הצגת המקור של הדף "התפלגות נורמלית מוכללת"

{{נתוני התפלגות
| שם = התפלגות נורמלית מוכללת
| תמונת צפיפות = Generalized normal densities.svg
| תמונת מצטברת = Generalized normal cdfs.svg
| תומך = <math>x \in (-\infty; +\infty)\!</math>
| צפיפות = <math>\frac{\beta}{2\alpha\Gamma(1/\beta)} \;
 e^{-(|x-\mu|/\alpha)^\beta}</math><br/>
 כאשר <math>\Gamma</math> מייצג את [[פונקציית גמא]]
| מצטברת = <math>\frac{1}{2} + \text{sign}(x - \mu) \frac{1}{2\Gamma( 1/\beta ) } \gamma \left(1/\beta \left| \frac{x - \mu}{\alpha} \right|^\beta \right)</math>
כאשר <math>\beta</math> הוא פרמטר הצורה, <math>\alpha</math> הוא פרמטר הסקאלה ו<math>\gamma</math> מייצג את [[פונקציית גמא הלא שלמה|פונקציית גמא הלא שלמה התחתונה]].
| תוחלת = <math> \mu \,</math>
| סטיית תקן =
| חציון = <math> \mu \,</math>
| שכיח = <math> \mu \,</math>
| שונות = <math>\frac{\alpha^2\Gamma(3/\beta)}{\Gamma(1/\beta)}</math>
| אנטרופיה = <math> \frac{ 1 }{ \beta} </math>
| מומנטים =
| אופיינית =
| צידוד = 0
| גבנוניות =<math>\frac{\Gamma(5/\beta) \Gamma(1/\beta)}{\Gamma(3/\beta)^2} -3 </math>
}}
'''ההתפלגות הנורמלית המוכללת''' ('''GND'''; מכונה גם '''התפלגות גאוסיינית המוכללת''' – '''GGD''') כוללת שתי משפחות של [[התפלגות|התפלגויות הסתברות רציפות]] על הישר ה[[מספר ממשי|ממשי]]. בשתי המשפחות מתווסף פרמטר צורה [[התפלגות נורמלית|להתפלגות הנורמלית]]. באחת מהן מתווסף פרמטר סקלה, ופונקציית הצפיפות סימטרית. באחרת, מתווסף פרמטר צידוד, ופונקציית הצפיפות של התפלגויות במשפחה זו אינו בהכרח וסימטרית.

בערך זה נתייחס ל'''התפלגות הנורמלית המוכללת הסימטרית'''

'''ההתפלגות הנורמלית המוכללת הסימטרית''', המכונה גם '''התפלגות חזקה מעריכית''', היא משפחה פרמטרית של התפלגויות סימטריות. המשפחה כוללת את ההתפלגויות [[התפלגות נורמלית|הנורמלית]] [[התפלגות לפלס]], וכמקרה גבולי את כל [[התפלגות אחידה רציפה|ההתפלגויות האחידות הרציפות]] באינטרוולים חסומים על [[הישר הממשי]].

משפחה זו כוללת את [[התפלגות נורמלית|ההתפלגות הנורמלית]] כאשר <math>\textstyle\beta=2</math> (עם תוחלת <math>\textstyle\mu</math> ושונות <math>\textstyle \frac{\alpha^2}{2}</math>) ואת [[התפלגות לפלס]] כאשר <math>\textstyle\beta=1</math>. כאשר <math>\textstyle\beta\rightarrow\infty</math>, הצפיפות [[התכנסות נקודתית|מתכנסת נקודתית]] לצפיפות אחידה בקטע <math>\textstyle (\mu-\alpha,\mu+\alpha)</math> .

משפחה זו מאפשרת [[התפלגות זנב עבה|זנבות עבים]] מהזה של ההתפלגות הנורמלית (כאשר <math>\beta<2</math> ) או דקים יותר (כאשר <math>\beta>2</math> ). זוהי דרך שימושית לאפיין רצף של צפיפויות [[גבנוניות (סטטיסטיקה)|פלטיקורטיות]] סימטריות, שלהן שייכת מההתפלגות הנורמלית (<math>\textstyle\beta=2</math>) לצפיפות אחידה (<math>\textstyle\beta=\infty</math>), ורצף של צפיפויות סימטריות, [[גבנוניות (סטטיסטיקה)|לפטוקורטיות]] הנפרשות מהתפלגות לפלס ( <math>\textstyle\beta=1</math> ) לצפיפות הרגילה ( <math>\textstyle\beta=2</math> ). פרמטר הצורה <math>\beta</math> שולט גם על ערך השכיח בנוסף לזנבות.

