הצגת המקור של הדף "וקטור לפלס-רונגה-לנץ"

:<small> בערך זה, וקטורים יופיעו כאות מודגשת, וגודלם כאות נטויה. לדוגמה: <math>\left| \mathbf{A} \right| = A</math> </small>
ב[[מכניקה קלאסית]], '''וקטור לפלס-רונגה-לנץ''' הוא [[וקטור (פיזיקה)|וקטור]] המשמש בעיקר לתיאור מסלולי תנועה של [[גרם שמים|גרמי שמים]], דוגמת מסלול התנועה של [[כוכב לכת|כוכבי הלכת]] סביב [[השמש]]. הווקטור שימושי במיוחד ב[[בעיית קפלר]] - בעיית מציאת מסלול תנועתם של [[בעיה דו גופית|שני גופים]] המפעילים זה על זה כוח שעוצמתו יורדת עם ריבוע המרחק ביניהם (דוגמת [[כוח הכבידה]] או [[חוק קולון|הכוח החשמלי]]), כיוון שבמקרה זה ווקטור לפלס-רונגה-לנץ הוא [[חוק שימור|גודל שמור]].

תנועת ה[[אלקטרון]] וה[[פרוטון]] ב[[אטום המימן]] היא דוגמה לבעיית קפלר, ואכן לווקטור לפלס-רונגה-לנץ תפקיד חשוב במציאת [[רמת אנרגיה|רמות האנרגיה]] של אטום המימן במסגרת [[תורת הקוונטים]].

על פי [[משפט נתר (פיזיקה)|משפט נתר]], כל גודל שמור קשור ל[[סימטריה]] כלשהי של המערכת הפיזיקלית. בפרט, עובדת היותו של וקטור לפלס-רונגה-לנץ גודל שמור בבעיית קפלר, נובעת מסימטריה מיוחדת של בעיה זו: בעיית קפלר שקולה [[מתמטיקה|מתמטית]] לבעיה של [[חלקיק]] הנע בחופשיות על [[ספירה (גאומטריה)#הספירה ה-n ממדית|שפת כדור 4 ממדי]], כך שלבעיית קפלר יש בעצם סימטריה ל[[סיבוב]]ים של מרחב 4 ממדי (בניגוד לבעיית [[כוח מרכזי]] כללית בה יש סימטריה לסיבובים של [[מרחב תלת-ממדי]]). הסימטריה הגדולה של בעיית קפלר נובעת משתי תכונות מיוחדות של בעיה זו: וקטור המהירות נע על פני [[מעגל]], וכל המעגלים עבור [[אנרגיה]] נתונה נחתכים באותן נקודות.

קיימות הכללות של וקטור לפלס-רונגה-לנץ הלוקחות בחשבון גם אפקטים [[תורת היחסות|יחסותיים]], [[שדה אלקטרומגנטי|שדות אלקטרומגנטיים]] ועוד.

וקטור לפלס-רונגה-לנץ ידוע גם כ'''ווקטור לנץ''', '''וקטור רונגה-לנץ''' או '''וקטור לפלס'''. הווקטור קרוי על שמם של [[פייר-סימון לפלס]], [[קרל רונגה]] ו{{קישור שפה||Wilhelm Lenz|וילהלם לנץ}}, הגם שאף אחד ממדענים אלו לא גילה אותו. למעשה, הווקטור "התגלה" מחדש מספר פעמים ובנוסף לשמות הנ"ל הוא גם שקול ל[[וקטור האקסצנטריות|ווקטור האקסצנטריות]].

בערך זה, לשם קיצור, יכונה וקטור לפלס-רונגה-לנץ בשם '''וקטור לנץ''', ויסומן ב-'''A'''.

