הצגת המקור של הדף "התפלגות טרייסי-וידום"


{{חומר רקע|[[מטריצה אקראית]], [[התפלגות חצי המעגל של ויגנר]], {{קישור שפה||Large deviations theory|תיאוריה של קצוות התפלגות}}}}
'''התפלגות טרייסי-וידום''' היא [[פונקציית התפלגות]] בתחום ה[[מטריצה אקראית|מטריצות אקראיות]]. ההתפלגות מתארת את גודלו של ה[[ערך עצמי]] הגדול ביותר אצל סוגים מסוימים של מטריצות אקראיות כשהגודל שלהן שואף [[אינסוף|לאינסוף]]. ההתפלגות הוצגה לראשונה על ידי {{קישור שפה|2=Craig Tracy|3=קרייג טרייסי|שם מלא=Craig Tracy}} ו{{קישור שפה|2=Harold Widom|3=הארולד וידום|שם מלא=Harold Widom}} בשנת 1993<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Tracy, Craig, Widom, Harold|שם=Level-spacing distributions and the Airy kernel|כתב עת=Physics Letters|כרך=Volume 305, Issues 1–2|שנת הוצאה=1993|עמ=115–118|doi=10.1016/0370-2693(93)91114-3|קישור=https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0370269393911143?via%3Dihub}}</ref>. 

אחת התכונות יוצאות הדופן של התפלגות טרייסי-וידום היא האוניברסליות שלה. כלומר ההתפלגות מצליחה לתאר את גודלו של הערך העצמי הגדול ביותר עבור מגוון רחב של קבוצות מטריצות אקראיות (בתנאי שהמטריצות מקיימות תנאי סימטריה מסוימים). אוניברסליות זו הפכה את התפלגות טרייסי-וידום לאובייקט יסוד בתורת המטריצות האקראיות, ומצאה גם יישומים בתחומים שונים כגון [[פיזיקה סטטיסטית]], [[תורת המספרים]] ו[[קומבינטוריקה]].

== הגדרות ==
התפלגות טרייסי-וידום מסומנת ב <math>F_{\beta}</math> כאשר <math>\beta</math> מייצגת את סוג המטריצה עבורה תחושב התפלגותו של <math>\lambda_{max}</math> (נקראת גם "אינדקס [[פרימן דייסון|דייסון]]").

קיימות שלוש צורות רווחות <math>\beta \in \{1, 2, 4\}</math>: מטריצה אורתוגונאלית (<math>\beta=1</math>), מטריצה אוניטארית (<math>\beta=2</math>),  ו[[מטריצה סימפלקטית|סימפלקטית]]{{אנ|Symplectic matrix}} (<math>\beta=4</math>).

בפועל, <math>\beta</math> יכולה להיות כל ערך טבעי.
=== הגדרה כגבול (חוק מספרים גדולים / משפט הגבול המרכזי) ===
ניתן להגדיר את <math>F_{\beta}</math>, [[פונקציית התפלגות | פונקציית התפלגות מצטברת]] של התפלגות טרייסי-וידום עבור <math>\beta</math> נתונה, כגבול של התפלגויות, בדומה למשפט הגבול המרכזי.

עבור מטריצה אקראית בגודל <math>N \times N</math>, שמוגרלת מההתפלגות המתאימה (כתלות ב-<math>\beta</math> שנבחרה), כאשר השונות של הערכים מחוץ לאלכסון היא <math>\sigma^2</math>.
נגדיר את <math>F_{N, \beta}(s)</math> להיות פונקציית ההתפלגות המצטברת של הערך העצמי המקסימלי. במילים אחרות <math>F_{N, \beta}(s) = P(\lambda_{max} \leq s)</math>. נגדיר את <math>F_{\beta}</math> באמצעות הגבול:

<math display="inline">
F_\beta(x) =\lim_{N\to \infty} F_{N, \beta}\left(\frac{\lambda_{max} - 2\sigma \sqrt{N}}{\sigma} \cdot N^{1/6} + x\right) =\lim_{N \to \infty} Pr\left[N^{1/6}\left(\frac{\lambda_{max} - 2\sigma \sqrt{N}}{\sigma}\right) \leq x\right]
</math>

כלומר
<math display="block">\frac{\lambda_{max} - 2\sqrt{N}}{N^{1/6}} \xrightarrow{d} F_{\beta}</math> או במילים: ההפרש בין <math>\lambda_{max}</math> לבין מרכז ההתפלגות (<math>2\sigma\sqrt{N}</math>) שואף לקבוע בקצב של <math>N^{1/6}</math>.

ההצגה הגבולית נותנת פירוש נוסף להתפלגות טרייס וידום: תיאור ה"תנודות" של <math>\lambda_{max}</math> על קטע צר בגודל פרופורציוני ל <math>N^{1/6}</math> סביב <math>\lambda_{max}\approx\sqrt{2N}</math>.
* הסטיה <math>2\sigma \sqrt{N}</math> נובעת מ[[התפלגות חצי המעגל של ויגנר]]. הקובעת כי בגבול צפיפות הערכים העצמיים מתכנסת לחצי העיגול ברדיוס <math>2\sigma \sqrt{N}</math>.
* הכפלה בגורם <math>N^{1/6}</math> משמשת לתיקון, כי [[סטיית תקן|סטיית התקן]] של ההתפלגות גדלה כמו <math>N^{1/6}</math> (פותח לראשונה ב<ref>
{{Cite journal |last=Forrester |first=P. J. |date=1993-08-09 |title=The spectrum edge of random matrix ensembles |url=https://dx.doi.org/10.1016/0550-3213%2893%2990126-A |journal=Nuclear Physics B |language=en |volume=402 |issue=3 |pages=709–728 |doi=10.1016/0550-3213(93)90126-A |bibcode=1993NuPhB.402..709F |issn=0550-3213}}
</ref>).

