הצגת המקור של הדף "וקטור מצב (קוונטים)"

ב[[מכניקה קוונטית]], '''וקטור מצב''' הוא [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] ב[[מרחב הילברט]] המיצג את ה[[מצב קוונטי|מצב]] של [[מערכת פיזיקלית]], כשמספר דרגות החופש{{הערה|1=מספר דרגות החופש, כפי שהוא מוגדר במכניקת הקוונטים, מתייחס למספר המצבים האפשריים והוא שונה מהמושג הקלאסי. לדוגמה, לחלקיק היכול לנוע באופן רציף בציר אחד בלבד תהיה דרגת חופש אחת באופן קלאסי אך אינסוף דרגות חופש קוונטיות}} של המערכת הוא ה[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] של הווקטור.
הדרך הנפוצה ביותר לכתוב את וקטור המצב היא באמצעות [[סימון דיראק]]: <math>|\psi\rangle </math>.

[[פונקציית גל]] משמשת גם היא לתיאור מצב קוונטי ויש חפיפה רבה במשמעות שני המונחים.

==פורמליזם==
===מושגים מאלגברה ליניארית===
דרכי החישוב באמצעות וקטור מצב מבוססות על [[אלגברה ליניארית]] וללא ידע מוקדם בתחום זה, הבנת הפורמליזם תהיה קשה למדי. רבים מהמושגים המופשטים של האלגברה הליניארית מקבלים משמעות פיזיקלית כשווקטור המצב תואם את ההגדרה המתמטית של וקטור אך שונה מבחינות רבות מ[[וקטור (פיזיקה)|וקטור פיזיקלי]]. מרחב הילברט של הווקטור, המיצג את דרגות החופש של המערכת, הוא מרחב וקטורי בעל [[מכפלה פנימית]] ו[[מרחב דואלי]] שבו וקטור מסומן כ־<math> \langle\psi|</math>. כל משתנה שנוכל למדוד על המערכת מיוצג על ידי [[אופרטור הרמיטי]]. [[משוואת שרדינגר]] המתארת את התפתחות הווקטור בזמן היא [[מערכת משוואות ליניאריות]], וה[[המילטוניאן#המילטוניאן במכניקת הקוונטים|המילטוניאן]] גם הוא אופרטור הרמיטי ש[[לכסון מטריצות|ליכסונו]] ומציאת ה[[וקטור עצמי|הווקטורים העצמיים]] שלו מהווה לרוב חלק גדול מפתרון בעיות. [[אופרטור אוניטרי]] נותן את ההתפתחות עצמה. [[סופרפוזיציה]] של מצבים היא [[צירוף ליניארי]] של וקטורים כשה[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] של כל וקטור המיצג מצב פיזיקלי חייבת להיות שווה אחד.

===מדידות===
אם מערכת נמצאת במצב <math>|\psi\rangle</math> ה[[הסתברות]] שנמצא אותה במצב <math>|\chi\rangle</math> נתונה על ידי [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]] של המכפלה הפנימית בריבוע: <math>| \langle\psi|\chi\rangle|^2</math> ו[[ערך תצפית (תורת הקוונטים)|ערך התצפית]] של משתנה מדיד <math>\ M</math> נתון על ידי <math>\langle\psi|M|\psi\rangle</math>.

