הצגת המקור של הדף "התפלגות לוג-נורמלית"

{{נתוני התפלגות
|שם=התפלגות לוג נורמלית
|תמונת צפיפות=Lognormal distribution PDF.png
|תמונת מצטברת=Lognormal distribution CDF.png
|פרמטרים=<math>\ \mu</math>, <math>\ \sigma</math>.
|תומך= <math>\ (0,\infty)</math>
|צפיפות= <math>\frac1{x\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(\ln x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!</math>
|תוחלת=<math>\ e^{\mu+\sigma^2/2}</math>
|מצטברת=<math>\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{\ln x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!</math>
|חציון=<math>\ e^{\mu}</math>
|שכיח=<math>\ e^{\mu-\sigma^2}</math>
|שונות=<math>\ (e^{\sigma ^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2}</math>
|אנטרופיה=<math>\frac12 + \frac12 \ln(2\pi\sigma^2) + \mu</math>
|אופיינית=<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}</math> מתבדרת באופן אסימפטוטי, אך מספיקה לצרכים נומריים
|גבנוניות=<math>e^{4\sigma^2}\!\! + 2e^{3\sigma^2}\!\! + 3e^{2\sigma^2}\!\! - 6</math>
|צידוד=<math>(e^{\sigma^2}\!\!+2) \sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}</math>
}}
'''התפלגות לוג-נורמלית''' היא [[התפלגות]] של [[משתנה אקראי]], ש[[פונקציית צפיפות|פונקציית הצפיפות]] שלה היא <math>\frac1{x\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(\ln x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!</math> בתחום <math>\ x>0</math>. אם <math>\ X</math> הוא משתנה אקראי שמתפלג [[התפלגות נורמלית|נורמלית]], אז <math>\ e^X</math> מתפלג לוג-נורמלית, וההפך – אם <math>\ Y</math> הוא משתנה אקראי שמתפלג לוג-נורמלית, אז <math>\ \log(Y)</math> מתפלג נורמלית. בסיס הלוגריתם לא משנה - שכן לוגריתמים בבסיסים שונים קשורים בקשר ליניארי.

לפי [[משפט הגבול המרכזי]], מכפלה של מספר רב של משתנים חיוביים [[תלות (סטטיסטיקה)|בלתי תלויים]] ובעלי אותה התפלגות, מתפלגת בקירוב טוב, לוג-נורמלית. התפלגות כזו מופיעה כאשר הערך הנמדד נוצר על ידי הצטברות כפלית של גורמים רבים. לדוגמה, ה[[משקל (פיזיקה)|משקל]] ו[[לחץ דם|לחץ הדם]] של [[אדם|בני אדם]], מספר המילים במשפטים שכתב [[ג'ורג' ברנרד שו]], זמן השרידה של [[חיידקים]] בחומר [[חיטוי]], [[הנחתה (תקשורת)|הנחתה]] בתקשורת אלחוטית ועוד.

== מאפיינים ==
אם <math>\ X</math> הוא משתנה אקראי שמתפלג לוג נורמלית, אז:
* פונקציית הצפיפות של X היא <math>\ f_X(x; \mu,\sigma)=\frac1{x\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(\ln x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!</math> והיא מוגדרת רק על החצי החיובי של [[הישר הממשי]]. הפרמטרים <math>\ \mu,\sigma</math> הם ה[[תוחלת]] ו[[סטיית תקן|סטיית התקן]] של הלוגריתם הטבעי של המשתנה.
* [[פונקציית הצטברות|פונקציית ההצטברות]] היא <math>F_X(x;\mu,\sigma) = \frac12 \operatorname{erfc}\!\left[-\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right] = \Phi\bigg(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\bigg)</math>, כאשר erfc היא [[פונקציית השגיאה המשלימה]], ו-<math>\ \Phi</math> היא פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתנה [[התפלגות נורמלית|נורמלי סטנדרטי]].
* התוחלת והשונות הן:
*:<math> \mathrm{E}[X] = e^{\mu + \tfrac{1}{2}\sigma^2}</math>
*:<math> \mathrm{Var}[X] = (e^{\sigma^2} - 1) e^{2\mu + \sigma^2}</math>
* השכיח והחציון הם:
*:<math>\ \mathrm{Mode}[X] = e^{\mu - \sigma^2}</math>
*:<math>\ \mathrm{Med}[X] = e^{\mu}</math>
* המומנט ה-n-י נתון על ידי: <math>\operatorname{E}[X^n] = e^{n\mu + \tfrac{1}{2}n^2\sigma^2}</math>, ולכן ה[[פונקציה יוצרת מומנטים|פונקציה יוצרת המומנטים]] אינה מתכנסת פרט לנקודת הראשית. בהקשר זה, חשוב לציין כי התפלגות לוג-נורמלית אינה נקבעת באופן יחיד על ידי סדרת המומנטים שלה (<math>\ {E[X^n]}_{n=1}^{\infty}</math>).
* התוחלת החלקית של משתנה אקראי X המתפלג לוג-נורמלית ביחס לחסם תחתון k היא:
*: <math>g(k) = \int_k^\infty \!xf(x)\, dx = e^{\mu+\tfrac{1}{2}\sigma^2}\, \Phi\!\left(\frac{\mu+\sigma^2-\ln k}{\sigma}\right)</math>
*: לנוסחה זו שימושים בענפי הכלכלה והביטוח. כך למשל, היא משמשת בהוכחת הנוסחה של [[מודל בלק ושולס]].

