הצגת המקור של הדף "וקטור גל"

'''וקטור גל''' הוא [[וקטור (פיזיקה)|וקטור]] המשמש לתיאור ה[[תנע]] של [[גל|גלים]], והוא מסומן ב-<math>\vec{k}</math>. גודלו הוא '''[[מספר גל|מספר הגל]]''' וכיוונו הוא כיוון התקדמות הגל. וקטור הגל הוא הכללה ל[[מרחב תלת-ממדי|מרחב התלת-ממדי]] של מספר הגל.

==הגדרה==
גודלו של וקטור הגל נקרא '''מספר הגל''' והוא עומד ב[[יחס הפוך]] ל[[אורך גל|אורך הגל]]:
:<math>\ k = \frac{2 \pi}{\lambda}</math>
מספר הגל מתאר את קצב תנודות הגל כתלות במרחב באותו האופן שבו ה[[תדירות זוויתית|תדירות הזוויתית]] מתארת את קצב התנודות כתלות בזמן. כיוונו של הווקטור, <math>\hat{k}</math>, הוא כיוון התקדמות הגל במרחב התלת-ממדי.

ניתן לרשום את וקטור הגל ב[[קואורדינטות קרטזיות]], כאשר כל רכיב הוא מספר הגל של היטל הגל על אחד הצירים:
: <math> \vec{k} = (k_x, k_y, k_z) </math>

==גל סינוסי==
הפונקציה המתארת [[גל סינוסי]] היא:
: <math>\ \psi(\vec{r},t) = A \sin( \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)</math>
<math>\ \vec{r}</math> הוא [[העתק (פיזיקה)|וקטור ההעתק]], t הוא הזמן, A היא [[משרעת]] הגל ו-<math>\, \omega</math> היא התדירות הזוויתית של הגל.

את הפונקציה ניתן לרשום כתלות ברכיבי וקטור הגל בקואורדינטות קרטזיות:
:<math>\ \psi(x,y,z,t)=A \sin( k_x x + k_y y + k_z z - \omega t )</math>
הצגה נוספת, העושה שימוש ב[[האקספוננט המרוכב|אקספוננט המרוכב]], היא:
: <math>\ \psi(\vec{r},t) = A \exp{\left[ i( \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)\right]}</math>

==פונקציית גל ומספר הגל של חלקיק==
ב[[מכניקת הקוונטים]] וב[[פיזיקת חלקיקים]] קיים עקרון [[דואליות גל-חלקיק]], כלומר חלקיק הוא גם גל, ולכן יש לו [[פונקציית גל]], [[אורך גל דה ברויי|אורך גל מיוחד]] וגם מספר גל. 

וקטור ה[[תנע]] <math>\ \vec p</math> של חלקיק נמצא ביחס ישר לווקטור הגל שלו: 
:<math>\vec{p} = \hbar \vec{k}</math>,
כאשר <math>\ \hbar</math> הוא [[קבוע פלאנק המצומצם]].

אם פונקציית הגל היא [[גל עומד]], מספר הגל, וכתוצאה מכך גם גודל התנע של החלקיק, יכולים לקבל רק ערכים מסוימים. כך למשל, בבעיית [[בור פוטנציאל אינסופי|חלקיק בקופסה]] פונקציית הגל מתאפסת על הדפנות של [[תיבה (גאומטריה)|תיבה]], והפתרונות האפשריים לווקטור הגל הם:
:<math>\vec{k} = (k_x, k_y, k_z) = (\frac{\pi n_x}{L_x}, \frac{\pi n_y}{L_y}, \frac{\pi n_z}{L_z})</math>
כאשר L<sub>i</sub> הם אורכי צלעות התיבה ו-n<sub>i</sub> [[מספר שלם|מספרים שלמים]].