==מבוא==
בכל בעיית [[תנועה (פיזיקה)|תנועה]] של גוף בהשפעת [[כוח מרכזי]] [[כוח משמר|משמר]], קיימים לפחות 4 [[גודל שמור|קבועי תנועה]]: ה[[אנרגיה]] ''E'' ושלושת רכיבי וקטור ה[[תנע זוויתי|תנע הזוויתי]] '''L'''. תנועת הגוף מוגבלת ל[[מישור (גאומטריה)|מישור]] הניצב לווקטור ה[[תנע זוויתי|תנע הזוויתי.]] וקטור ה[[תנע]] '''p''' והווקטור המחבר בין הגוף ומרכז הכוח '''r''' נמצאים תמיד במישור זה.

גם וקטור לנץ, מוכל תמיד במישור התנועה, וזאת לכל כוח מרכזי. אולם, ברוב המקרים וקטור זה אינו קבוע. וקטור לנץ הוא קבוע אך ורק עבור כוח ריבועי הפוך (כוח שעוצמתו יורדת לפי ריבוע המרחק), ועבור כוחות אחרים הן גודלו של הווקטור והן כיוונו משתנים עם הזמן. עבור כוח שהוא בקירוב כוח ריבועי הפוך, גודלו של וקטור לנץ בקירוב נשמר והוא מסתובב באיטיות. ניתן להכליל את הגדרת וקטור לנץ על מנת לקבל וקטור שמור עבור כוחות מרכזיים אחרים, אולם וקטורים מוכללים אלו הם מסובכים ביותר ולרוב לא ניתן לכותבם בצורה מפורשת.

==היסטוריה==
למרות היותו של וקטור לנץ שימושי בבעיית קפלר, הוא היה פחות מוכר בקרב [[פיזיקאי|פיזיקאים]] יחסית לווקטורים שמשמעותם אינטואיטיבית יותר, כגון וקטור המיקום '''r''' או התנע '''p'''. כתוצאה מכך הוא "התגלה" מספר פעמים על ידי פיזיקאים שונים באופן בלתי תלוי.

הראשון שהראה שגודלו של הווקטור ''A'' נשמר עבור בעיית קפלר היה המתמטיקאי [[יאקוב הרמן]] (1710). הוא אף קישר בין גודל זה לבין [[אקסצנטריות (מתמטיקה)|אקסצנטריות]] המסלול. מאוחר יותר באותה שנה, הכליל [[יוהאן ברנולי]] את עבודתו של הרמן והראה כי גם כיוונו של הווקטור נשמר. בסוף המאה ה-18 (1799) גילה מחדש לפלס כי '''A''' נשמר. לפלס עשה זאת תוך שימוש בשיטות [[אנליזה מתמטית|אנליטיות]], להבדיל משיטות [[גאומטריה|גאומטריות]] בהן השתמשו הרמן וברנולי. באמצע המאה ה-19 (1847) פיתח [[ויליאם רואן המילטון|המילטון]] את [[וקטור האקסצנטריות]] (השקול לווקטור '''A'''), והראה בעזרתו כי בבעיית קפלר וקטור התנע '''p''' נע על פני מעגל. בתחילת המאה ה-20 (1901) קיבל [[ג'וסיה וילארד גיבס|גיבס]] את אותו וקטור על ידי שימוש ב[[אנליזה וקטורית]]. פיתוח זה של גיבס הופיע כדוגמה בספר לימוד בנושא [[אנליזה וקטורית]] של [[קרל רונגה|רונגה]] (1919).

הספר של רונגה צוטט על ידי [[וילהלם לנץ|לנץ]] במאמר שעסק בניתוח אטום המימן במסגרת "[[תורת הקוונטים הישנה]]" (1924). מעט מאוחר יותר (1926) השתמש [[וולפגנג פאולי|פאולי]] בווקטור על מנת לקבל את [[רמות אנרגיה|ספקטרום האנרגיה]] של אטום המימן במסגרת "[[תורת הקוונטים החדשה]]". פאולי עשה זאת תוך שימוש בשיטות [[אלגברה|אלגבריות]] ולא הסתמך על [[משוואת שרדינגר]]. בעקבות המאמרים הנ"ל, נכנס הווקטור לתודעת קהיליית הפיזיקאים כ"וקטור רונגה-לנץ". בשנות ה-70, בעקבות מחקריו של [[הרברט גולדשטיין]] על ההיסטוריה של הווקטור, הוסף גם שמו של לפלס לשם הווקטור.