כאמור, ההתפלגות יכולה מהגדרתה להתרחב לכל <math>\beta >0</math><ref> (ראה שקופית 56 ב
{{Cite journal|last1=Edelman|first1=A.|year=2003|title=Stochastic Differential Equations and Random Matrices|url=https://math.mit.edu/~edelman/talks/2003/siam2003.ppt|publisher=SIAM Applied Linear Algebra}}
</ref><ref name=":1">{{צ-מאמר|מחבר=Thomas Trogdon, Yiting Zhang|שם=Computing the Tracy-Widom Distribution for Arbitrary β>0|כתב עת=SIGMA|כרך=20|שנת הוצאה=11 Apr 2023|doi=https://doi.org/10.3842/SIGMA.2024.005}}</ref>.[[קובץ:TW densities.png|ממוזער|התפלגות טרייסי וידום עבור β=1,2,4 (בצבע) ליד הגיאוסיאן הסטנדרטי (בשחור)|300x300 פיקסלים]]

=== הגדרה כפונקציה ===
=== פונקציית הדטרמיננטה של Fredholm ===
<math>F_2</math> יכולה להיות מיוצגת על ידי [[הדטרמיננטה של פרדהולם]] {{אנ|Fredholm determinant}}:<math display="block">
F_2(s) = \det(I - A_s) = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \int_{(s, \infty)^n} \det_{i, j = 1, ..., n}[A_s(x_i, x_j)]dx_1\cdots dx_n
</math>כאשר האינטגרל מחושב על חצי המעגל <math>(s,\infty)</math> וכן <math>A_s</math> היא [[גרעין (אלגברה)|פונקציית גרעין]] המוגדרת:<math display="block">
A_s(x, y) = \begin{cases}
\frac{\mathrm{Ai}(x)\mathrm{Ai}'(y) - \mathrm{Ai}'(x)\mathrm{Ai}(y)}{x-y} \quad \text{if }x\neq y \\
Ai' (x)^2- x (Ai(x))^2 \quad \text{if }x=y
\end{cases}
</math> <math>A_i</math> נקראת [[פונקציית איירי]].

=== פיתוח דרך משוואות דיפרנציאליות ===

נניח כי <math>q(s)</math> מייצגת פתרון של [[הטרנסצנדנטים של פנלבה]] {{אנ|Painlevé transcendents}}  מסדר שני:<math display="block">q^{\prime\prime}(s) = sq(s)+2q(s)^3</math>עם חסם גבולי של <math display="inline">\displaystyle q(s) \sim \textrm{Ai}(s), s\to\infty</math><ref>למעוניינים בפיתוח מפורט הכולל סימולציה בעזרת קוד ראו בלוג Computational Random Matrix Theory של Robert Sweeney Blanco

ב-https://robertsweeneyblanco.github.io/Computational_Random_Matrix_Theory/Eigenvalues/Tracy_Widom.html</ref>. כעת נגדיר <math>I(t), J(t) </math> כך ש<math display="block">\begin{array}{lcl}
I(t) & = & - \int_t^\infty (x-t)q^2(x)dx\\
J(t) & = & \int_t^\infty q(x)dx
\end{array}</math>אז התפלגות <math>F_{2}</math> (ההתפלגות המצטברת של טרייסי-וידום) תוגדר להיות<ref>נקרא לראשונה כ "הפתרון של הייסטינג-מקליאוד".

על ידי Hastings, S.P, McLeod, J.B ב

A boundary value problem associated with the second Painlevé" "transcendent and the Korteweg-de Vries equation.

Arch. Ration. Mech. Anal. '''73''', 31–51 (1980)</ref><math display="block">F_{2} (t) = e^{I(t)} = \exp \left(-\int_s^\infty (x-s)q^2(x)\,dx\right)</math>בעזרת אותה <math>q(s)</math> ניתן לתאר גם <math>\beta</math> נוספות<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Tracy, C.A., Widom, H|שם=On orthogonal and symplectic matrix ensembles|כתב עת=Communications in Mathematical Physics|כרך=177|שנת הוצאה=1996|עמ=727–754|doi=https://doi.org/10.1007/BF02099545|קישור=https://link.springer.com/article/10.1007/BF02099545}}</ref>:<math display="block">\begin{align}
F_1(s)= \sqrt{F_{2}(t) e^{-J(t)}} &= \exp\left(-\frac{1}{2}\int_s^\infty q(x)\,dx\right)\, \left(F_2(s)\right)^{1/2} \\
F_4(s/\sqrt{2}) &=\cosh\left(\frac{1}{2}\int_s^\infty q(x)\, dx\right)\, \left(F_2(s)\right)^{1/2}.

\end{align}</math>

== תכונות גבוליות של ההתפלגות ==
כאמור, האוניברסליות של התפלגות טרייסי-וידום הביאה חוקרים לחקור את זנבותיה. חקר הזנבות מתבסס על הייצוג של ההתפלגות לפי משוואת פנילבה שהוזכרו לעיל.

=== פונקציית הצפיפות ===
תהי <math>f_\beta(x) = F_\beta'(x)</math> [[פונקציית צפיפות|פונקציית הצפיפות]] אז<ref name=":0">{{צ-מאמר|מחבר=Majumdar, Satya N; Schehr, Grégory (2014-01-31)|שם=Top eigenvalue of a random matrix: large deviations and third order phase transition|כתב עת=Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment|שנת הוצאה=31 January 2014|doi=10.1088/1742-5468/2014/01/P01012}}</ref><math display="block">f_{\beta}(x) \sim \begin{cases}
e^{-\frac{\beta}{24}|x|^3}, \quad x \to - \infty\\
e^{-\frac{2\beta}{3}|x|^{3/2}},\quad x \to +\infty
\end{cases}</math>ניתן לראות כי ההתפלגות אכן בעלת זנב ימני. כלומר יותר סביר כי <math>\lambda_{max}</math> יהיה גדול מ <math>\sqrt{2N}</math>. נזכור כי ההתפלגות הגבולית היא התפלגות חצי העיגול, ולכן ה"זנביות" נובעת מה"דחיה" ממרכז ההתפלגות, ולכן הסיכוי של <math>\lambda_{max}</math> להיות קטן <math>\sqrt{2N}</math> יקטן.

עבור הזנב השמאלי <math>x\to - \infty</math> קיים פיתוח סגור יותר<ref name=":0" />: <math display="block">f_{\beta}(x) \sim \tau_{\beta}|x|^{(\beta^{2}+4-6\beta)/16\beta}\exp\left[-\beta\frac{|x|^{3}}{24}+\sqrt{2}\frac{\beta-2}{6}|x|^{3/2}\right]</math>עבור <math>\tau_\beta</math> קבוע כלשהו התלוי ב <math>\beta</math>.