== בתורת היחסות ==

ב[[תורת היחסות הפרטית]] מגדירים [[4-וקטור]] גל:
: <math>\ k^\mu = ( k^0, k^1, k^2, k^3) = \left( \frac{\omega}{c} , k_x , k_y , k_z \right) = \left( \frac{\omega}{c} , \vec{k} \right)</math>

ה"נורמה" של הווקטור היא
:<math>k^2 = k^\mu k_\mu = k^0 k_0 - k^1 k_1 - k^2 k_2 - k^3 k_3 =\frac{\omega^2}{c^2} - \vec{k}^2 = 0. \,</math>
המעבר האחרון נכון עבור גל [[אור]] בריק בו [[יחס נפיצה|יחס הנפיצה]] הוא <math>\ \omega = c k</math>.

בתור [[4-וקטור]] יחסותי, 4-וקטור הגל עובר [[טרנספורמציית לורנץ]] כמו 4-וקטור המקום. באמצעות מעבר זה ניתן להסיק את [[אפקט דופלר|אפקט דופלר היחסותי]].

=== אפקט דופלר היחסותי ===

טרנספורמציית לורנץ עבור מקור הנע במהירות <math>\ \vec{v} = \beta c \hat{x}</math> היא
::<math>\Lambda = \begin{pmatrix}
\gamma&-\beta \gamma&0&0 \\
-\beta \gamma&\gamma&0&0 \\
0&0&1&0 \\
0&0&0&1
\end{pmatrix}
</math>

במצב בו [[אור]] מוקרן ממקור הנע במהירות יחסותית, ישנו [[אפקט דופלר]] ושינוי ב[[תדירות]] הנצפית. למשל, כאשר עצם המקרין אור ב[[חלל]] הנע ביחס ל[[כדור הארץ]] (בו נמצאת המעבדה בה נמדדת התדירות) אפשר לחשב את התדירות הנצפית במערכת כדו"א ''S''<sup>obs</sup> על ידי חישוב [[טרנספורמציית לורנץ]] על רכיב התדירות (רכיב ה-0) של 4-וקטור הגל. נסמן את המערכת בה המקור נייח ב-''S''<sup>src</sup>. אזי מטרנספורמציית לורנץ מקבלים
: <math>k^{\mu}_{\mathrm{src}} = \Lambda^\mu_\nu k^\nu_{\mathrm{obs}} \,</math>
מסתכלים רק על הרכיב  <math>\mu = 0</math> ומקבלים

:<math>k^{0}_{\mathrm{src}} = \Lambda^0_0 k^0_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_1 k^1_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_2 k^2_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_3 k^3_{\mathrm{obs}} </math>
כלומר
: <math> \ \frac{\omega_{\mathrm{src}}}{c} = \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} - \beta \gamma k^1_{\mathrm{obs}} = \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} - \beta \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} \cos \theta. \,</math>
כאשר <math> \cos \theta \,</math> הוא [[קוסינוס]] הכיוון של <math>k^1</math>, כלומר: <math>k^0,  k^1 = k^0 \cos \theta. </math>

לכן
::{|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"
|<math>\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{1}{\gamma (1 - \beta \cos \theta)} \,</math>
|}

*עבור מקור המתרחק ממערכת הצופה בכיוון הקרינה (במקרה שלנו, בציר x) אזי <math>\theta=\pi</math> ומקבלים
:<math>\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{1}{\gamma (1 + \beta)} = \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta} = \frac{\sqrt{(1+\beta)(1-\beta)}}{1+\beta} = \frac{\sqrt{1-\beta}}{\sqrt{1+\beta}} \,</math>
:ניתן לראות שהתדירות קטנה, כלומר: [[אורך גל|אורך הגל]] גדל או נהיה [[אדום]] יותר. תופעה זו נקראת [[הסחה לאדום]].

*עבור מקור המתקרב למערכת הצופה בכיוון הקרינה (במקרה שלנו, בציר x) אזי <math>\theta=0</math> ומקבלים
:<math>\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{\sqrt{1+\beta}}{\sqrt{1-\beta}} \,</math>
:ניתן לראות שהתדירות גדלה, כלומר: אורך הגל קטן. תופעה זו נקראת [[הסחה לכחול]].

{{גלים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:גלים]]