==הגדרה מתמטית==
[[קובץ:Laplace_Runge_Lenz_vector.svg|שמאל|ממוזער|350px|ציור 1 - שרטוט של וקטור לנץ '''A''' (באדום) בארבע נקודות במסלול [[אליפסה|אליפטי]] (פתרון חסום של בעיית קפלר). בכל אחת מן הנקודות '''p L''' ו-'''mk/r) r)''' שונים, אך הפרשם (וקטור לנץ) קבוע בגודלו ובכיוונו.]]

הגדרת וקטור לנץ עבור [[מערכת פיזיקלית]] של חלקיק יחיד הנע בהשפעת כוח ריבועי הפוך מן הצורה <math>\mathbf{F}(r)=-\frac{k}{r^{2}}\mathbf{\hat{r}}</math>, נתונה על ידי:
<div style="text-align: center;">
<math>
\mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{L} - m k \mathbf{\hat{r}}
</math>
</div>
כאשר:
* <math> m \!\,</math> היא [[מסה|מסת]] החלקיק,
* <math>\mathbf{p}\!\,</math> הוא ה[[תנע]] שלו,
* <math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\!\,</math> הוא וקטור [[תנע זוויתי|התנע הזוויתי]],
* <math>k\!\,</math> הוא פרמטר הקובע את עוצמת הכוח,
* <math>\mathbf{r}\!\,</math> הוא מיקום החלקיק, <math>\mathbf{\hat{r}}\!\,</math> הוא [[וקטור יחידה]] בכיוון <math>\mathbf{r}\!\,</math>.

הגדרה זו תקפה גם לתנועה היחסית בין שני גופים ל[[בעיה דו גופית]] עם כוח ריבועי הפוך. במקרה זה <math>m</math> היא המסה המצומצמת, <math> \mathbf{r} </math> היא הקואורידנטה היחסית בין שני הגופים ו-<math> \mathbf{p},\mathbf{L} </math> הם התנע והתנע הזוויתי של התנועה היחסית.

ניתן להגדיר וקטורים נוספים השקולים לווקטור לנץ. הגדרה מקובלת היא של [[וקטור האקסצנטריות]]:
<div style="text-align: center;">
<math>
\mathbf{e} = \frac{\mathbf{A}}{m k} = \frac{1}{m k}(\mathbf{p} \times \mathbf{L}) - \mathbf{\hat{r}}
</math>
</div>
זהו בעצם וקטור לנץ המנורמל על מנת לקבל [[גודל חסר ממד]].

==תכונות בסיסיות==
* וקטור לנץ מוכל במישור התנועה וניצב לווקטור התנע הזוויתי ('''A''' · '''L''' = 0).
: עבור כל בעיית כוח מרכזי וקטור התנע הזוויתי '''L'''='''r'''x'''p''' הוא גודל שמור והווקטורים '''r''', '''p''' ניצבים אליו והם קובעים את מישור התנועה. כיוון שווקטור לנץ הוא קומבינציה ליניארית של וקטורים אלו, הוא מוכל במישור התנועה וניצב לווקטור התנע הזוויתי.
* וקטור לנץ הוא גודל קבוע, כלומר: <math> \frac{d\mathbf{A}}{dt}=0 </math>.
נוכיח זאת.

