הצגת המקור של הדף "התפלגות פרמי-דיראק"

[[קובץ:FD e mu.jpg|ממוזער|250px|התפלגות פרמי-דיראק משורטטת עבור טמפרטורות שונות. ככל שהטמפרטורה נמוכה יותר כך ההתפלגות קרובה יותר ל[[פונקציית מדרגה]].]]
'''התפלגות פרמי-דיראק''' (או '''סטטיסטיקת פרמי-דיראק''') היא [[התפלגות|פונקציית התפלגות]] סטטיסטית בעזרתה ניתן לתאר תכונות של חלקיקים [[פרמיון|פרמיונים]] זהים חסרי [[אינטראקציה]]. 
ההתפלגות קרויה על שם הפיזיקאים [[אנריקו פרמי]] ו[[פול דיראק]].

== הגדרה ==
באופן מפורש, האכלוס הממוצע של רמת [[אנרגיה]] מסוימת במערכת של פרמיונים זהים הנמצאת ב[[שיווי משקל תרמודינמי]] נתון על ידי הפונקציה הבאה:

<math display="block"> n_{FD}(\epsilon) = \frac{1}{e^{(\epsilon-\mu) / k_B T} + 1} </math>
כאשר:
* <math> \ n_{FD} </math> הוא המספר ה[[ממוצע]] של חלקיקים שימצאו במצב (או לחלופין ההסתברות למציאת [[חלקיק]] במצב).
* <math>\ \epsilon</math> היא האנרגיה של מצב זה.
* <math>\ \mu</math> הוא [[פוטנציאל כימי|הפוטנציאל הכימי]].
* <math>\ T</math> היא ה[[טמפרטורה]].
* <math> \ k_B</math> הוא [[קבוע בולצמן]].

בעזרת [[פונקציה]] זו, ובעזרת [[צפיפות המצבים|צפיפות מצבים]] <math>\ g(\epsilon)</math>, ניתן לחשב תכונות [[תרמודינמיקה|תרמודינמיות]] שונות של המערכת. לדוגמה, האנרגיה הממוצעת נתונה על ידי:
<math display="block">\ U = \int \epsilon g(\epsilon) n_{FD}(\epsilon) d\epsilon </math>
== פיתוח ==
את התפלגות פרמי-דיראק ניתן לקבל בקלות על ידי שימוש ב[[צבר (מכניקה סטטיסטית)|צבר הגרנד קנוני]].
במסגרת צבר זה, ההסתברות למציאת מערכת במצב i עם <math>\ N_i </math> חלקיקים ואנרגיה כוללת <math>\ E_i</math> נתונה על ידי 
<math> P_i = \frac{1}{\mathcal{Z}}e^{- \frac{(E_i-\mu N_i)}{k_BT}}</math>, כאשר <math>\mathcal{Z}=\sum_{i}e^{- \frac{(E_i-\mu N_i)}{k_BT}}</math> היא [[פונקציית החלוקה (פיזיקה)|פונקציית החלוקה]] הגרנד-קנונית.

ניקח כמערכת [[רמת אנרגיה]] (חד-חלקיקית) מסוימת <math>\epsilon</math>. אם אין אינטראקציה בין החלקיקים <math>\ E_i = n\epsilon</math> כאשר <math>\ n=N_i </math> הוא מספר החלקיקים הנמצאים ברמה זו. אם מדובר בפרמיונים, בגלל [[עקרון האיסור של פאולי]] ייתכן רק <math>\ n=0,1</math>. פונקציית החלוקה במקרה זה תהיה <math>\mathcal{Z}=1+e^{-\frac{(\epsilon-\mu)}{k_BT}}</math>. מכאן ניתן לקבל את מספר החלקיקים הממוצע על ידי שימוש
ב<math> \lang n \rang = \sum_{n} n P(n) </math>, או על ידי <math> \lang n \rang = -\frac{\partial\Omega}{\partial\mu}</math> כאשר <math>\Omega = -k_B T\ln\mathcal{Z} </math>.

== תכונות ההתפלגות ==
* מתקיים <math>\ n_{FD}(\epsilon) \leq 1 </math> . דבר זה מבטא את [[עקרון האיסור של פאולי]] - שני פרמיונים זהים לא יכולים להיות באותו מצב. בפרט המספר הממוצע של פרמיונים בכל מצב קטן (או שווה) מאחד.

* בגבול של טמפרטורה נמוכה ( <math>\ T \to 0</math>) התפלגות פרמי-דיראק שואפת לפונקציית מדרגה, בה כל הרמות בעלות אנרגיה <math>\ \epsilon < \mu=\epsilon_F</math> מאוכלסות, ואילו כל הרמות בעלות אנרגיה <math>\ \epsilon > \mu=\epsilon_F</math> אינן מאוכלסות. האנרגיה המקסימלית של המצבים המאוכלסים מסומנת <math>\ \epsilon_F</math> ונקראת '''[[אנרגיית פרמי]]'''.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{בריטניקה}}

{{התפלגות}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:התפלגויות רציפות|פרמי-דיראק]]
[[קטגוריה:פיזיקה סטטיסטית]]