הצגת המקור של הדף "התפלגות קושי"

{{נתוני התפלגות|
שם=התפלגות קושי|
תמונת צפיפות=Cauchy distribution pdf.png|
תמונת מצטברת=Cauchy distribution cdf.png|
פרמטרים=<math>\ x_0</math> ה[[חציון]], <math>\ \gamma</math> סקלה|
תומך= <math>\ \mathbb{R}</math>|
צפיפות=<math>{ 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right]</math>|
מצטברת=<math>\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}</math>|
סטיית תקן=לא מוגדרת|
תוחלת=לא מוגדרת|
חציון=<math>\ x_0</math>|
שכיח=<math>\ x_0</math>|
שונות=לא מוגדרת|
גבנוניות=לא מוגדרת|
צידוד=לא מוגדר|
אנטרופיה=<math>\ln(4\,\pi\,\gamma)\!</math>|
מומנטים=לא מוגדרת|
אופיינית = <math>\displaystyle \exp(x_0\,i\,t-\gamma\,|t|)\!</math>
}}
'''התפלגות קוֹשִי''' (Cauchy), על שם המתמטיקאי הצרפתי [[אוגוסטן לואי קושי]], היא [[פונקציית התפלגות|התפלגות רציפה]] בעלת חשיבות ב[[מתמטיקה]] ובמספר תחומים ב[[פיזיקה]]. בקרב פיזיקאים ההתפלגות מכונה לעיתים '''פילוג לורנץ''' (Lorentz), '''פילוג ברייט-ויגנר''' (Breit-Wigner) או '''לורנציאן'''.

== הגדרה ==
התפלגות קושי מוגדרת כהתפלגות רציפה בעלת [[פונקציית צפיפות הסתברות|פונקציית צפיפות ההסתברות]]
:<math>\begin{align}
f(x; x_0,\gamma)&= \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \\[0.5em]
&= { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right]
\end{align}</math>
כאשר <math>\ x_0</math> הוא פרמטר מיקום, אשר קובע את החציון של ההתפלגות, ואילו <math>\ \gamma</math> הוא פרמטר סקלה, אשר קובע את רוחב ההתפלגות ובהתאם את גובה הערכים. בגבול שבו <math> \gamma \rightarrow 0 </math> נקבל את פונקציית [[הדלתא של דיראק]].

המקרה הפרטי של התפלגות קושי עם פרמטרים <math>x_0 = 0</math> ו <math>\gamma = 1</math> נקרא '''התפלגות קושי סטנדרטית''', עם צפיפות התפלגות<ref name="mathmethods">{{cite book|last1=Riley|first1=Ken F.|last2=Hobson|first2=Michael P.|last3=Bence|first3=Stephen J.|title=Mathematical Methods for Physics and Engineering|url=https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile_192|url-access=limited|edition=3|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge, UK|year=2006|pages=[https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile_192/page/n1362 1333]|isbn=978-0-511-16842-0}}</ref><ref name="primer">{{cite book|last1=Balakrishnan|first1=N.|last2=Nevrozov|first2=V. B.|title=A Primer on Statistical Distributions|edition=1|publisher=John Wiley & Sons Inc.|location=Hoboken, New Jersey|year=2003|pages=[https://archive.org/details/primeronstatisti0000bala/page/305 305]|isbn=0-471-42798-5|url=https://archive.org/details/primeronstatisti0000bala/page/305}}</ref>
:<math> f(x; 0,1) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}</math> .

== תכונות ==

תכונה יוצאת דופן של התפלגות קושי היא שה[[תוחלת]] וה[[שונות]] שלה אינם מוגדרים, כמו גם ה[[משתנה מקרי#מומנטים|מומנטים]] מסדר גבוה יותר. לעומת זאת, ה[[חציון]] וה[[שכיח]] מוגדרים ושניהם שווים <math>\ x_0</math>.