'''דוגמה לקצב דעיכת הזנבות של <math>f_1
</math>'''

מהגדרה, הצפיפות של <math>F_1</math> מוגדרת להיות <math display="block">f_1(s)=\frac{1}{2}F_{1}(s)\Biggl(q(s)+\int_{s}^{\infty}q^2 dx \Biggl)</math>אם כן, עבור <math>s</math> חיובי גדול מספיק, נקבל (מהגדרות שהוזכרו לעיל) כי <math display="block">\begin{array}{lcr}
q(s) \sim Ai(s) \sim 2^{-1}\pi^{-1}s^{-1/4}e^{-\frac{2}{3}s^{3/2}}
 \\
 \int_{s}^{\infty}q^2 dx \sim(8\pi s)^{-1}e^{-\frac{4}{3}s^{3/2} } = O(q(s))\end{array}
</math> ולכן סך הכל <math>f_1(s)\approx q(s) \approx e^{-\frac{2}{3}s^{3/2}}
</math>. בעבור הזנב השמאלי, הוכח כבר<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Hastings, S.P., McLeod, J.B|שם=A boundary value problem associated with the second painlevé transcendent and the Korteweg-de Vries equation.|כתב עת=Arch. Rational Mech. Anal|כרך=73|שנת הוצאה=1980|עמ=31-51|doi=https://doi.org/10.1007/BF00283254|קישור=https://link.springer.com/article/10.1007/BF00283254}}</ref> כי עבור <math>s</math> שלילי מתקבל <math display="block">\begin{array}{lcr} q(s) \sim \sqrt{-s/2} \longrightarrow \int\limits_{s}^{\infty} q dx \sim \frac{\sqrt2}{3}|s|^{\frac{3}{2}} \\
\int\limits_{s}^{\infty} (x-s)q^2(x) dx \sim |s|^{3}/12
\end{array}</math>ואכן נקבל את המקרה הפרטי עבור <math>\beta=1</math> כי הזנב השמאלי של <math>f_1
</math> מתנהג כמו <math>f_1(s)\approx e^{-\frac{|s|^3}{12}}
</math>.

=== פונקציית ההסתברות המצטברת ===
פונקציית ההסתברות המצטברת תחת <math>x\to +\infty</math><ref>{{Cite journal|last1=Baik|first1=Jinho|last2=Buckingham|first2=Robert|last3=DiFranco|first3=Jeffery|date=2008-02-26|title=Asymptotics of Tracy-Widom Distributions and the Total Integral of a Painlevé II Function|url=http://dx.doi.org/10.1007/s00220-008-0433-5|journal=Communications in Mathematical Physics|volume=280|issue=2|pages=463–497|arxiv=0704.3636|bibcode=2008CMaPh.280..463B|doi=10.1007/s00220-008-0433-5|issn=0010-3616|s2cid=16324715}}</ref>:
<math display="block">
\begin{align}

F(x)&=1-\frac{e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}}}{32\pi x^{3/2}}\biggl(1-\frac{35}{24x^{3/2}}+{\cal O}(x^{-3})\biggr), \\

E(x) &=1-\frac{e^{-\frac{2}{3}x^{3/2}}}{4\sqrt{\pi}x^{3/2}}\biggl(1-\frac{41}{48x^{3/2}}+{\cal O}(x^{-3})\biggr)
\end{align}</math>עבור הזנב השמאלי  <math>x\to -\infty</math> 
<math display="block">
\begin{align}
F(x)&=2^{1/48}e^{\frac{1}{2}\zeta^{\prime}(-1)}\frac{e^{-\frac{1}{24}|x|^{3}}}{|x|^{1/16}} \left(1+\frac{3}{2^{7}|x|^{3}}+O(|x|^{-6})\right) \\
E(x)&=\frac{1}{2^{1/4}}e^{-\frac{1}{3\sqrt{2}}|x|^{3/2}} \Biggl(1-\frac{1}{24\sqrt{2}|x|^{3/2}}+{\cal O}(|x|^{-3})\Biggr).
\end{align}
</math>
כאשר <math>\zeta</math> [[פונקציית זטא של רימן]] כך ש  <math>\zeta' (-1) = -0.1654211437</math>. 

בצורה כזו פונקציית ההתפלגות המצטברת ניתנת לניתוח לכל זנב בנפרד. למשל עבור <math>F_2</math>:<math display="block">
\begin{align}

1-F_{2}(x)&=\frac{1}{32\pi x^{3/2}}e^{-4x^{3/2}/3}(1+O(x^{-3/2})),
\\
F_{2}(-x)&=\frac{2^{1/24}e^{\zeta^{\prime}(-1)}}{x^{1/8}}e^{-x^{3}/12}\biggl(1+\frac{3}{2^{6}x^{3}}+O(x^{-6})\biggr).

\end{align}
</math>

== רקע והיסטוריה ==
=== רקע ===
==== התפלגות של ערכים עצמיים ====
תהא מטריצה <math>H_\beta</math> המוגדרת β-הרמיטית בגודל <math>N\times N</math>, נניח כי <math>\beta=1</math> כלומר אוניטארית. כניסות המטריצה <math>H_{ij}</math> נדגמו מהתפלגות גיאוסיאנית קרי <math display="block">

P(H_{ij})= \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp[-H_{ij}^2], & \text{if } i=j \\
                        \frac{1}{\sqrt\pi}exp[-H_{ij}^2], & \text{if }i>j
                        \end{cases}</math> לכן פונקציית הצפיפות המשותפת של כל <math>N</math> הערכים העצמיים (הבלתי תלויים, ללא סדר מסוים)<ref>{{citation|last1=Tracy|first1=C. A.|last2=Widom|first2=H.|title=The distributions of random matrix theory and their applications|url=http://www.math.ucdavis.edu/~tracy/talks/SITE7.pdf}}.</ref>:<math display="block">f(\lambda_1, \ldots, \lambda_N) = \frac{1}{Z_{N,\beta}} e^{\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} \lambda_i^2\right)} \prod_{j<k} |\lambda_j - \lambda_k|^\beta
</math>כאשר <math>Z_{N,\beta}</math> הוא קבוע נרמול <math>Z_{N,\beta} = \left(2\pi\right)^{N/2} \prod_{k=1}^{N} \frac{\Gamma\left(1 + k\frac{\beta}{2}\right)}{\Gamma\left(1 + \frac{\beta}{2}\right)}</math>.
* הרכיב <math>e^{\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} \lambda_i^2\right)}</math> הוא בעצם <math>e^{-Tr(H^2)/2}</math>
* הרכיב <math>\prod_{j<k} |\lambda_j - \lambda_k|^\beta</math> הוא אופרטור הגזירה <math>dH = \prod_i dH_{ii} \prod_{i<j} dH_{ij}
</math>.
[[קובץ:Heatmap of Joint Density Function for beta = 1.png|ממוזער|המחשה לצפיפות המשותפת של הערכים העצמיים עבור מטריצה בגודל <math>H_{2 \times 2}</math> כאשר <math>\beta = 1</math>]]

