הצגת המקור של הדף "התפלגות נורמלית"

{{נתוני התפלגות
| שם = התפלגות נורמלית
| תמונת צפיפות = Normal_Distribution_PDF.svg
| תמונת מצטברת = Normal_Distribution_CDF.svg
| פרמטרים = <math>\ \mu</math> ה[[תוחלת]], <math>\ \sigma</math> [[סטיית תקן|סטיית התקן]].
| תומך = <math>\ \Bbb{R}</math>
| סטיית תקן = <math>\ \sigma</math>
| צפיפות = <math>\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!</math>
| תוחלת = <math>\ \mu</math>
| מצטברת = <math>\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!</math>
| חציון = <math>\ \mu</math>
| שכיח = <math>\ \mu</math>
| שונות = <math>\ \sigma ^2</math>
| אנטרופיה = <math>\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!</math>
| מומנטים = <math>M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)</math>
| אופיינית = <math>\Phi_X(t)= \exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)</math>
| גבנוניות = <math>\ 0</math>
| צידוד = <math>\ 0</math>
}}
'''התפלגות נורמלית''' היא [[התפלגות]] חשובה ביותר ב[[סטטיסטיקה]] תאורטית וביישומיה בכל תחומי המדע. חשיבותה הרבה נובעת מ[[משפט הגבול המרכזי]], לפיו ה[[ממוצע]] של [[משתנה מקרי|משתנים]] [[תלות (סטטיסטיקה)|בלתי תלויים]] בעלי אותה התפלגות, לאחר תקנון מתאים, [[התכנסות (הסתברות)|מתכנס בהתפלגות]] אל ההתפלגות הנורמלית. לכן מופיעה התפלגות זו בכל מקום בו לוקחים ממוצע של משתנים רבים, כגון גובה ממוצע של אנשים באוכלוסייה, ממוצע טעויות מדידה מקריות במדידות חוזרות של אותו גודל, וכדומה. מדדים [[פסיכומטריה|פסיכומטריים]] שונים, כגון מבחן [[מנת משכל]], מתוכננים בכוונה תחילה להתפלג באופן נורמלי.

'''ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית''' (קרויה גם התפלגות Z) היא השימושית ביותר במשפחת ההתפלגויות הנורמליות.
על ידי מתיחה (כלומר, הכפלה בקבוע) והזזה (הוספת קבוע) של משתנה מקרי בעל התפלגות נורמלית סטנדרטית, מתקבלת משפחה כללית יותר של התפלגויות, שכל אחת מהן היא '''התפלגות נורמלית'''. זוהי דוגמה ל[[משפחה מעריכית]] של התפלגויות. בתוך המשפחה, אפשר לזהות התפלגות נורמלית מסוימת על-פי שני פרמטרים: ה[[תוחלת]] וה[[שונות]] שלה. להתפלגות הנורמלית הסטנדרטית יש תוחלת 0, ושונותה 1.

ההתפלגות הנורמלית נקראת גם '''גאוסיאן''' על שמו של [[קרל פרידריך גאוס]], וגם '''עקומת הפעמון''', משום שהגרף של [[פונקציית צפיפות|פונקציית הצפיפות]] שלה מזכיר בצורתו [[פעמון]].

== היסטוריה ==
המתמטיקאי [[אברהם דה מואבר]] הציג את ההתפלגות הנורמלית לראשונה בשנת [[1733]] בספרו "תורת הסיכויים" ("The Doctrine of Chances") כקירוב ל[[התפלגות בינומית|התפלגות הבינומית]] עבור מספר גדול של דגימות (מאמרו בעניין התגלה רק ב-[[1924]]). [[פייר-סימון לפלס|לפלס]] השתמש בעקומה הנורמלית לתאר "התפלגות של שגיאות" בשנת [[1783]].
את ההתפלגות הנורמלית כפי שאנחנו מכירים כיום הציג [[קרל פרידריך גאוס]] בספרו משנת [[1809]] "תורת התנועה של הגופים השמימיים הנעים סביב השמש בחתכים חרוטיים"{{הערה|במקור בלטינית: Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientium}}, שהכיל גם תרומות חשובות רבות אחרות למתמטיקה ואסטרונומיה. עבודתו של גאוס על ההתפלגות הנורמלית הניחה את הבסיס לפיתוח שיטות סטטיסטיות וממשיכה להיות בשימוש נרחב ונחקר כיום.