לפי [[חוק שימור התנע הזוויתי]] '''L''' קבוע ולכן:
<math display="block"> \frac{d\left({\mathbf p}{\rm \times }{\mathbf L}\right)}{dt}=\frac{d{\mathbf p}}{dt}{\rm \times }{\mathbf L} </math>
נגזרת התנע לפי הזמן היא הכוח <math>\frac{d{\mathbf p}}{dt}={\mathbf F}</math>. כזכור, הכוח הווקטור מוגדר עבור הכוח <math>{\mathbf F}\left(r\right)=-\frac{k}{r^2}\widehat{{\mathbf r}}</math>. לפיכך:
<math display="block">\frac{d{\mathbf p}}{dt}{\rm =}-\frac{k}{r^2}\widehat{{\mathbf r}}</math>
התנע הזוויתי כפונקציה של [[מהירות זוויתית|המהירות הזוויתית]] ω:
<div style="text-align: center;">
<math>
{\mathbf L}{\rm =}mr^2\omega \widehat{{\mathbf z}}
</math>
</div>
כאשר <math>\widehat{{\mathbf z}}</math> וקטור הכיוון המאונך ל-<math>\widehat{{\mathbf r}}</math> ול-<math>\widehat{{\mathbf \varphi}}</math> (רכיבי המיקום והזווית). לפיכך,
<div style="text-align: center;">
<math>
\frac{d\left({\mathbf p}{\rm \times }{\mathbf L}\right)}{dt}=-\frac{k}{r^2}\widehat{{\mathbf r}}{\mathbf \times }mr^2\omega \widehat{{\mathbf z}}=-k\widehat{{\mathbf r}}{\mathbf \times }m\omega \widehat{{\mathbf z}}=-mk\omega \widehat{{\mathbf r}}{\mathbf \times }\widehat{{\mathbf z}}
</math>
</div>
אולם, מתקיים:
<div style="text-align: center;">
<math>
\widehat{{\mathbf r}}{\mathbf \times }\widehat{{\mathbf z}}{\rm =-}\widehat{{\mathbf \varphi }}
</math>
</div>
ולכן,
<div style="text-align: center;">
<math>
\frac{d\left({\mathbf p}{\rm \times }{\mathbf L}\right)}{dt}=mk\omega \widehat{{\mathbf \varphi }}
</math>
</div>
כמו כן,
<div style="text-align: center;">
<math>
\frac{d\left(mk\widehat{{\mathbf r}}\right)}{dt}{\mathbf =}mk\frac{d\widehat{{\mathbf r}}}{dt}{\mathbf =}mk\omega \widehat{{\mathbf \varphi }}
</math>
</div>
משני הביטויים הקודמים מתקבל כנדרש:
<div style="text-align: center;">
<math>
\frac{d{\mathbf A}}{dt}=\frac{d\left({\mathbf p}{\rm \times }{\mathbf L}\right)}{dt}{\mathbf -}\frac{d\left(mk\widehat{{\mathbf r}}\right)}{dt}{\mathbf =}mk\omega \widehat{{\mathbf \varphi }}{\mathbf -}mk\omega \widehat{{\mathbf \varphi }}=0
</math>
</div>

==פתרון בעיית קפלר בעזרת וקטור לנץ==
[[קובץ:Laplace_Runge_Lenz_vector2.svg|שמאל|ממוזער|250px|ציור 2 - הגדרת הזווית θ]]