==== מוטיבציה – התפלגות הערך העצמי המקסימלי ונקודות שיווי משקל ====
תהי מערכת המכילה בתוכה <math>N</math> אובייקטים הנעים במרחב בצורה רנדומלית ובלתי תלויה לחלוטין. נרצה לחקור את התנועה במערכת (כוחות דוחפים\מושכים) – ובפרט לפתח את היכולת למצוא בה נקודות שיווי משקל. אם נדמיין את התנועה במרחב הרב-ממדי בתור וקטור <math>V=(y_1,...,y_N)</math> הרי שנקודות שיווי המשקל \יציבות <math>y^{\star}</math> יתאפיינו על ידי <math>\nabla V(y^{\star})=0</math> (נק' [[סטציונאריות]]). לכן נתעניין ב[[הסיאן]] <math>H_{N\times N}</math> של <math>V</math>:<math display="block">H_{ij}={\partial^2\over\partial y_i\partial y_j}V</math>כעת – הערכים העצמיים של המטריצה <math>H_{ij}</math> יקבעו את טבע התנועה במערכת (מינימום\מקסימום לוקאלי\גלובאלי ואוכף). למשל עבור <math>N=2</math> יהיו שני ערכים עצמיים <math>\lambda_1,\lambda_2</math>:<math display="block">
\begin{align}
& if\ \lambda_1 >0\ and\ \lambda_2>0\ \rightarrow Local\ Minimum \\ \ &
if\ \lambda_1 <0\ and\ \lambda_2<0\ \rightarrow Local\ Maximum \\ \ &
if\ \sgn(\lambda_1) \neq \sgn(\lambda_2) \rightarrow Saddle Point
\end{align}</math>אם כן, עבור נקודת מינימום נרצה שכל הערכים העצמיים יהיו שליליים <math>\forall\ i:\lambda_i<0</math>.

נסמן ב <math>\lambda_{max}</math> את הערך העצמי המקסימלי ונקבל את השקילות <math> P[\forall\ i:\lambda_i <0 ] = P[\lambda_{max} <0 ]</math>.

במילים אחרות, הסיכוי ליציבות של המערכת (מינימום לוקאלי) תלויה בהתפלגותו של הערך העצמי המקסימלי של ההסיאן.

ניתן גם לפתח התפלגות לערכים העצמיים השני והשלישי בגודלם<ref>
{{Cite journal |last=Dieng |first=Momar |date=2005 |title=Distribution functions for edge eigenvalues in orthogonal and symplectic ensembles: Painlevé representations |journal=International Mathematics Research Notices |volume=2005 |issue=37 |pages=2263–2287 |doi=10.1155/IMRN.2005.2263 |issn=1687-0247 |doi-access=free}}</ref>.

=== היסטוריה ===
==== אמצע המאה ה-20 – תוצאות ספקטרליות של מטריצות אקראיות ====
{{הפניה לערך מורחב|התפלגות חצי המעגל של ויגנר}}[[קובץ:TS and the Wigenr Semi Circle.jpg|ממוזער|285x285 פיקסלים|המחשה לקשר בין התפלגות חצי המעל של ויגנר והתפלגות טרייס וידום. חצי המעגל "תופס" את התפלגות כלל הערכים העצמיים, ולכן התפלגות טרייסי וידום המתמקדת בערך העצמי המקסימלי היא סביב הקצה הימני של חצי המעגל. מתוך רשימות הרצאה של פרופ' מג'ומדר (באדיבותו).]]
התפתחות ענף ה[[מטריצה אקראית|מטריצות האקראיות]] מתחיל באמצע המאה ה-20. הפיזיקאי [[יוג'ין ויגנר]] הציג את המטריצות האקראיות בפיזיקה בשנות ה-50, במקור על מנת לדמות את [[רמת אנרגיה|רמות האנרגיה]] של גרעיני אטומים כבדים<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Eugene P. Wigner|שם=On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices|כתב עת=Annals of Mathematics|כרך=67|שנת הוצאה=1958|עמ=325-327|doi=https://doi.org/10.2307/1970008}}</ref>. בשנת 1951, ויגנר הציג את מה שנודע לאחר מכן כ[[התפלגות חצי המעגל של ויגנר]], המתארת את ההתפלגות של ערכים עצמיים עבור מטריצות סימטריות אקראיות גדולות. עבודה זו היוותה את הבסיס לתורת המטריצות האקראיות, שמצאה יישומים ב[[פיזיקה גרעינית]], [[כאוס קוונטי]] ותחומים נוספים. ויגנר הראה כי עבור מטריצה אקראית <math>M_N</math> פונקציית הצפיפות של הערכים העצמיים מתכנסת (בהתפלגות) לחצי העיגול סביב הטווח <math>[-2N,2N]</math>. ניתן להסיק מכך שפיזור של <math>N</math> ערכים עצמיים על טווח זה יצור מרחק ממוצע בין ערכים עצמיים סמוכים פרופורציונלי ל <math>N^{-1/2}</math>. בנוסף, התפלגותו של הערך עצמי המקסימלי יהיה סביב <math>\sqrt{2N}</math>.

בהמשך לתובנותיו של ויגנר, מתמטיקאים ופיזיקאים חקרו במהלך העשורים הבאים היבטים שונים של מטריצות אקראיות. התפתחות חשובה הגיעה בשנות ה-70 כאשר {{קישור שפה|2=Robert May, Baron May of Oxford|3=רוברט מיי|שם מלא=Robert May}} יישם את מושגי המטריצות האקראיות בתחום ה[[אקולוגיה]], תוך שימוש בהן כדי לנתח את היציבות של מערכות אקולוגיות מורכבות. מיי גילה ב"תאוריית האינטראקציה" שלו נקודה קריטית<ref>{{צ-מאמר|מחבר=MAY, R.|שם=Will a Large Complex System be Stable?|כתב עת=Nature|כרך=238|שנת הוצאה=1972|עמ=413–414|doi=https://doi.org/10.1038/238413a0}}</ref>, שמעבר לה המערכת האקולוגית הופכת לבלתי יציבה. נקודת מפנה זו, כפי שהתברר מאוחר יותר, הייתה קשורה באופן הדוק להתפלגות טרייסי-וידום.