[[קרל פרידריך גאוס|גאוס]] השתמש בהתפלגות הנורמלית לניתוח מידע [[אסטרונומיה|אסטרונומי]] ב-[[1809]]{{הערה|{{קישור כללי|כתובת=http://www.stat.wvu.edu/srs/modules/normal/normal.html|הכותב=|כותרת=NORMAL DISTRIBUTION|אתר=אוניברסיטת ווסט וירג'יניה|תאריך=}}}}. המדען הבלגי [[אדולף קטלה]] הראה כי התפלגותם של משתנים רבים (כגון גובהו של אדם) היא נורמלית.

== מאפיינים מתמטיים ==
=== פונקציית הצפיפות ===
פונקציית הצפיפות של התפלגות נורמלית בעלת [[תוחלת]] <math>\mu</math> ו[[שונות]] <math>\sigma^2</math> היא :
: <math>
\begin{align}
f(x) & = \frac 1 {\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \\
& = \frac 1 {\sigma\sqrt{2\pi}} \exp \left({\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right)
\end{align}
</math>
זוהי פונקציה [[סימטריה|סימטרית]] סביב התוחלת, ובעלת שתי [[נקודת פיתול|נקודות פיתול]] במרחק [[סטיית תקן]] אחת מן ה[[ממוצע]], כלומר בנקודות <math>\ \mu \pm \sigma</math>. את העובדה ש[[משתנה מקרי]] <math> \ X</math> הוא בעל התפלגות כזו, מקובל לציין בסימון <math>X \sim N(\mu,\sigma^2)</math>.

במקרה המיוחד של '''ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית''' <math>X \sim N(0,1)</math>, מתקבלת הפונקציה
: <math>f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} </math>

=== פונקציית ההתפלגות המצטברת ===
פונקציית ההתפלגות המצטברת, או הסיכוי שמשתנה מקרי <math>\ X</math> יקבל ערך קטן או שווה ל-<math>\ x</math> נתון, שווה ל-
: <math>P(X \leq x) = \int_{-\infty}^xf(y)dy</math>

<!--אפשר להציג את האינטגרל בעזרת [[פונקציית שגיאה|פונקציית השגיאה]] על ידי <math>\Phi(x) = \frac{1}{2}\left(1+\mbox{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)</math>-->

כדי לחשב את ערכי פונקציית ההתפלגות המצטברת בעלת פרמטרים <math>\ (\mu,\sigma^2)</math> כלשהם, די בידיעת ערכיה של פונקציית ההתפלגות המצטברת הסטנדרטית, משום שאם <math>\ X\sim N(\mu,\sigma^2)</math> ניתן להגדיר משתנה מקרי חדש <math>\ Z=\frac{X-\mu}{\sigma}</math> ולגביו יתקיים <math>\ Z\sim N(0,1)</math>. לכן, מתקיים:
: <math>\ P(X\le x)=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)</math>
<math>\ \Phi(x)</math> - מסמל את פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתנה נורמלי סטנדרטי.

בשל תכונות הסימטריה של ההתפלגות הנורמלית, בדרך כלל לא נתונים ערכיה השליליים של ההתפלגות הסטנדרטית בטבלאות המשמשות למציאתה. כדי למצוא אותם משתמשים בזהות: <math>\ \Phi(-x)=1-\Phi(x)</math>.

הפונקציה <math>\ \Phi(x)</math> איננה [[פונקציה אלמנטרית]] (כלומר, היא אינה מתקבלת מהרכבה סופית של [[פולינום|פולינומים]], פונקציית ה[[אקספוננט]] ו[[פונקציות טריגונומטריות|הפונקציות הטריגונומטריות]], והפונקציות ההפוכות להם). משום כך, כמעט כל ספר העוסק ב[[בדיקת השערות|מבחנים סטטיסטיים]] כולל גם טבלה המכילה את הערכים המקורבים להתפלגות הנורמלית הסטנדרטית, שחושבו בשיטות נומריות. הקירוב הבא שימושי למדי כאשר z גדול:
: <math>
\ 1-\Phi(z) = \int_{z}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} dx \approx \frac{1}{z+1/2}e^{-z^2/2}
</math>

