.info/pdf/freqtxt.pdf}}</ref>
* בנקודת השכיח, <math> x = \mu </math>, הערך של <math>F(x;\mu,\beta)</math> הוא <math> e^{-1} \approx 0.37 </math>, ללא קשר לערך של <math> \beta </math> .
* אִם <math>G_1,...,G_k</math> הם [[משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות]] המתפלגים גאמבל עם פרמטרים <math>(\mu,\beta)</math> אז <math>\max\{G_1,...,G_k\}</math> הוא משתנה מקרי המתפלג גאמבל עם פרמטרים <math>(\mu+\beta\ln k, \beta)</math> .
* אִם <math>G_1, G_2,...</math> הם משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות כך שלמשתנה <math>\max\{G_1,...,G_k\}-\beta\ln k </math> יש אותה התפלגות כמו <math>G_1</math> לכל המספרים הטבעיים <math> k </math>, אז <math>G_1</math> מתפלג גאמבל עם פרמטר קנה מידה <math>\beta</math> .

== התפלגויות קשורות ==
* אִם <math>X </math> מתפלג גאמבל, אזי ההתפלגות המותנית של ''Y''&nbsp;=&nbsp;&#x2212; ''X'' בהינתן ש- ''Y'' חיובי, או לחלופין בהינתן ש- ''X'' שלילי, יש [[התפלגות גומפרץ]]. פונקציית ההתפלגות המצטברת, ''G,'' של ''Y'' קשורה לפונקציית ההתפלגות המצטברת, ''F'', של ''X'', על ידי הנוסחה <math>G(y) = P(Y \le y) = P(X \ge -y \mid X \le 0) = (F(0)-F(-y))/F(0)</math> עבור ''y''&nbsp;>&nbsp;0. כתוצאה מכך, הצפיפויות קשורות זו לזו על ידי <math>g(y) = f(-y)/F(0)</math> : צפיפות גומפרץ פרופורציונלית לתמונת הראי של פונקציית צפיפות התפלגות של גומבל המוגבלת לחצי [[הישר הממשי]] החיובי.<ref>{{Cite journal|last=Willemse|first=W.J.|last2=Kaas|first2=R.|year=2007|title=Rational reconstruction of frailty-based mortality models by a generalisation of Gompertz' law of mortality|url=https://www.dnb.nl/binaries/Working%20Paper%20135-2007_tcm46-146792.pdf|url-status=dead|journal=Insurance: Mathematics and Economics|volume=40|issue=3|pages=468|doi=10.1016/j.insmatheco.2006.07.003|archive-url=https://web.archive.org/web/20170809050854/https://www.dnb.nl/binaries/Working%20Paper%20135-2007_tcm46-146792.pdf|archive-date=2017-08-09|access-date=2019-09-24}}</ref>
* אם ''X'' הוא משתנה מקרי מתפלג מעריכית עם תוחלת 1, אז log( ''X'' ) מתפלג התפלגות גאמבל סטנדרטית.
* אִם <math>X \sim \mathrm{Gumbel}(\alpha_X, \beta) </math> ו <math> Y \sim \mathrm{Gumbel}(\alpha_Y, \beta) </math> והם בלתי תלויים אז להפרש שלהם [[התפלגות לוגיסטית]] <math> X-Y \sim \mathrm{Logistic}(\alpha_X-\alpha_Y,\beta) \,</math>.

== יישום ==
[[קובץ:FitGumbelDistr.tif|ממוזער|320x320 פיקסלים| התאמת חלוקה עם רצועת ביטחון של חלוקת Gumbel מצטברת למקסימום גשמים של יום אחד באוקטובר. <ref>{{Cite web|title=CumFreq, distribution fitting of probability, free calculator|url=https://www.waterlog.info/cumfreq.htm|website=www.waterlog.info}}</ref>]]
גאמבל הראה שהערך המקסימלי במדגם של [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] המתפלגים [[התפלגות מעריכית]] בחיסור של הלוגריתם הטבעי של גודל המדגם<ref>{{Cite web|title=Gumbel distribution and exponential distribution|url=https://math.stackexchange.com/questions/3527556/gumbel-distribution-and-exponential-distribution?noredirect=1#comment7669633_3527556|website=Mathematics Stack Exchange}}</ref> שואף להתפלגות גאמבל ככל שגודל המדגם גדל.<ref>{{Cite book|last=Gumbel|first=E.J.|url=https://ntrl.ntis.gov/NTRL/dashboard/searchResults/titleDetail/PB175818.xhtml|title=Statistical theory of extreme values and some practical applications|publisher=U.S. Department of Commerce, National Bureau of Standards|year=1954|edition=1st|series=Applied Mathematics Series|volume=33|asin=B0007DSHG4}}</ref>

באופן קונקרטי, תהי <math> \rho(x)=e^{-x} </math> התפלגות ההסתברות של <math> x </math> ו <math> Q(x)=1- e^{-x} </math> ההתפלגות המצטברת שלו. אז הערך המקסימלי מבין <math> N </math> דגימות של <math> x </math> קטן מ <math> X </math> [[אם ורק אם]] כל הדגימות קטנות מ <math> X </math> . אז ההתפלגות המצטברת של הערך המקסימלי <math> \tilde{x} </math> מקיים

: <math>P(\tilde{x}-\log(N)\le X)=P(\tilde{x}\le X+\log(N))=[Q(X+\log(N))]^N=\left(1- \frac{e^{-X}}{N}\right)^N, </math>

וכן, לערכי <math> N </math> גדולים, צד הימני מתכנס ל <math> e^{-e^{(-X)}} </math> .