==== שנות ה-90 ועד ל-2005 – ארבע בעיות שונות – אותה ההתפלגות ====
בשנים אלו התגלה כי בעיות שונות שנחקרו בהרחבה חולקות את אותה פונקציית התפלגות – התפלגות טרייסי-וידום<ref>ראו רשימות הרצאה של Satya N. Majumdar בנושא Random Matrices, the Ulam Problem, Directed Polymers & Growth Models, and Sequence Matching ב־https://arxiv.org/abs/cond-mat/0701193</ref>.

הבעיה הראשונה היא תחום המטריצות האקראיות, שם מקומה של ההתפלגות בבעיה התגלה על ידי טרייס ווידום עצמם. מאוחר יותר, בשנת 1999, התגלה<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Jinho Baik, Percy Deift, Kurt Johansson|שם=On the Distribution of the Length of the Longest Increasing Subsequence of Random Permutations|כתב עת=Journal of the American Mathematical Society|כרך=12 (4)|שנת הוצאה=1998|עמ=1119–1178|doi=doi:10.1090/S0894-0347-99-00307-0|קישור=https://arxiv.org/abs/math/9810105}}</ref> שהתפלגות טרייסי וידום מתארת גם את ההתפלגות של אורכו של {{קישור שפה|2=Longest increasing subsequence|3=תת רצף עולה הארוך ביותר|שם מלא=Longest increasing subsequence}}, בעיה ידועה בתחום ה[[קומבינטוריקה]]. מיד לאחר מכן, התגלה בכמה מחקרים נפרדים שההתפלגות הזו מופיעה גם ב[[מודלי צמיחה אקראית]] שונים מתחום ה[[פיזיקה סטטיסטית|פיזיקה הסטטיסטית]], בפרט מודלים המנסים לתאר תהליכים הכוללים [[מעבר פאזה]] כמו מודל ה-PNG (Polynuclear Growth)<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Michael Prähofer and Herbert Spohn|שם=Universal Distributions for Growth Processes in 1+1 Dimensions and Random Matrices|כתב עת=Phys. Rev. Lett|כרך=84|שנת הוצאה=2000|עמ=4882--4885|doi=https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.84.4882|קישור=https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.84.4882}}</ref>, ומודלים נוספים המבוססים על {{קישור שפה|2=Kardar–Parisi–Zhang equation|3=משוואות קרדר-פאריסי-זנג|שם מלא=Kardar–Parisi–Zhang equation}}. ב-2005, התגלה על ידי כי גם בעיית {{קישור שפה|2=Longest common subsequence|3=תת הרצף המשותף הארוך ביותר|שם מלא=Longest common subsequence}} מכילה גם היא בתוכה את התפלגות טרייסי וידום<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Satya N. Majumdar and Sergei Nechaev|שם=Exact asymptotic results for the Bernoulli matching model of sequence alignment|כתב עת=Physical Review E|כרך=72|שנת הוצאה=2005|קישור=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.72.020901}}</ref>, בפרט כאשר מדובר בסט סופי של אותיות מהן נדגמים הרצפים (כמו רצפים גנטים ב[[ביואינפורמטיקה]]).

==== 2005 עד 2015 – התפתחות חקר זנבות ההתפלגות ====
{{הפניה לערך מורחב|מעבר פאזה}}
כאמור, 10 שנים מניסוח ההתפלגות, תחומי מחקר שונים לחלוטין מצאו בה שימוש יסודי בבעיות שלהם. אך לרוב (בדומה לגילוי הראשוני של רוברט מיי) השימוש היה בשיא ההתפלגות על מנת לתאר מעבר מיציבות של מערכת דינאמית לחוסר יציבות. גילויים אלה הניעו חוקרים לחקור דווקא את זנבות ההתפלגות.

בשנת 2006 פרופסור Satya Majumdar נחשף למחקרים שגרסו כי נקודות יציבות ב[[תורת המיתרים]] מקבילות לתת-קבוצה של מטריצות אקראיות שהערכים העצמיים הגדולים ביותר שלהן הם שליליים – רחוק משמאל לערך הממוצע של <math>\sqrt{2N}</math> בשיא עקומת טרייסי-וידום. הוא תהה עד כמה נדירות עשויות להיות נקודות יציבות אלו.

כדי לענות על השאלה, מג'ומדר ודייוויד דין<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://scholar.google.com/citations?user=Ozp-d7QAAAAJ&hl=en|כותרת=David S. Dean, Google Scholar}}</ref>, התחילו לחקור את הזנב הקיצוני השמאלי של התפלגות טרייסי-וידום, אזור בהתפלגות שטרם נחקר. בתוך שנה, הם פרסמו את מחקרם בכתב העת [[Physical Review]] Letters<ref>{{צ-מאמר|מחבר=David S. Dean, Satya N. Majumdar|שם=Large Deviations of Extreme Eigenvalues of Random Matrices|כתב עת=Physical Review Letters|כרך=97|שנת הוצאה=2006-10-20|עמ=160201|doi=10.1103/PhysRevLett.97.160201|קישור=https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.97.160201}}</ref>, שם טענו כי בצד השמאלי, קצב הדעיכה של ההתפלגות הוא כפונקציה של <math>N^2</math> . בצד הימני, מג'ומדר ודין הופתעו לגלות שההתפלגות ירדה בקצב איטי יותר, כפונקציה של  <math>N</math>.  [[קובץ:TW distribution - taills.png|ממוזער|364x364 פיקסלים|המחשה של מרכז וזנבות התפלגות <math>f_2(x), \sigma=1</math> (קרי עבור משתנים בעלי קורלציה ביניהם). שיא ההתפלגות סביב <math>\sqrt{2N}</math> מהווה "נקודת מעבר" ממנה המערכת כבר אינה "יציבה" ובפרט דועכת בקצבים שונים משני צידיה.]] בשנת 2011, הצורה של הזנבות השמאלי והימני נתנה למג'ומדר וצוותו תובנה פתאומית: הם הבינו שהאוניברסליות של התפלגות טרייסי-וידום יכולה להיות קשורה לאוניברסליות של [[מעבר פאזה|מעברי פאזה]] — אירועים כמו הקפאת מים לקרח, [[גרפיט]] שהופך ליהלום ומתכות רגילות שהופכות למוליכי-על<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Satya N Majumdar, Grégory Schehr|שם=Top eigenvalue of a random matrix: large deviations and third order phase transition|כתב עת=Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment|כרך=2014|שנת הוצאה=2014|doi=10.1088/1742-5468/2014/01/P01012|קישור=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-5468/2014/01/P01012}}</ref>.