== תכונות ההתפלגות ==
[[קובץ:Boxplot vs PDF.svg|ממוזער|חלוקה של ההתפלגות הנורמלית לפי רבעונים, אחוזונים וסטיות תקן]]
* ההתפלגות מתפרשת על פני כל [[הישר הממשי]].
* ההתפלגות היא [[סימטריה|סימטרית]] וחד-שיאית (יונימודלית).
* ה[[תוחלת]], ה[[חציון]] וה[[שכיח]] מתלכדים בציר הסימטריה.
* אם נתון משתנה מקרי <math>X \sim N(\mu, \sigma^2)</math> ו- <math>\ a, b</math> מספרים ממשיים, אזי: <math>aX + b \sim N(a\mu+b,\, a^2\sigma^2)</math>.
* אם <math>X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)</math> ו- <math>Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y)</math> משתנים מקריים, בלתי תלויים, אז סכומם מתפלג נורמלית עם הפרמטרים <math>U = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)</math> או <math>U = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)</math>.
* אם X,Y משתנים נורמליים סטנדרטיים ובלתי תלויים, אז הצירופים הליניאריים <math>\ aX+bY, cX+dY</math> בלתי-תלויים [[אם ורק אם]] וקטורי המקדמים [[וקטורים אורתוגונליים|מאונכים]], כלומר <math>\ ac+bd=0</math>.
* פיזור ערכי ההתפלגות - [[החוק האמפירי]]: 68.26% מן הערכים נמצאים במרחק של לא יותר מ[[ציון תקן]] אחד מהממוצע (ציר הסימטריה). במרחק של עד שני ציוני תקן (z=2) נמצאים 95.44% מהערכים ובמרחק עד שלושה ציוני תקן נמצאים 99.74% מהערכים - רק ב-0.26% יהיה ציון התקן גבוה מ-3.
* גרף ההתפלגות נודע גם בשם "גרף פעמון" או "פעמון גאוס", שכן כאשר הוא משורטט בתור גרף המציין את מספר הערכים בכל תחום, מקבלת העקומה צורה דמוית פעמון - גבוהה במרכזה ונמוכה בשני צדדיה. צורת הפעמון מוכתבת על ידי הממוצע וסטיית התקן של ההתפלגות.
[[קובץ:Standard deviation diagram.svg|מרכז|ממוזער|350px|אחוזי ההתפלגות הנורמלית מסביב לממוצע (ציר הסימטריה) לפי סטיות תקן]]

==סימולציה של משתנים המתפלגים נורמלית==
הצורך ליצור נתונים שהתפלגותם היא בקירוב התפלגות נורמלית עולה בתחומים רבים. ב[[שפות תכנות]] רבות קיים [[מחולל פסבדו אקראי]] המייצר משתנים המתפלגים, בקירוב, [[התפלגות אחידה רציפה|התפלגות אחידה]] על ה[[קטע]] <math>\ [0,1]</math>, ולכן דרושה שיטה להפוך את המשתנה המקרי האחיד למשתנה המתפלג התפלגות נורמלית סטנדרטית. ישנן מספר דרכים לעשות זאת:
::"לאורך כל הדוגמאות המובאות בפסקה זו <math>\ X</math> יסמן משתנה מקרי המתפלג אחיד על קטע היחידה."
* דרך אינטואיטיבית (אך לא יעילה) ליצור משתנה מקרי המתפלג נורמלית '''בקירוב''' היא על ידי שימוש ב[[משפט הגבול המרכזי]] הקובע כי סכום של מספר גדול של משתנים מקריים אחידים שואף להתפלגות נורמלית. על מנת ליצור התפלגות נורמלית סטנדרטית יש לדאוג ש[[תוחלת]] הסכום תהיה שווה לאפס ו[[סטיית תקן|סטיית התקן]] לאחת. לכן, המשתנה המקרי
<math display="block">Y=\sqrt\frac{12}{N}\left(X_1+X_2+\dots+X_N-\frac{N}{2}\right)</math>
:מתפלג בקירוב התפלגות נורמלית סטנדרטית, וככל שמספר המחוברים גדל, כך גדל הדיוק.
* שיטה כללית יותר, ומדויקת מבחינה מתמטית מתקבלת על ידי הפיכת [[פונקציית ההסתברות המצטברת]]. באופן כללי, אם <math>\ F</math> היא פונקציית ההסתברות המצטברת של התפלגות נתונה, אז <math>\ F^{-1}(X)</math> מתפלג בהתפלגות זו. לכן,
<math display="block">\ Y=\mbox{erf}^{-1}(2X-1)</math>
:מתפלג נורמלית, כאשר <math>\ \mbox{erf}</math> היא [[פונקציית השגיאה]]. על מנת להשתמש בשיטה זו יש לדעת לחשב את פונקציית השגיאה, שהיא אינה [[פונקציה אלמנטרית]].
* שיטה יעילה יותר שגם היא מדויקת מבחינה מתמטית נקראת [[טרנספורמציית בוקס-מולר]]. טרנספורמציה זו משתמשת בעובדה ש[[התפלגות כי בריבוע]] עם שתי [[דרגות חופש (סטטיסטיקה)|דרגות חופש]] היא [[התפלגות מעריכית]], וקיימת נוסחה מדויקת להפיכת משתנה מקרי אחיד למשתנה המתפלג מעריכית. טרנספורמציית בוקס-מולר לוקחת שני משתנים מקריים אחידים <math>\ X_1, X_2</math> ומחזירה שני משתנים מקריים בלתי תלויים <math>\ Y_1 ,Y_2</math> המתפלגים נורמלית על ידי הנוסחה
<math display="block">\begin{align}Y_1 &=& \sqrt{- 2 \ln X_1} \, \cos(2 \pi X_2)\\Y_2 &=& \sqrt{- 2 \ln X_1} \, \sin(2 \pi X_2) \end{align}</math>