ב[[הידרולוגיה]], לפיכך, התפלגות גאמבל משמשת לניתוח משתנים כמו ערכי מקסימום חודשיים ושנתיים של כמות גשם יומית וספיקה של זרימת מים בנהר, וכן לתיאור של בצורות.<ref>{{Cite journal|last=Burke|first=Eleanor J.|last2=Perry|first2=Richard H.J.|last3=Brown|first3=Simon J.|year=2010|title=An extreme value analysis of UK drought and projections of change in the future|journal=Journal of Hydrology|volume=388|issue=1–2|pages=131–143|bibcode=2010JHyd..388..131B|doi=10.1016/j.jhydrol.2010.04.035}}</ref>

גמבל גם הראה שהאומד {{שבר פשוט|''r''|(''n''+1)}} עבור ההסתברות לאירוע, כאשר ''r'' הוא הדירוג של הערך הנצפה בסדרת הנתונים ו- ''n'' הוא המספר הכולל של התצפיות, הוא אומד [[הטיה (סטטיסטיקה)|לא מוטה]] של [[פונקציית התפלגות|ההסתברות המצטברת]] סביב ה[[שכיח]] של ההתפלגות.

התפלגות גאמבל מופיעה גם ב[[בעיית אוסף הקופונים]].

=== פרמטריזציות של התפלגות גאמבל ===
ב[[למידת מכונה]], לעיתים משתמשים בהתפלגות גאמבל כדי ליצור דוגמאות מההתפלגות [[התפלגות קטגוריאלית|הקטגוריאלית]].

ספציפית, יהיו <math>(\pi_1, \ldots, \pi_n)</math> ממשיים אי- שליליים, לא כולם אפס, ותהיינה <math>g_1,\ldots, g_n</math> דגימות בלתי-תלויות מהתפלגות גאמבל סטנדרטית. על ידי אינטגרציה מתקבל <math display="block">Pr(j = \arg\max_i (g_i + \log\pi_i)) = \frac{\pi_j}{\sum_i \pi_i}</math> כלומר, <math>\arg\max_i (g_i + \log\pi_i) \sim \text{Categorical}\left(\frac{\pi_j}{\sum_i \pi_i}\right)_j</math>

לחלופין בהינתן <math>x_1, ..., x_n\in \R</math>, נוכל לדגום מ[[התפלגות בולצמן]] על ידי<math display="block">Pr(j = \arg\max_i (g_i + x_i)) = \frac{e^{x_j}}{\sum_i e^{x_i}}</math> משוואות קשורות כוללות:<ref>{{Cite journal|last=Balog|first=Matej|last2=Tripuraneni|first2=Nilesh|last3=Ghahramani|first3=Zoubin|last4=Weller|first4=Adrian|date=2017-07-17|title=Lost Relatives of the Gumbel Trick|url=https://proceedings.mlr.press/v70/balog17a.html|journal=International Conference on Machine Learning|language=en|publisher=PMLR|pages=371–379|arxiv=1706.04161}}</ref>
* אִם <math>x\sim \operatorname{Exp}(\lambda)</math>, אז <math>(-\ln x - \gamma)\sim \text{Gumbel}(-\gamma + \ln\lambda, 1)</math> .
* <math>\arg\max_i (g_i + \log\pi_i) \sim \text{Categorical}\left(\frac{\pi_j}{\sum_i \pi_i}\right)_j</math> .
* <math>\max_i (g_i + \log\pi_i) \sim \text{Gumbel}\left(\log\left(\sum_i \pi_i \right), 1\right)</math> . כלומר, התפלגות גאמבל היא משפחת התפלגויות מקסימלית יציבה.
* <math>\mathbb E[\max_i (g_i + \beta x_i)] = \log \left(\sum_i e^{\beta x_i}\right) + \gamma</math>

== מחולל משתנים מקריים ==
כיוון שפונקציית [[שברון (סטטיסטיקה)|השברונים]] (הפונקציה ההופכית ל[[פונקציית התפלגות|פונקציית התפלגות מצטברת]]), <math>Q(p)</math>, של התפלגות גאמבל נתונה על ידי

: <math>Q(p)=\mu-\beta\ln(-\ln(p)),</math>

הווריאט <math>Q(U)</math> מתפלג גאמבל עם פרמטרים <math>\mu</math> ו <math>\beta</math> כאשר המשתנה המקרי <math>U</math> נדגם מ[[התפלגות אחידה רציפה]] על האינטרוול <math>(0,1)</math> .

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:התפלגויות רציפות]]