=== הערכת פרמטרים ===
חקרו גישות של אומדן פרמטרים באמצעות [[נראות מקסימלית]] ושיטת [[שיטת המומנטים|המומנטים]].<ref>{{Cite journal|last=Varanasi|first=M.K.|last2=Aazhang, B.|date=October 1989|title=Parametric generalized Gaussian density estimation|journal=Journal of the Acoustical Society of America|volume=86|issue=4|pages=1404-1415|bibcode=1989ASAJ...86.1404V|doi=10.1121/1.398700}}</ref> אין נוסחה סגורה לאומדנים ויש לחשב אותם נומרית. הוצעו גם אומדנים שאינם דורשים חישוב נומרי.<ref>{{Cite web|last=Domínguez-Molina|first=J. Armando|last2=González-Farías, Graciela|last3=Rodríguez-Dagnino, Ramón M.|title=A practical procedure to estimate the shape parameter in the generalized Gaussian distribution|url=http://www.cimat.mx/reportes/enlinea/I-01-18_eng.pdf|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20070928061844/http://www.cimat.mx/reportes/enlinea/I-01-18_eng.pdf|archive-date=2007-09-28|access-date=2009-03-03}}</ref>

לפונקציית הנראות של ההתפלגות הנורמלית המוכללת אינסוף נגזרות רציפות (כלומר היא שייכת למחלקה<math>C^\infty</math> של [[פונקציה חלקה|פונקציות חלקות]]) רק אם <math>\textstyle\beta</math> הוא [[מספרים חיוביים ושליליים|מספר חיובי]]. אחרת, לפונקציה יש <math>\textstyle\lfloor \beta \rfloor</math> נגזרות רציפות. כתוצאה מכך, התוצאות הסטנדרטיות לעקביות ולנורמליות אסימפטוטית של אומדני [[נראות מקסימלית]] של <math>\beta</math> חל רק עבור <math>\textstyle\beta\ge 2</math>.

==== אומד נראות מקסימלית ====
ניתן להתאים את ההתפלגות הנורמלית המוכללת באמצעות שיטת נראו[[נראות מקסימלית|ת מקסימלית]] מקורבת.<ref>{{Cite journal|last=Varanasi|first=M.K.|last2=Aazhang B.|year=1989|title=Parametric generalized Gaussian density estimation|journal=J. Acoust. Soc. Am.|volume=86|issue=4|pages=1404-1415|bibcode=1989ASAJ...86.1404V|doi=10.1121/1.398700}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Do|first=M.N.|last2=Vetterli, M.|date=February 2002|title=Wavelet-based Texture Retrieval Using Generalised Gaussian Density and Kullback-Leibler Distance|url=http://infoscience.epfl.ch/record/33839|journal=IEEE Transactions on Image Processing|volume=11|issue=2|pages=146-158|bibcode=2002ITIP...11..146D|doi=10.1109/83.982822|pmid=18244620}}</ref> <math>\mu</math> מאותחל למומנט הראשון של המדגם <math>m_1</math>, ו-<math>\textstyle\beta</math> מוערך על ידי שימוש בתהליך איטרטיבי [[שיטת ניוטון-רפסון|של ניוטון-רפסון]], gם אתחול <math>\textstyle\beta=\textstyle\beta_0</math>,

: <math>\beta _0 = \frac{m_1}{\sqrt{m_2}},</math>

כאשר

: <math>m_1={1 \over N} \sum_{i=1}^N |x_i|,</math>

הוא [[מומנט (הסתברות)|מומנט]] הראשון של הערכים המוחלטים ו <math>m_2</math> הוא המומנט השני. האיטרציה היא

: <math>\beta_{i+1} = \beta_{i} - \frac{g(\beta _{i})}{g'(\beta_{i})} ,</math>

כאשר

: <math>g(\beta)= 1 + \frac{\psi(1/\beta)}{\beta} - \frac{\sum_{i=1}^{N} |x_i-\mu|^\beta \log|x_i-\mu| }{\sum_{i=1}^{N} |x_i-\mu|^\beta} + \frac{\log( \frac{\beta}{N} \sum_{i=1}^{N} |x_i-\mu|^\beta)}{\beta} ,</math>