{{ציטוטון|מכיוון שמעברי פאזה הם כל כך נפוצים – כל החומרים עוברים שינוי פאזה כאשר הם מוזנים או מורעבים מכמות מספקת של אנרגיה – ולוקחים רק קומץ של צורות מתמטיות, הם עבור הפיזיקאים הסטטיסטיים כמעט כמו דת|מג'ומדר}}

בשולי ההתפלגות המיניאטוריים של טרייסי-וידום, מג'ומדר, וצוותו זיהו צורות מתמטיות מוכרות: עקומות נפרדות המתארות שני קצבים שונים של שינוי בתכונות של מערכת, היורדות משני הצדדים של שיא מעבר פאזה. אלו היו סימני מעבר פאזה.

== אמידה נומרית ושימוש בקוד ==
==== הערכה נומרית של ההתפלגות ====
על מנת לתת הערכה נומרית להתפלגות טרייסי-וידום, נדרשו טכניקות נומריות להשגת פתרונות נומריים למשוואות פנלבה מסוגים II ו-V. פתרונות אלה הוצגו לראשונה על ידי תבנית באמצעות [[MATLAB]] על ידי אנדלמן ופרסון<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Alan Edelman, Per-Olof Persson|שם=Numerical Methods for Eigenvalue Distributions of Random Matrices|שנת הוצאה=2005|doi=https://doi.org/10.48550/arXiv.math-ph/0501068|קישור=https://arxiv.org/abs/math-ph/0501068}}</ref>.

טכניקות קירוב אלו קיבלו הצדקה אנליטית נוספת<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Andrei Bejan|שם=Largest eigenvalues and sample covariance matrices|כתב עת=Tracy–Widom and Painleve II: computational aspects and realization in S-Plus with applications. Mathematics Subject Classification|כרך=1991|שנת הוצאה=2005|קישור=chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/http://users.stat.umn.edu/~jiang040/downloadpapers/largesteigen/largesteigen.pdf}}</ref> ושימשו לצורך הערכה נומרית של התפלגויות <math>\beta \in \{1, 2, 4\}</math> באמצעות [[S-PLUS]], באותה העבודה ההתפלגויות קובעו בטבלה בדיוק של עד 4 ספרות בקפיצות של 0.01 ביחד עם [[מובהקות סטטיסטית|טבלת מובהקות (p-value)]].

בשנת 2010 נוסח אלגוריתם<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Bornemann, F.|שם=On the numerical evaluation of distributions in random matrix theory: A review with an invitation to experimental mathematics|כתב עת=Markov Processes and Related Fields|כרך=16 (4)|שנת הוצאה=2010|עמ=803–866|doi=https://doi.org/10.48550/arXiv.0904.1581|קישור=https://arxiv.org/abs/0904.1581}}</ref> מהיר לחישוב ערכי <math>F_{\beta}</math> וערכי הצפיפות <math>f_{\beta}=dF_{\beta}/ds</math> עבור <math>\beta \in \{1, 2, 4\}</math>. האלגוריתם מספק חישוב נומרי של ה[[ממוצע]], ה[[שונות]], [[צידוד (סטטיסטיקה)|צידוד]] וה[[גבנוניות (סטטיסטיקה)|גבנוניות]] [[גבנוניות (סטטיסטיקה)#גבנוניות יתרה|יתרה]]:
{| class="wikitable" border="1"
!גבנוניות יתרה
!צידוד
!שונות
!ממוצע
!<math>\beta</math>
|-
|0.1652429384
|0.29346452408
|1.607781034581
|−1.2065335745820
|1
|-
|0.0934480876
|0.224084203610
|0.8131947928329
|−1.771086807411
|2
|-
|0.0491951565
|0.16550949435
|0.5177237207726
|−2.306884893241
|4
|}
באמצעות אלו, פותח אלגוריתם<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Zewen Shen, Kirill Serkh|שם=On the Evaluation of the Eigendecomposition of the Airy Integral Operator|כתב עת=Applied and Computational Harmonic Analysis|כרך=57|שנת הוצאה=2022|עמ=105–150|doi=https://doi.org/10.48550/arXiv.2104.12958|קישור=https://arxiv.org/abs/2104.12958}}</ref> להתפלגות של הערך העצמי ה <math>k</math> של האופרטור <math>A_s</math> היכול לשמש לחישוב התפלגות טרייסי-וידום<ref>בהכללה – ניתן באמצעות התפלגות זו לחשב עבור כל אוסף מטריצות גיאוסיאניות את ההתפלגות באחד מהזנבות לרמת דיוק מכונה. </ref>.

==== חבילות קוד קיימות ====
ב-[[R (שפת תכנות)|R]] קיימת החבילה בשם 'RMTstat'{{הערה|[https://cran.r-project.org/web/packages/RMTstat/RMTstat.pdf Package RMTstat], באתר r-project}}, ב-[[MATLAB]] קיימת החבילה בשם 'RMLab'{{הערה|[https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/44711-approximation-for-the-tracy-widom-laws RMLab], באתר matlabcentral}}, וב[[פייתון]] קיימות מספר חבילות ביניהן scikit-rmt.