=== סכום של משתנים מקריים המתפלגים קושי ===
אם <math>X_1, X_2, \ldots, X_n</math> הם משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות שנדגמו מהתפלגות קושי סטנדרטית, ממוצע המדגם שלהם <math>\bar X = \frac 1n \sum_i X_i</math> מתפלג קושי סטנדרטית. בפרט, הממוצע אינו מתכנס לתוחלת, ואכן התפלגות קושי אינה מקיימת את [[חוק המספרים הגדולים]]. ההוכחה של תכונה זו אפשרית על ידי אינטגרציה של פונקציית צפיפות ההסתברות או על ידי שימוש ב[[פונקציה אופיינית (הסתברות)|פונקציה האופיינית]] של התפלגות קושי הסטנדרטית:<math display="block">\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[e^{iXt} \right ] = e^{-|t|}</math>עבור סכום הדגימות מקבלים <math>\varphi_{\sum_i X_i}(t) = e^{-n |t|} </math> כלומר <math>\bar X</math> הוא משתנה מקרי בעל התפלגות קושי סטנדרטית.

באופן כללי יותר, אם <math>X_1, X_2, \ldots, X_n</math> הם משתנים בלתי-תלויים בעלי התפלגות קושי עם פרמטרי מיקום <math>x_1, \ldots, x_n</math> ופרמטרי סקלה <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> ו <math>a_1, \ldots, a_n</math> הם מספרים ממשיים אזי <math>\sum_i a_iX_i</math> מתפלג קושי עם פרמטר מיקום <math>\sum_i a_ix_i</math> וסקאלה <math>\sum_i |a_i|\gamma_i</math>. כלומר חוק המספרים הגדולים אינו מתקיים עבור סכום משוקלל של משתני קושי בלתי תלויים.

=== פונקציה אופיינית ===
יהי <math>X</math> משתנה מקרי המתפלג קושי. [[פונקציה אופיינית (הסתברות)|הפונקציה האופיינית]] של התפלגות קושי ניתנת על ידי
:<math>\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[e^{iXt} \right ] =\int_{-\infty}^\infty f(x;x_0,\gamma)e^{ixt}\,dx = e^{ix_0t - \gamma |t|} </math>
שאינו אלא [[טרנספורם פורייה]] של צפיפות ההסתברות. באופן דומה ניתן להביע את פונקציית צפיפות ההסתברות במונחי הפונקציה האופיינית על ידי טרנספורם פורייה ההפוך
:<math>f(x; x_0,\gamma) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \varphi_X(t;x_0,\gamma)e^{-ixt} \, dt \!</math> .
המומנט ה-''n'' של ההתפלגות מתקבל מהצבת <math>t=0</math> בנגזרת ה-''n'' של הפונקציה האופיינית. יש לשים לב כי הפונקציה האופיינית אינה גזירה בראשית הצירים. ואכן המומנטים של התפלגות קושי אינם מוגדרים פרט למומנט האפס.

=== דיברגנץ קולבק-לייבלר ===
ניתן להביא את [[דיברגנץ קולבק-לייבלר]] בין שתי התפלגויות קושי עם פרמטרים <math> x_{0,1}, \gamma_{1} </math> ו <math> x_{0,2}, \gamma_{2} </math> כנוסחה סגורה סימטרית:<ref>{{cite arXiv |last1=Frederic |first1=Chyzak |last2=Nielsen |first2=Frank |year=2019 |title=A closed-form formula for the Kullback-Leibler divergence between Cauchy distributions |class=cs.IT |eprint=1905.10965}}</ref>
:<math>
\mathrm{KL}\left(p_{x_{0,1}, \gamma_{1}}: p_{x_{0,2}, \gamma_{2}}\right)=\log \frac{\left(\gamma_{1}+\gamma_{2}\right)^{2}+\left(x_{0,1}-x_{0,2}\right)^{2}}{4 \gamma_{1} \gamma_{2}}
</math> .

=== אנטרופיה ===
[[אנטרופיה דיפרנציאלית|האנטרופיה הדיפרנציאלית]] של התפלגות קושי נתונה על ידי
: <math>
\begin{align}
H(\gamma) & =-\int_{-\infty}^\infty f(x;x_0,\gamma) \log(f(x;x_0,\gamma)) \, dx \\[6pt]
& =\log(4\pi\gamma)
\end{align}
</math>
הנגזרת של [[שברון (סטטיסטיקה)|פונקציית השברונים]] של התפלגות קושי היא
:<math>Q'(p; \gamma) = \gamma\,\pi\,{\sec}^2\left[\pi\left(p-\tfrac 1 2 \right)\right]</math> .

