הצגת המקור של הדף "התפלגות צמודה"

ב[[הסתברות בייסיאנית]], אם ההתפלגות הפוסטריורית שייכת לאותה משפחת התפלגויות כמו ההתפלגות הפריורית אז שתי ההתפלגויות הן צמודות זו לזו וההתפלגות הפריורית נקראת התפלגות צמודה ביחס ל[[פונקציית נראות|פונקציית הנראות]].

העבודה עם התפלגויות צמודות נוחה מבחינה אלגברית, מאחר שהיא מבטיחה ביטוי פשוט יחסית עבור ההתפלגות הפוסטריורית; אחרת, מאוד ייתכן שתדרש [[שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים מסוימים|אינטגרציה נומרית]]. כמו כן לעיתים קרובות כאשר ההתפלגויות צמודות העדכון של פונקציית ההתפלגות לפונקציית התפלגות פוסטריורית על ידי פונקציית הנראות הוא יותר אינטואיטיבי.

המושגים האלו, הוצגו על ידי הווארד רייפה ורוברט שלייפר בעבודתם על תורת קבלת ההחלטות הבייסיאנית.<ref name="raiffa_schlaifer">[[Howard Raiffa]] and [[Robert Schlaifer]]. ''Applied Statistical Decision Theory''. Division of Research, Graduate School of Business Administration, Harvard University, 1961.</ref> מושג דומים התגלו באופן עצמאי ידי ג'ורג' אלפרד ברנרד.<ref name="miller">Jeff Miller et al. [http://jeff560.tripod.com/mathword.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics], [http://jeff560.tripod.com/c.html "conjugate prior distributions"]. Electronic document, revision of November 13, 2005, retrieved December 2, 2005.</ref>

== דוגמה ==
ניתן להסיק מ[[פונקציית הסתברות|פונקציית ההסתברות]] (או מפונקציית הצפיפות כאשר המשתנה המקרי רציף) את הצורה של ההתפלגות הפריורית. לדוגמה, פונקציית ההסתברות של [[משתנה מקרי בינומי]] <math display="inline">X\sim Bin(n,Q)</math> היא:<math display="block">\Pr(X=s) = {n \choose s}Q^s (1-Q)^{n-s}</math>

ההתפלגות הצמודה המקובלת עבור משתנה בינומי היא [[התפלגות בטא]] <math display="inline">Q\sim Beta(\alpha,\beta)</math> :

<math display="block">\Pr(Q=q) = {q^{\alpha-1}(1-q)^{\beta-1} \over \Beta(\alpha,\beta)}</math>

כאשר <math>\alpha</math> ו- <math>\beta</math> נבחרו כדי לשקף הנחה, אמונה או מידע קיים (למשל <math>\alpha=\beta=1</math> היא [[התפלגות אחידה רציפה|התפלגות אחידה]]) ו- <math>\Beta (\alpha,\beta)</math> היא [[פונקציית בטא]] המשמשת כקבוע מנרמל.

בהקשר הזה <math>\alpha</math> ו- <math>\beta</math> נקראים היפרפרמטרים (פרמטרים של ההתפלגות הפריורית, כדי להבדילם מפרמטרים של המודל המדובר (<math>Q</math>).

אם נקח דגימה של המשתנה המקרי, <math display="inline">X=s</math> ונשתמש ב[[חוק בייס|משפט בייס]], נקבל את ההתפלגות הפוסטריורית:

<math>\begin{align}
 \Pr(X=s\mid Q=x) &= {n \choose s} x^s(1-x)^{n-s},\\
 \Pr(Q=x) &= {x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \over \Beta(\alpha,\beta)},\\
 \Pr(Q=x \mid X=s) &= \frac{\Pr(X=s \mid Q=x)\Pr(Q=x)}{\int \Pr(Q=s \mid Q=y)\Pr(Q=y)dy}\\
 & = {{{n \choose s} x^{s+\alpha-1}(1-x)^{n-s+\beta-1} / \Beta(\alpha,\beta)} \over \int_{y=0}^1 \left({n \choose s} y^{s+\alpha-1}(1-y)^{n-s+\beta-1} / \Beta(\alpha,\beta)\right) dy} \\
 & = {x^{s+\alpha-1}(1-x)^{n-s+\beta-1} \over \Beta(s+\alpha,n-s+\beta)},
\end{align}</math>

קיבלנו שוב התפלגות בטא עם מקדמים מעודכנים <math display="inline">Q\sim Beta(\alpha+s,\beta+n-s)</math>.

התפלגות פוסטריורית זו יכולה לשמש שוב כהתפלגות פריורית עבור דגימות נוספות, כאשר בכל פעם מעדכנים את ההיפרפרמטרים בהתאם לתוצאות. כל דגימה מקטינה את השונות של <math display="inline">Q</math> ולכן משפרת את הידיעה שלנו עליו.

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:סטטיסטיקה בייסיאנית]]