== שימוש בסטטיסטיקה רב ממדית ==
מטריצת השונות המשותפת נמצאת במרכז חקר הסטטיסטיקה ובפרט סטטיסטיקה הרב ממדית. כפי שהעיר {{קישור שפה|2=Iain M. Johnstone|3=איאן ג'ונסטון|שם מלא=Iain M. Johnstone}}<ref>{{צ-מאמר|מחבר=I. Johnstone|שם=Multivariate analysis and Jacobi ensembles: Largest eigenvalue, Tracy
Widom limits and rates of convergence|כתב עת=Annals of Statistics,|כרך=Vol. 36|שנת הוצאה=2008|עמ=2638-2716|doi=https://doi.org/10.48550/arXiv.0803.3408|קישור=https://arxiv.org/abs/0803.3408}}</ref>:

{{ציטוטון|תכונה בולטת של התיאוריה הקלאסית של ניתוח סטטיסטי רב-משתני היא שרוב הטכניקות הסטנדרטיות—רכיבים עיקריים, מתאמים קאנוניים, ניתוח שונות רב-משתני (MANOVA), ניתוח הבחנה וכדומה—מבוססות על ניתוח ערכים עצמיים של מטריצות השונות-המשותפת.}}[[קובץ:First 3 Eigenvalues distribution.png|ממוזער|400x400 פיקסלים|דגימה של שלושת הערכים העצמיים הגדולים ביותר עבור 1000 מטריצות <math>S</math> המבוססות <math>X_{10 \times 10} \sim N_{10} (0,I)</math>.]]

=== הנחות המודל והבעיה ===
בידינו מטריצת נתונים <math>X_{p \times n}</math> המתארת <math>n</math> דגימות מ <math>p</math> משתנים (עמודה ב <math>X</math> מתארת תצפית אחת מ <math>p</math> משתנים). אנו מניחים כי <math>X_{p \times n} \sim N_p(\mu,\Sigma)</math> ולשם הפשטות <math>\mu=0</math>.

הבעיה שלפנינו היא להסיק את תכונות <math>\Sigma = \left (Cov\left [ X_k,X_{k'} \right ] \right)_{1\leq k,k'\leq p}</math> מתוך מטריצת השונות הנצפית <math>S=\frac{1}{n}X^TX</math>, ממנה ניתנים לחילוץ <math>\widehat{\ell_{j}}</math> – הערכים העצמיים הנצפים של <math>S</math>.

=== בדיקת השערות למטריצת השונות המשותפת ===
נרצה לבצע [[בדיקת השערות]] כאשר ה[[השערת האפס|שערת האפס]] היא כי אין קורלציה בין <math>p</math> המשתנים כלומר <math>H_0:\Sigma =I,\ H_1: else</math>.

נרצה לפתח [[סטטיסטי]] תחת ההנחה כי <math>\Sigma =I</math>. תחת הנחה זו מצופה כי <math>\widehat{\ell_{j}} \approx 1</math>. על מנת לאמוד כמה "קיצוניים" ערכי <math>\widehat{\ell_{j}}</math> כך שיצדיקו דחיה של השערת האפס נחקור את ההתפלגות שלהם תחת הנחה זו. התפלגות זו נחקרה ונקראת {{קישור שפה|2=Wishart distribution|3=התפלגות וישארט|שם מלא=Wishart distribution}} (התפלגות זו היא הרחבה של [[התפלגות חצי המעגל של ויגנר]]). כלומר נתעניין ב<math display="block">P\left (\widehat{\ell_1} > t | \Sigma \sim_{H_0} W_p(n,I)\right )
</math>כאשר הקשר בין התפלגות טרייסי וידום (הערך העצמי הגדול ביותר של <math>S</math>) להתפלגות וישארט היא <math display="block">\frac{\lambda_{\max}(W_n) - \mu_{np}}{\sigma_{np}} \xrightarrow{d} F_{\beta}</math>תחת <math>n,p\to \infty</math> וכן <math>n/p \to \gamma\geq 1</math> מתקבל החסם<ref name=":2">ראה נוסחה (7),עמוד 12 ב

[[arxiv:math/0611589|High Dimensional Statistical Inference and Random Matrices]]

על ידי Iain M. Johnstone</ref><math display="block">\left \vert P\left (n\hat{\ell_1} \leq \mu_{np} +\sigma_{np}t | H_0\right) - F_{\beta}(t) \right \vert \leq Ce^{-ct}p^{-2/3}

</math>כלומר תחת ההשערה <math>\Sigma =I</math> התפלגות הערך העצמי הגדול ביותר הנצפה קרובה בדיוק מסדר שני להתפלגות טרייסי-וידום.

ולכן התפלגות זו היא התפלגות הסטטיסטי המבוקש ובאמצעותה ניתן לבצע את בדיקת ההשערות.

ובפרט קבועי הנרמול הרלוונטיים הם<ref name=":2" />: <math display="block">\mu_{np} = \left(\sqrt{n - \frac{1}{2}} + \sqrt{p - \frac{1}{2}} \right)^2, \quad
\sigma_{np} = \left(\sqrt{n} + \sqrt{p} \right) \left(\frac{1}{\sqrt{n - \frac{1}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{p - \frac{1}{2}}} \right)^{1/3}</math>דוגמה

נניח כי נתון: <math>\Sigma</math> מקיימת <math>\beta=1</math>, <math>n=10,p=10</math>.

כעת, נניח כי הערך העצמי הגבוהה ביותר הנצפה הוא <math>\widehat{\ell_{1}}=2</math>. האם הוא קיצוני דיו עבורינו?

ראשית, נדרוש דיוק של 0.01 להתפלגות <math>F_1</math> (התפלגות טרייסי וידום עם <math>\beta=1</math>), דיוק זה מתקבל בהסתברות לכל היותר <math> \text{0.213}</math>. בהנחה ואנו מסופקים מהסתברות זו (אחרת, ניאלץ לשנות את הקבועים שלנו) – ניתן נומרית לפתח את התפלגות <math>F_1</math> לערכים נבחרים:
{| class="wikitable"
|+ערכי <math>x
</math> עבור ההסתברות <math>P(\psi_1\geq x)</math> כאשר <math>\psi_1 \sim F_1</math>
!<math>0.45014
</math>
!<math>0.53508
</math>
!<math>0.62792
</math>
!<math>0.73069
</math>
!<math>0.84633
</math>
!<math>0.97931
</math>
!<math>1.13706
</math>
!<math>1.33321
</math>
!<math>1.59776
</math>
!<math>2.02345
</math>
!<math>x</math>
|-
|<math>.10
</math>
|.09
|<math>.08
</math>
|<math>.07
</math>
|<math>.06
</math>
|<math>.05
</math>
|<math>.04
</math>
|<math>.03
</math>
|<math>.02
</math>
|<math>.01
</math>
|<math>P(\psi_1 \geq x)</math>
|}
אם כן, מובהקות התוצאה <math>\widehat{\ell_{1}}=2</math> היא <math>P(\psi_1 \geq2)\approx P(\psi_1 \geq2.023)=0.01</math>.