== דוגמה ==
[[קובץ:Length dist he 200911 noyears2.png|ימין|ממוזער|425px|התפלגות אורכי הערכים בוויקיפדיה, אוקטובר 2009. הציר האופקי הוא ב[[סקאלה לוגריתמית]].]] 
בגרף מימין - התפלגות הלוגריתם (לפי בסיס 2) של אורכי הערכים ב[[וויקיפדיה העברית]], ב[[בית (תוכנה)|בתים]], לפי דגימת [[בסיס נתונים|בסיס הנתונים]] שנעשתה בסוף אוקטובר 2009. מן הנתונים נוכו כ-3500 "ערכי שנים" משני סוגים - שנים עבריות ושנים לועזיות - שרובם המכריע נוצרים על ידי [[בוט]] והם ערכים שבלוניים בעלי מאפיינים אחידים ([[לוגריתם]] האורך <math>\ 10.97\pm 0.43</math> בקבוצה אחת ו- <math>\ 11.61\pm 0.41</math> בשנייה) שאינם מתאימים להתפלגות הערכים האחרים (<math>\ 11.97 \pm 1.36</math>).

לנתונים [[צידוד (סטטיסטיקה)|צידוד]] <math>\ -0.105</math>, המצביע על נטיית-מה בין הנתונים הרחוקים מן הממוצע להיות נמוכים ממנו, ו[[גבנוניות (סטטיסטיקה)|גבנוניות]] <math>\ 0.87</math>, המצביעה על חריגות מן הממוצע, המתבטאות בזנבות עבים של ההתפלגות.

מלבד גורמים אלה, התפלגות הלוגריתם קרובה להתפלגות נורמלית: אורכם של ערכים בו[[ויקיפדיה העברית]] מתפלג, בקירוב, לוג-נורמלית.

== התפלגויות קשורות ==
* אם <math>\ X</math> מתפלג נורמלית עם <math>\ (\mu,\sigma^2)</math> אז <math>\ e^{X}</math> מתפלג לוג-נורמלית עם אותם פרמטרים.
* אם <math>\ X</math> מתפלג לוג-נורמלית עם <math>\ (\mu,\sigma^2)</math>, אז <math>\ \ln(X)</math> מתפלג נורמלית עם אותם פרמטרים.
* אם <math>X_i</math> הם משתנים אקראיים בלתי-תלויים המתפלגים לוג-נורמלית עם <math>(\mu_i, \sigma_i^2)</math> אז מכפלתם מתפלגת לוג-נורמלית עם <math>Y = \textstyle\prod_{j} X_j \sim \operatorname{Log-\mathcal{N}}\Big(\textstyle \sum_{j}\mu_j,\ \sum_{j} \sigma_j^2 \Big)</math>.
* אם X מתפלג לוג-נורמלית עם <math>\ (\mu,\sigma^2)</math> אז <math>\ Y=aX</math> מתפלג לוג-נורמלית עם <math>\ (\mu+ln(a),\sigma^2)</math>.
* אם X מתפלג לוג-נורמלית עם <math>\ (\mu,\sigma^2)</math> אז <math>\ X^r</math> מתפלג לוג-נורמלית עם <math>\ (r\mu,r^2\sigma^2)</math>. בפרט, <math>\ 1/X </math> מתפלג לוג-נורמלית עם <math>\ (-\mu,\sigma^2)</math>.

== קישורים חיצוניים ==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [http://mathworld.wolfram.com/LogNormalDistribution.html התפלגות לוג נורמלית] באתר [[MathWorld|mathworld]].
* {{MathWorld}}

{{התפלגות}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:התפלגויות רציפות|לוג נורמלית]]