ו

: <math>
\begin{align}
g'(\beta) = {} & -\frac{\psi(1/\beta)}{\beta^2} - \frac{\psi'(1/\beta)}{\beta^3} + \frac{1}{\beta^2} - \frac{\sum_{i=1}^N |x_i-\mu|^\beta (\log|x_i-\mu|)^2}{\sum_{i=1}^N |x_i-\mu|^\beta} \\[6pt]
& {} + \frac{\left(\sum_{i=1}^N |x_i-\mu|^\beta \log|x_i-\mu|\right)^2}{\left(\sum_{i=1}^N |x_i-\mu|^\beta \right)^2} + \frac{\sum_{i=1}^N |x_i-\mu|^\beta \log|x_i-\mu|}{\beta \sum_{i=1}^N |x_i-\mu|^\beta} \\[6pt]
& {} - \frac{\log\left(\frac{\beta}{N} \sum_{i=1}^N |x_i-\mu|^\beta \right)}{\beta^2},
\end{align}
</math>

וכאשר <math>\psi</math> ו <math>\psi'</math> הם [[פונקציית דיגמא|פונקציית הדיגמה]] ו[[פונקציית טריגמא|פונקציית הטריגמא]].

בהינתן ערך של <math>\textstyle\beta</math>, אפשר לאמוד את <math>\mu</math> על ידי מציאת המינימום של

: <math> \min_\mu = \sum_{i=1}^{N} |x_i-\mu|^\beta</math>

לבסוֹף אומדים את <math>\textstyle\alpha</math> על ידי

: <math>\alpha = \left( \frac{\beta}{N} \sum_{i=1}^N|x_i-\mu|^\beta\right)^{1/\beta} .</math>

עֲבוּר <math>\beta \leq 1</math>, חציון הוא אומדן מתאים יותר של <math>\mu</math> . כאשר יש אומדן ל <math>\mu</math>, ניתן לאמוד את <math>\beta</math> ו <math>\alpha</math> כמתואר לעיל.<ref>{{Cite journal|last=Varanasi|first=Mahesh K.|last2=Aazhang|first2=Behnaam|date=1989-10-01|title=Parametric generalized Gaussian density estimation|journal=The Journal of the Acoustical Society of America|volume=86|issue=4|pages=1404–1415|bibcode=1989ASAJ...86.1404V|doi=10.1121/1.398700|issn=0001-4966}}</ref>

=== יישומים ===
ההתפלגות הנורמלית המוכללת הסימטרית שימושית במודלים שבהם יש חשיבות לריכוז הערכים סביב הממוצע והתנהגות הזנב.<ref>
{{Cite journal|last=Liang|first=Faming|last2=Liu, Chuanhai|last3=Wang, Naisyin|date=April 2007|title=A robust sequential Bayesian method for identification of differentially expressed genes|url=http://www3.stat.sinica.edu.tw/statistica/password.asp?vol=17&num=2&art=8|journal=Statistica Sinica|volume=17|issue=2|pages=571-597|archive-url=https://web.archive.org/web/20071009233343/http://www3.stat.sinica.edu.tw/statistica/password.asp?vol=17&num=2&art=8|archive-date=2007-10-09|access-date=2009-03-03}}</ref><ref>
{{Cite book|last=Box|first=George E. P.|title=Bayesian Inference in Statistical Analysis|last2=Tiao, George C.|publisher=Wiley|year=1992|isbn=978-0-471-57428-6|location=New York}}</ref> ניתן להשתמש במשפחות התפלגויות אחרות אם ההתמקדות היא בסטיות אחרות מהנורמליות. אם חשוב לבדוק את הסימטריה של ההתפלגות, ניתן להשתמש במשפחה הנורמלית המוכללת הלא סימטרית. אם התנהגות הזנב היא העניין העיקרי, ניתן להשתמש במשפחת [[התפלגות t]], שמתכנס להתפלגות הנורמלית כאשר מספר דרגות החופש [[אינסוף|שואף לאינסוף]]. להתפלגות t, שלא כמו התפלגות נורמלית מוכללת, זנב עבה יותר מבלי לייצר חוד בראשית הצירים.

=== מאפיינים ===
==== מומנטים ====
יהי <math> X_\beta </math> משתנה מקרים בעל התפלגות נורמלית מוכללת עם תוחלת אפס, פרמטר צורה <math> \beta </math> ופרמטר קנה מידה <math> \alpha </math>. המומנטים של <math> X_\beta </math> קיימים וסופיים עבור כל k גדול מ-1. עבור כל [[מספר שלם]] אי-שלילי, המומנטים המרכזיים הם

: <math>
 \operatorname{E}\left[X^k_\beta\right] =
 \begin{cases}
 0 & \text{if }k\text{ is odd,} \\
 \alpha^{k} \Gamma \left( \frac{k+1}{\beta} \right) \Big/ \, \Gamma \left( \frac{1}{\beta} \right) & \text{if }k\text{ is even.}
 \end{cases}
 </math>

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:התפלגויות רציפות]]