ניתן להגדיר את האנטרופיה של התפלגות במונחים של פונקציית השברונים שלה.<ref>{{cite journal |last1=Vasicek |first1=Oldrich |year=1976 |title=A Test for Normality Based on Sample Entropy |journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series B |volume=38 |issue=1 |pages=54–59|doi=10.1111/j.2517-6161.1976.tb01566.x }}</ref> באופן ספציפי
:<math>H(\gamma) = \int_0^1 \log\,(Q'(p; \gamma))\,\mathrm dp = \log(4\pi\gamma)</math> .
== בניות ==
===דגימה מהתפלגות קושי===
אם עומדים מול קו ובועטים כדור לעבר הקו בזווית אקראית המתפלגת באופן אחיד בין 90- ל-90+ מעלות, ההתפלגות של הנקודה שבה פוגע הכדור בקו היא התפלגות קושי.

באופן פורמלי, תהי נקודה <math>(x_0, \gamma)</math> במישור x-y. נבחר קו העובר דרך הנקודה, כך שהזווית שלו ביחס לציר <math>x</math> נבחרת באופן באופן אחיד (בין 90°- ל-90°+) באקראי. נקודת החיתוך של הישר עם ציר <math>x</math> הוא מתפלגת קושי עם פרמטר מיקום <math>x_0</math> ופרמטר סקאלה <math>\gamma</math>.

הגדרה זו נותנת דרך פשוטה לדגום מהתפלגות קושי סטנדרטית. תהי <math> u </math> דגימה מ[[התפלגות אחידה רציפה]] מהקטע <math>[0,1]</math>. אזי ניתן ליצור דגימה <math>x</math> מהתפלגות קושי סטנדרטית על ידי
:<math> x = \tan\left(\pi(u-\frac{1}{2})\right) </math> .

לחלופין, אם <math>U</math> ו <math>V</math> הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים [[התפלגות נורמלית|נורמלית]] עם [[תוחלת]] 0 ו[[שונות]] 1 אז המנה <math>U/V</math> מתפלגת התפלגות קושי סטנדרטית. ובאופן כללי, אם ל-<math>(U, V)</math> סימטריה סיבובית במישור סביב ראשית הצירים, אזי המנה <math>U/V</math> מתפלגת התפלגות קושי סטנדרטית.

=== פונקציית צפיפות התפלגות ===
פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות קושי היא<ref name=jkb1>{{cite book|author1=N. L. Johnson |author2=S. Kotz |author3=N. Balakrishnan |title=Continuous Univariate Distributions, Volume 1|publisher=Wiley|location=New York|year=1994}}, Chapter 16.</ref><ref name=feller>{{cite book|last=Feller|first=William|title=An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume II|edition=2|publisher=John Wiley & Sons Inc.|location=New York|year=1971|pages=[https://archive.org/details/introductiontopr00fell/page/704 704]|isbn=978-0-471-25709-7|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontopr00fell/page/704}}</ref>
:<math>f(x; x_0,\gamma) = \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right)^2\right]} = { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right] </math>

כאשר <math>x_0</math> הוא פרמטר המיקום (והשכיח של ההתפלגות) ו <math>\gamma</math> הוא פרמטר הסקאלה. <math>2\gamma</math> הוא [[רוחב חצי מקסימום|רוחב חצי המקסימום]] (FWHM) של התפלגות קושי. [[אוגוסטן לואי קושי]] השתמש בפונקציית צפיפות כזו עם פרמטר קנה מידה [[אינפיניטסימלי]], והגדיר את מה שמכונה כעת [[פונקציית דלתא של דיראק]].

המקסימום של פונקציית הצפיפות של התפלגות קושי הוא ב-<math>x=x_0</math> וערכו <math>\frac{1}{\pi \gamma}</math>.

=== פונקציית התפלגות מצטברת ===
פונקציית ההתפלגות המצטברת של התפלגות קושי היא
:<math>F(x; x_0,\gamma)=\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}</math>

ופונקציית ה[[שברון (סטטיסטיקה)|שברונים]] (הפונקציה ההופכית לה) היא
:<math>Q(p; x_0,\gamma) = x_0 + \gamma\,\tan\left[\pi\left(p-\tfrac{1}{2}\right)\right]</math> .
הרבעון הראשון והשלישי הם <math>(x_0 - \gamma, x_0 + \gamma)</math>, ומכאן <math>2\gamma</math> הוא [[טווח בין-רבעוני|הטווח הבין-רבעוני]] של ההתפלגות.
===הקשר להתפלגות ''t''===
התפלגות קושי סטנדרטית היא [[התפלגות t|התפלגות ''t'']] עם דרגת חופש אחת, כך שניתן לבנותה בכל שיטה שבה משתמשים לבניית התפלגות ''t''.<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Rui Li, Saralees Nadarajah|שם=A review of Student’s t distribution and its generalizations|כתב עת=Empirical Economics|כרך=58|שנת הוצאה=2020-03-01|עמ=1461–1490|doi=10.1007/s00181-018-1570-0|קישור=https://link.springer.com/article/10.1007/s00181-018-1570-0}}</ref>