בעזרת שימוש בווקטור לנץ ניתן לקבל את צורת המסלול בבעיית קפלר באופן הבא. נתבונן ב[[מכפלה סקלרית|מכפלה הסקלרית]] <math> \mathbf{A}\cdot\mathbf{r} = Ar\cos\theta</math> (θ היא הזווית בין הווקטורים '''A''' ו-'''r''' [ציור 2]). מתקיים:
<math display="block">\mathbf{A}\cdot\mathbf{r} = \mathbf{r} \cdot \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - mkr </math>
חישוב ה[[מכפלה משולשת|מכפלה המשולשת]] נותן:
<div style="text-align: center;">
<math>
\mathbf{r} \cdot\left(\mathbf{p}\times \mathbf{L}\right) =
 \mathbf{L} \cdot\left(\mathbf{r} \times \mathbf{p}\right) =
\mathbf{L}\cdot\mathbf{L}=L^2
</math>
</div>
כלומר קיבלנו כי:
<math display="block">Ar\cos\theta = L^2 - mkr </math>
ולאחר ארגון מחדש של האיברים, נקבל [[משוואה]] עבור המסלול <math>r (\theta) </math> :
<div style="text-align: center;">
<math>
\frac{1}{r} = \frac{mk}{L^{2}} \left( 1 + \frac{A}{mk} \cos\theta \right)
</math>
</div>
זו משוואה של [[חתך חרוט]] עם [[אקסצנטריות (מתמטיקה)|אקסצנטריות]] <math>
e = \frac{A}{mk} = \frac{\left|\mathbf{A}\right|}{m k}
</math>.

את ''A'' ניתן להביע בעזרת האנרגיה <math> E = \frac{p^2}{2m} - \frac{k}{r} </math> והתנע הזוויתי ''L''. על ידי חישוב המכפלה הסקלרית של '''A''' עם עצמו מתקבל:
<div style="text-align: center;">
<math>
A^2= m^2 k^2 + 2 m E L^2 \,
</math>
</div>
וכך ניתן להביע את פתרון בעיית קפלר בעזרת תנאי ההתחלה (האנרגיה והתנע הזוויתי)
<math display="block"> r(\theta) = \frac{\frac{L^2}{mk}}{1+\sqrt{1+\frac{2EL^2}{mk^2}}\cos(\theta)}</math>
לניתוח הפתרון שהתקבל ראו [[בעיית קפלר]] ו[[חוקי קפלר]].

==התנהגות וקטור התנע בבעיית קפלר==
[[קובץ:Kepler_hodograph3.svg|שמאל|ממוזער|250px|ציור 3]]
על ידי שימוש בעובדה כי וקטור לנץ ווקטור התנע הזוויתי נשמרים בבעיית קפלר, ניתן להראות כי וקטור התנע (או לחלופין וקטור המהירות) נע על גבי מעגל. חישוב ה[[מכפלה וקטורית|מכפלה הווקטורית]] של '''L''' ו-'''A''' מניב משוואה עבור וקטור התנע:
<div style="text-align: center;">
<math>
L^{2} \mathbf{p} = \mathbf{L} \times \mathbf{A} - mk \hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{L}
</math>
</div>
נקבע [[מערכת צירים]] בה ציר z בכיוון '''L''' וציר x בכיוון '''A''', ונקבל כי מתקיים:
<div style="text-align: center;">
<math>
p_{x}^{2} + \left(p_{y} - A/L \right)^{2} = \left( mk/L \right)^{2}
</math>
</div>
כלומר וקטור התנע נע על פני מעגל ברדיוס ''mk/L'' שמרכזו ב-(0, ''A/L'') [ציור 3].

==קבועי תנועה וסופראינטגביליות בבעיית קפלר==
בבעיית קפלר קיימים שבעה קבועי תנועה (גדלים שמורים): האנרגיה ''E'', שלושת רכיבי התנע הזוויתי '''L''' ושלושת רכיבי וקטור לנץ '''A'''. קיימים שני קשרים בין הגדלים הנ"ל - '''A''' · '''L''' = 0 ו- ''A<sup>2</sup> = m<sup>2</sup>k<sup>2</sup> + 2 m E L<sup>2</sup>'', כך שבסך הכל ישנם חמישה קבועי תנועה בלתי תלויים.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.com/2015/04/blog-post.html אופרטור רונגה-לנץ במכניקה הקוונטית], באתר רשימות בפיזיקה עיונית
*
[[קטגוריה:מכניקה]]
[[קטגוריה:מכניקת הקוונטים]]