=== ניתוח מדגמים רועשים (BBP Phase Transition) ===
דוגמה נוספת לשימוש בהתפלגות טרייסי וידום הוא שילוב בדיקת ההשערות בניתוח מדגמים רועשים. לעיתים רוצים לזהות האם יש "אות" בתוך הרעש. לדוגמה, במקרה בו יש לנו מטריצת מתאם או שונות משותפת שמתארת נתונים, השאלה היא אם קיימת סטייה משמעותית שיכולה להעיד על מידע משמעותי (אות) או שהמדגם כולו מבוסס על רעש אקראי בלבד. במילים אחרות, מטריצת השונות היא מהצורה <math display="block">\Sigma_{\ell} = diag \left (\ell_1^2, \ell_2^2,...,\ell_k^2,\sigma^2_e,...,\sigma^2_e \right)</math>והמטרה היא למצוא כי מדובר בערך העצמי ה <math>k</math>.

ה-BBP Transition (נקרא על שמם של החוקרים Baik, Ben Arous, ו-Péché שגילו אותו לראשונה בשנת 2005<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Jinho Baik, Gérard Ben Arous, Sandrine Péché|שם=Phase transition of the largest eigenvalue for nonnull complex sample covariance matrices|כתב עת=Ann. Probably|כרך=33(5)|שנת הוצאה=2005|עמ=1643-1697|doi=DOI: 10.1214/009117905000000233|קישור=https://projecteuclid.org/journals/annals-of-probability/volume-33/issue-5/Phase-transition-of-the-largest-eigenvalue-for-nonnull-complex-sample/10.1214/009117905000000233.full}}</ref> ) מתאר את הנקודה שבה האות נהיה חזק דיו כדי לגרום לערך העצמי הגדול ביותר לחרוג ממשטר של רעש אקראי. נקודה זו נקראת "spike",זהו מעבר חד (כמו "מעבר פאזה" בפיזיקה, שבו המערכת עוברת ממשטר אחד לאחר).

נציין, כי במצב כזה המטריצה <math>S = XX^T \in W_p(n,\Sigma), \Sigma\neq I</math> אינה מקיימת <math display="inline">\frac{\lambda_{\max}(W_n) - \mu_{np}}{\sigma_{np}} \xrightarrow{d} F_{1}</math>. מחקרים שונים פתרו את הבעיה למקרים פרטיים שונים. למשל, במקרה "הפשוט" בו <math>\sigma_e^2=1</math> מתקיים <math display="block">n^{2/3}\frac{ \hat{\ell_1} - \mu}{\sigma} \longrightarrow F_2</math> עבור <math>1 \leq \hat{\ell_1} < 1+\sqrt{\gamma}, p/n \to\gamma </math>. במצב כזה ניתן למשל לפתח את <math>\mathfrak{L}(\ell_k | n,p,\Sigma_{\ell})</math> – התפלגות של הערך העצמי ה-<math>k</math> בגודלו המתאים ל <math>XX^T</math> כאשר <math>X_{n \times p} \sim N_p (0,\Sigma_{\ell})</math>.

נשים לב כי הערך העצמי ה <math>k+1</math> במודל ה"ספייק" [[קטן סטוכסטית]] מהערך העצמי הגדול ביותר במודל עם <math>p-k</math> משתנים<ref>ראה טענה 1.2 ב[https://projecteuclid.org/journals/annals-of-statistics/volume-29/issue-2/On-the-distribution-of-the-largest-eigenvalue-in-principal-components/10.1214/aos/1009210544.full רשימותיו של ג'ונסטון]. </ref>. ולכן נותר לבצע מבחן השערות (לא אסימפטוטי) <math display="block">H_0:\ell_{k+1} =1,\ H_1: else</math> באמצעות <math>\mathfrak{L}(\ell_1 | n,p-k,I_{p-k})</math> – התפלגות הערך העצמי הגדול ביותר לאחר ש"ניקינו" את <math>k</math> הערכים העצמיים הגודלים. אם כן, הערך העצמי ה <math>k+1</math> במטריצה החדשה בעל התפלגות טרייסי וידום, כלומר <math>\mathfrak{L}(\ell_1 | n,p-k,I_{p-k})</math> שקולה נומרית ל <math>F_1</math> על ידי<math display="block">\frac{\ell_{k+1}-\mu_{n,p-k}}{\sigma_{n,p-k}}\sim F_1</math>ומכאן ניתן לבצע את בדיקת ההשערות כפי שהוצגה לעיל.

== לקריאה נוספת ==
* מגבלות גבוליות: מסתבר כי הדיוק מסדר שני שהתקבל יחסית מדויק גם עבור <math>n,p</math> יחסית קטנים ואף שלא מקיימים את ההנחה <math>n/p \to \gamma\geq 1</math>. ג'ונסטון במאמרו<ref>ראו עמוד 13 ב-[[arxiv:math/0611589|High Dimensional Statistical Inference and Random Matrices]] על ידי Iain M. Johnstone</ref> בחן את דיוקו של הקירוב לצורכי חישוב מובהקות בעזרת טבלאות נומריות של התפלגות <math>W(n,I)</math><ref>{{צ-מאמר|מחבר=William W. Chen|שם=SOME NEW TABLES OF THE LARGEST ROOT OF A MATRIX IN MULTIVARIATE ANALYSIS: A COMPUTER APPROACH FROM 2 TO 6|כתב עת=American Statistical Association|שנת הוצאה=2002|קישור=chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://www.irs.gov/pub/irs-soi/chen.pdf}}</ref>.
* סימולציית קוד של התפלגות טרייסי-וידום ממשוואת פנלבה ב-[https://robertsweeneyblanco.github.io/Computational_Random_Matrix_Theory/Eigenvalues/Tracy_Widom.html Computational Random Matrix Theory].
* [[arxiv:cond-mat/0701193|רשימות הרצאה]] של Satya N. Majumdar על הופעתה של התפלגות טרייסי-וידום בשלל בעיות.

== ראו גם ==
* [[התפלגות חצי המעגל של ויגנר]]

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

{{התפלגות}}

[[קטגוריה:התפלגויות רציפות]]