==דוגמאות==
===שתי דרגות חופש===
נחשוב על [[מערכת קוונטית בעלת שני מצבים|מערכת בעלת שני מצבים]], נניח [[חלקיק]] היכול להימצא באחת משתי קופסאות. נוכל לייצג מצב אחד עם וקטור <math>|1\rangle </math> ואת המצב השני עם <math>|2\rangle </math> כשנדרוש שהווקטורים מנורמלים <math>\langle 1|1\rangle = \langle 2|2\rangle = 1</math> ושאם המערכת נמצאת במצב אחד הסיכוי למצוא אותה בשני הוא אפס: <math>\langle 2|1\rangle = 0</math>. מצב כללי הוא [[סופרפוזיציה קוונטית]] של המצבים שניתן לרשום כצירוף ליניארי: <math>|\psi\rangle=\alpha |1\rangle + \beta |2\rangle </math> כש <math>\ \alpha</math> ו<math>\ \beta</math> הם [[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]]. מהנרמול של <math>|\psi\rangle</math> נקבל <math>\ |\alpha|^2+|\beta|^2=1</math> והסיכויים למצוא את המערכת במצבים <math>|1\rangle </math> ו<math>|2\rangle </math> הם <math>\ |\alpha|^2</math> ו<math>\ |\beta|^2</math> בהתאמה.

את כל זה ניתן לרשום כ[[וקטור עמודה|וקטורי עמודה]]

:<math>|\psi\rangle = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{bmatrix} ~~~~~  |2\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} ~~~~~ |1\rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}</math>

ואת המרחב הדואלי כ[[וקטור שורה|וקטורי שורה]]:

:<math> \langle 1 | = \begin{bmatrix} 1 \; 0 \\ \end{bmatrix}</math>

:<math> \langle 2 |= \begin{bmatrix} 0 \; 1 \\ \end{bmatrix}</math>

:<math>\langle \psi | = \begin{bmatrix} \alpha^* \; \beta^* \\ \end{bmatrix}</math>

כשסימן הכוכבית מיצג [[צמוד מרוכב]].

אם קיים [[גודל פיזיקלי]] של המערכת השונה בכל מצב, לדוגמה אם האנרגיה של המערכת במצבים <math>|1\rangle </math> ו<math>|2\rangle </math> היא <math>\ E_1</math> ו<math>\ E_2</math> בהתאמה, נוכל לתאר זאת בעזרת המטריצה:

:<math>M = \begin{bmatrix} E_1 \; 0 \\ 0 \; E_2 \\ \end{bmatrix} </math>

שבמקרה זה היא גם המילטוניאן של המערכת וערך התצפית שלה למצב <math>| \psi \rangle</math> נתון על ידי

:<math>\langle \psi |M | \psi \rangle = \begin{bmatrix} \alpha^* \; \beta^* \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_1 \; 0 \\ 0 \; E_2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{bmatrix}= E_1 |\alpha|^2+ E_2 |\beta|^2 </math>

===מרחב הקואורדינטות===
נחשוב על חלקיק היכול לנוע רק על ציר ה-x. ב[[מכניקת הקוונטים]] מצבו מיוצג על ידי [[פונקציית גל]] המתאימה מספר מרוכב לכל נקודה על ציר ה-x. זהו למעשה וקטור מממד אינסופי, כשאיברי הווקטור הם ערכי פונקציית הגל:

:<math>|\psi (x)\rangle = \begin{bmatrix} \psi (-\infty)\\ . \\ . \\ \psi (- 2 dx)\\ \psi (-dx)\\ \psi (0) \\ \psi (dx)\\ \psi (2 dx)\\ . \\ . \\ \psi (\infty) \end{bmatrix}</math>.

המכפלה הפנימית של וקטור זה עם עצמו במרחב הדואלי נותנת את הנירמול:

:<math>\langle \psi(x)|\psi (x)\rangle = \begin{bmatrix} \psi^* (-\infty)\; . \; . \; . \; \psi^* (\infty) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi (-\infty)\\ . \\ . \\ . \\ \psi (\infty) \end{bmatrix} = \int_{-\infty}^\infty | \psi(x)|^2 dx</math>.

== ראו גם ==
*[[מצב קוונטי]]
*[[סימון דיראק]]
*[[מצב עצמי]]
*[[מכניקה קוונטית]]
*[[מטריצת צפיפות]]
*[[ספין (פיזיקה)|ספין]]
*[[קיוביט]]

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:מכניקת הקוונטים]]