== מבחני נורמליות ==
מבחני נורמליות מעריכים את הסבירות שאוסף נתונים {''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub>n</sub>''} מגיע מהתפלגות נורמלית. בדרך כלל [[בדיקת השערות|השערת האפס]] ''H''<sub>0</sub> היא שהתצפיות מתפלגות נורמלית עם ממוצע כלשהו ''μ'' ושונות ''σ''<sup>2</sup>, מול ההשערה החלופית ''H<sub>a</sub>'' שההתפלגות היא שרירותית. מבחנים רבים (מעל 40) הומצאו לבעיה זו, להלן הבולטים שבהם:
* '''בדיקות חזותיות''' יותר מושכות מבחינה אינטואיטיבית, אבל בו בזמן הן [[סובייקטיביות]] מכיוון שנסמכות על שיפוט אנושי בלתי פורמלי על מנת לקבל או לדחות את [[השערת האפס]].
** '''תרשים צפיפות אמפירי''' - בדיקת ההיסטוגרמה או תרשים הצפיפות לראות האם התפלגות נראית נורמלית.
** '''[[תרשים Q-Q]]''' של הערכים הממוינים של אוסף הנתונים כנגד הערכים הצפויים של השברונים המתאימים מההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית. זהו תרשים של נקודות מהצורה (Φ<sup>−1</sup>(''p<sub>k</sub>''), ''x''<sub>(''k'')</sub>) כאשר ''p<sub>k</sub>'' = (''k'' − ''α'')/(''n'' + 1 − 2''α'') ו-''α'' הוא קבוע ההתאמה, שיכול לקבל כל ערך בין 0 ל-1. אם השערת האפס נכונה, נקודות התרשים אמורות להיות בערך על הקו הישר.
** '''תרשים P-P''' דומה לתרשים ה-Q-Q אבל בשימוש נדיר הרבה יותר. בשיטה זו מייצגים בתרשים את הנקודות (Φ(''z''<sub>(''k'')</sub>), ''p<sub>k</sub>'') כאשר <math>\scriptstyle z_{(k)} = (x_{(k)}-\hat\mu)/\hat\sigma</math>. בשביל הנתונים המתפלגים נורמלית, תרשים זה אמור להיות בערך על הקו הליניארי שבין (0,0) ובין (1,1).
** '''מבחן שפירו-ווילק''' משתמש בעובדה שלקו בתרשים Q-Q יש שיפוע ''σ''. המבחן משווה את הערכת הריבועים הפחותים של השיפוע עם ערך השונות המדגמית, ודוחה את השערת האפס אם שני הערכים האלה שונים משמעותית.
* '''מבחני מומנט'''
** מבחן K-ריבועי של ד'אגוסטינו
** מבחן ז'רקה- ברה.
* '''מבחני פונקציית התפלגות אמפירית'''
** מבחן ליליאפורס (אדפטציה של מבחן קולמוגורוב-סמירנוב).
** מבחן אנדרסון-דרלינג