== שיערוך פרמטרים ==
הממוצע והשונות של התפלגות קושי אינם מוגדרים. משום כך, בהינתן מדגם של התפלגות קושי, לא ניתן לשערך את הפרמטרים של ההתפלגות באמצעות ממוצע ושונות המדגם.<ref>{{cite web| url = http://www.statistics4u.info/fundstat_eng/ee_distri_cauchy.html| title = Illustration of instability of sample means| access-date = 2014-11-22| archive-date = 2017-03-24| archive-url = https://web.archive.org/web/20170324193842/http://www.statistics4u.info/fundstat_eng/ee_distri_cauchy.html| url-status = live}}</ref>
ואכן, ניתן לחשב את הממוצע של מדגם של n דוגמאות [[משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות|בלתי-תלויות ושוות-התפלגות]] מהתפלגות קושי כ
:<math>\bar{x}=\frac 1 n \sum_{i=1}^n x_i</math>

למרות שערכי הדגימות <math>x_i</math> יתרכזו סביב <math>x_0</math>, ממוצע המדגם לא יתכנס כאשר מגדילים את הערך של n. זאת מפני שההסתברות לדגימה <math>x</math> עם ערך מוחלט גדול, הולכת וגדלה. למעשה, התפלגות ממוצע המדגם תהיה שווה להתפלגות התצפיות עצמן; כלומר, ממוצע המדגם של מדגם גדול אינו טוב יותר (או גרוע יותר) משערוך הערך של <math>x_0</math> מכל תצפית בודדת במדגם. באופן דומה, חישוב שונות המדגם יביא לערכים שיגדלו ככל שיגדל מספר התצפיות.

זו הסיבה שיש צורך בשיטות אחרות לשיערוך פרמטר המיקום <math>x_0</math> ופרמטר קנה המידה <math>\gamma</math>. שיטה פשוטה אחת היא לקחת את הערך החציוני של המדגם כאומד של <math>x_0</math>, וחצי מה[[טווח בין-רבעוני|טווח הבין-רבעוני]] כאומד של <math>\gamma</math>. פותחו גם שיטות אחרות, מדויקות וחזקות יותר, שלעיתים נותנות תוצאות מדויקות בהרבה<ref>{{cite journal |last1=Cane |first1=Gwenda J. |year=1974 |title=Linear Estimation of Parameters of the Cauchy Distribution Based on Sample Quantiles |journal=Journal of the American Statistical Association |volume=69 |issue=345 |pages= 243–245 |jstor=2285535 |doi=10.1080/01621459.1974.10480163}}</ref><ref>{{cite journal |last=Zhang |first=Jin |year=2010 |title=A Highly Efficient L-estimator for the Location Parameter of the Cauchy Distribution |journal=Computational Statistics |volume=25 |issue=1 |pages=97–105 |doi=10.1007/s00180-009-0163-y|s2cid=123586208 }}</ref>, למשל הממוצע המקוטע {{אנ|Truncated mean}} של 24% הדגימות המרכזיות מהמדגם, מייצר אומד של <math>x_0</math> מדויק יותר מחציון המדגם.<ref name=bloch>{{cite journal|last1=Bloch|first1=Daniel|year=1966|volume=61 |issue=316 |journal=Journal of the American Statistical Association|title=A note on the estimation of the location parameters of the Cauchy distribution|pages=852-855|jstor=2282794|doi=10.1080/01621459.1966.10480912}}</ref>

ניתן להיעזר בשיטת ה[[נראות מקסימלית|נראות המקסימלית]] כדי לאמוד את הפרמטרים <math>x_0</math> ו <math>\gamma</math>. עם זאת, זה גישה זו מורכבת, מכיוון שהיא דורשת מציאת השורשים של [[פולינום]] מסדר גבוה, ושורשים מרובים ייצגו נקודות מקסימה מקומיות.<ref name=ferguson>{{cite journal|last1=Ferguson|first1=Thomas S.|year=1978 |journal=Journal of the American Statistical Association |volume=73|issue=361|pages=211–213 |title=Maximum Likelihood Estimates of the Parameters of the Cauchy Distribution for Samples of Size 3 and 4|jstor=2286549 |doi=10.1080/01621459.1978.10480031}}</ref> כמו כן, בעוד שמעריך הנראות המקסימלית יעיל אסימפטוטית, הוא אינו יעיל יחסית עבור מדגמים קטנים.<ref>{{cite journal|title=The Pitman estimator of the Cauchy location parameter|last1=Cohen Freue|first1=Gabriella V.|journal=Journal of Statistical Planning and Inference|volume=137|issue=6|year=2007|page=1901|url=http://faculty.ksu.edu.sa/69424/USEPAP/Coushy%20dist.pdf|doi=10.1016/j.jspi.2006.05.002|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20110816002255/http://faculty.ksu.edu.sa/69424/USEPAP/Coushy%20dist.pdf|archive-date=2011-08-16}}</ref><ref>{{cite book|title=Introduction to Robust Estimation & Hypothesis Testing |last1=Wilcox |first1=Rand |year=2012 |publisher=Elsevier}}</ref> פונקציית הלוג-נראות עבור התפלגות קושי למדגם בגודל <math>n</math> היא:

:<math>\hat\ell(x_1,\dotsc,x_n \mid \!x_0,\gamma) = - n \log (\gamma \pi) - \sum_{i=1}^n \log \left(1 + \left(\frac{x_i - x_0}{\gamma}\right)^2\right)</math>

גזירה של [[פונקציית נראות|פונקציית הנראות]] ביחס ל-<math>x_0</math> ול-<math>\gamma</math> והשוואת הנגזרות לאפס נותנות את המשוואות הבאות:

:<math> \frac{d \ell}{d x_{0}} = \sum_{i=1}^n \frac{2(x_i - x_0)}{\gamma^2 + \left(x_i - x_0\right)^2} =0</math>
:<math> \frac{d \ell}{d \gamma} = \sum_{i=1}^n \frac{2\left(x_i - x_0\right)^2}{\gamma (\gamma^2 + \left(x_i - x_0\right)^2)} - \frac{n}{\gamma} = 0</math>
כאשר נשים לב כי במשוואת הנגזרת ביחס ל-<math>\gamma</math> הביטוי
:<math> \sum_{i=1}^n \frac{\left(x_i - x_0\right)^2}{\gamma^2 + \left(x_i - x_0\right)^2} </math>
היא [[פונקציה מונוטונית]] של <math>\gamma</math> וכי הפתרון עבור <math>\gamma</math> חייב לקיים
:<math> \min |x_i-x_0|\le \gamma\le \max |x_i-x_0| </math> .

הפתרון עבור <math>x_0</math> דורש מציאת השורשים של פולינום מסדר <math>2n-1</math>.<ref name="ferguson" /> הפתרון עבור <math>\gamma</math> דורש מציאת השורשים של פולינום מסדר <math>2n</math>. לכן בדרך כלל יהיה צורך להיעזר בשיטות נומריות. היתרון של שיערוך נראות מקסימלית הוא יעילות אסימפטוטית גבוהה יותר, שמתרגמת לשונות נמוכה יותר של האומד; הערכת <math>x_0</math> באמצעות חציון המדגם היא רק כ-81% יעילה מבחינה אסימפטוטית ביחס אומדן <math>x_0</math> לפי הסבירות המקסימלית.<ref name="bloch" /><ref>{{cite journal|last1=Barnett|first1=V. D.|year=1966|journal=Journal of the American Statistical Association |volume=61|issue=316|pages=1205–1218|title=Order Statistics Estimators of the Location of the Cauchy Distribution|jstor=2283210|doi=10.1080/01621459.1966.10482205}}</ref> ממוצע המדגם הקטוע המבוסס על 24% הדגימות המרכזיות יעיל אסימפטוטית בכ-88% יעיל ביחס למשערך הנראות המקסימלית של <math>x_0</math>.<ref name=bloch/>

{{התפלגות}}

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Cauchy_distribution}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}

==הערות שוליים ==
{{הערות שוליים| יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:התפלגויות רציפות|קושי]]
[[קטגוריה:אוגוסטן לואי קושי]]