==התפלגות רב-נורמלית==
{{הפניה לערך מורחב|התפלגות רב-נורמלית}}
ההכללה הנכונה של התפלגות נורמלית לווקטור [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] היא זאת: אומרים ש-<math>\bar{X} = (X_1,\dots,X_n)</math> מתפלג '''[[התפלגות רב-נורמלית|רב-נורמלית]]''' (או '''גאוסיאנית''') אם כל [[צירוף ליניארי]] שלו מתפלג נורמלית (חד-ממדי), כלומר <math>\langle \bar{A}, \bar{X}\rangle = a_1X_1 +\dots +a_nX_n \sim N(\mu,\sigma^2)</math>. זה קורה אם ורק אם ה[[פונקציה אופיינית (הסתברות)|פונקציה האופיינית]] של המשתנה היא <math>\varphi_X(\bar{a}) = e^{i\langle \bar{\mu},\bar{a} \rangle - \frac{1}{2}\bar{a} V \bar{a}^t}</math>, כאשר <math>V</math> היא מטריצת ה[[שונות משותפת|שונויות המשותפות]]. היות שהמטריצה הזו סימטרית, אפשר [[מטריצה לכסינה|ללכסן]] אותה אורתוגונלית. המטריצה האלכסונית <math>\Lambda</math> המתקבלת קובעת את '''סינגולריות''' המשתנה - אומרים שהוא רגולרי אם ורק אם אין [[ערך עצמי|ערכים עצמיים]] לא אפס, והיותו של המשתנה רגולרי שקולה לכך שיש לו [[פונקציית צפיפות]] (ביחס ל[[מידת לבג]]).

למשתנים מקריים רב-נורמליים מספר יישומים בתורת ההסתברות וסטטיסטיקה, כמו בקביעת התפלגות של [[ממוצע]] ו[[סטיית תקן]] של מדגם נרחב של משתנים מקריים נורמליים.

<!-- לא רלוונטי בערך הזה:
== שימושים ==
'''ההתפלגות הנורמלית''' נוטה להופיע בתחומי מחקר רבים של מדעי הטבע והחברה ונחשבת התפלגות "טבעית".
התפלגות נורמלית מתארת במקרים רבים התפלגות תכונות ב[[אוכלוסייה]] גדולה, כגון [[מנת משכל]] במבחני איי קיו, התפלגות של גובה, משקל וכדומה.

=== התפלגות מנת משכל ===
אם לוקחים את מקרה התפלגות מנת המשכל כפי שבאה לידי ביטוי בגרף, הרי שרוב הנבחנים בעלי מנת המשכל הנורמלית (לפחות אליבא דמבחני המשכל), יהיו מרוכזים בחלק המרכזי של הגרף. לכוון צידו השמאלי תהיה גלישה לכיוון של בעלי מנת המשכל הקטנה (מה שמכונה "רפי שכל" עד בעלי פיגור שכלי) ולכוון צידו הימני תהיה גלישה לכוון של בעלי מנת המשכל הגבוהה. מקובל לראות ב-70% מהאוכלוסייה, אוכלוסייה בעלת מנת משכל נורמלית.
-->
{{-}}

== ראו גם ==
{{מיזמים|ויקיספר=הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים רציפים/התפלגות נורמלית}}
* [[משפט הגבול המרכזי]]
* [[אינטגרל גאוסיאני]]
* [[התפלגות רב-נורמלית]]
* [[התפלגות תת-גאוסית]]
* [[משפט הרשל-מקסוול]]

== קישורים חיצוניים ==
* [http://davidmlane.com/hyperstat/z_table.html מחשבון ערכי התפלגות נורמלית]
* {{יוטיוב|N-uKQntadfQ|שם=הסבר חישוב התפלגות נורמלית במחשבון casio 991EX}}
* {{דוידסון|ארז גרטי|התפלגות נורמלית|tikshuv/math_and_comp/התפלגות-נורמלית|5 בנובמבר 2011}}
* [https://web.archive.org/web/20170817123153/http://icalc.co.il/index.php/2013-11-07-05-29-34/מחשבונים-מתמטיים-וסטטיסטיים/מחשבונים-סטטיסטיים/מחשבון-התפלגות-נורמלית-סטנדרטית.html מחשבון התפלגות נורמלית סטנדרטית בעברית]
* {{נסיכת המדעים|179|למי צלצל הפעמון?}}
* {{נסיכת המדעים|1877|ההיסטוריה של ההתפלגות הנורמלית}}
* {{לא מדויק|2025/01/31/normal_distribution_1|מה הקטע עם התפלגות נורמלית? (חלק א': שלוש היסטוגרמות למלכי ההתפלגות במרומם, ועקומה אחת למשול בם ולקשרם)}}
* {{בריטניקה}}
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{התפלגות}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:התפלגויות רציפות|נורמלית]]
[[קטגוריה:קרל פרידריך גאוס]]