הצגת המקור של הדף "וקטור מקרי"

ב[[תורת ההסתברות]], וב[[סטטיסטיקה]], '''וקטור מקרי''' (או '''וקטור אקראי''') הוא [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] של [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]]. לדוגמה, ניתן להתייחס לגיל, לגובה ולמשקל של אדם שנבחר באופן אקראי, כאל וקטור מקרי עם שלושה משתנים מקריים.

== הגדרה תאורטית ==
בהינתן [[מרחב הסתברות]], <math>(\Omega, \mathcal{F}, \Pr)</math>, כאשר <math>\Omega</math> הוא [[מרחב הסתברות|מרחב המדגם]], <math>\mathcal{F}</math> היא [[סיגמא-אלגברה|הסיגמה-אלגברה]] (קבוצת כל האירועים), ו-<math>\Pr</math> היא מידת ההסתברות (פונקציה המחזירה [[הסתברות|את ההסתברות]] עבור כל אירוע). וקטור מקרי הוא [[פונקציה מדידה]] המוגדרת על [[מרחב המדגם]] ו[[תמונה (מתמטיקה)|תמונתה]] נמצאת ב-<math>\mathbb{R}^n</math>,
<math>\operatorname{X}:\Omega\mapsto\R^n</math>, ולכן ניתן לסמנו כו[[וקטור עמודה]]:
:<math>\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_{1} \\ \vdots \\ X_{n} \end{bmatrix}</math>
או כווקטור שורה:
:<math> \mathbf{X} = [X_1,\dots,X_n] </math>

שמרכיביו הם משתנים מקריים, כלומר פונקציות מדידות, <math>X_i:\Omega\mapsto\R</math>, <math>1\leq i \leq n</math>, המוגדרות על אותו [[מרחב הסתברות]], <math>(\Omega, \mathcal{F}, \Pr)</math>.{{הערה|Billingsley, P. (2017). "Probability and measure". p.183, John Wiley & Sons.}}

הווקטור המקרי <math>\operatorname{X}</math> מגדיר את '''פונקציית מידת ההתפלגות''' מה[[סיגמא-אלגברת בורל]] של המרחב האוקלידי ה-<math>n</math>-י למספר ממשי בין 0 ל-1 <math> \nu : \mathcal{R}^n \mapsto [0,1]</math> באופן הבא:

לכל [[קבוצת בורל]] <math>B\in \mathcal{R}^n</math> מתקיים <math>\nu(B )=\Pr(X^{-1}( B) )</math> (או באופן שקול, <math>\nu(B)=\Pr(X\in B)</math>).

במקרה כזה, אם קיימת פונקציה לא שלילית <math>f_X:R^n \mapsto [0,\infty]</math> המקיימת <math>\nu(B)=\int_B f_X \text{d}\lambda_n= \int_B f_X \text{d}x</math>, כאשר האינטגרל הוא [[אינטגרל לבג]]
{{הערה|Billingsley, P. (2017). "Probability and measure". p.213, John Wiley & Sons.}} ו-<math>\lambda_n</math> היא [[מידת לבג]], אז <math>f_X</math> היא '''פונקציית צפיפות''' של הווקטור המקרי <math>\operatorname{X}</math>.
{{הערה|Billingsley, P. (2017). "Probability and measure". p.225, John Wiley & Sons.}}

== פונקציית ההתפלגות ==
[[התפלגות|ההתפלגויות]] של כל אחד מהמשתנים המקריים המרכיבים <math>X_i</math> נקראות [[התפלגות שולית|התפלגויות שוליות]]. [[התפלגות מותנית|ההתפלגות המותנית]] של <math>X_i</math> בהינתן <math>X_j</math>, היא ההתפלגות של <math>X_i</math> כאשר ידוע ערכו של <math>X_j</math>.

'''פונקציית ההתפלגות המצטברת''' <math>F_{\mathbf{X}} : \R^n \mapsto [0,1]</math> של וקטור מקרי <math>\mathbf{X}=(X_1,\dots,X_n)^\mathsf{T} </math> מוגדרת על ידי:{{הערה|Gallager, Robert G. (2013). ''Stochastic Processes Theory for Applications''. p.15, Cambridge University Press. {{מסת"ב|978-1-107-03975-9|אנגלית=כן}}. }}

:<math>F_X(\mathbf{x})=\Pr(X_1 \leq x_1,...,X_n \leq x_n)</math> כאשר <math>\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n)^\mathsf{T}</math>.

== פעולות על וקטורים מקריים ==
ניתן לבצע עם וקטורים מקריים את אותן [[וקטור אוקלידי|פעולות אלגבריות]] כמו וקטורים לא מקריים: [[חיבור]], [[חיסור]], כפל ב[[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]] ו[[מכפלה סקלרית|מכפלות פנימיות]].

=== העתקות אפיניות ===
באופן דומה, וקטור מקרי חדש <math>\mathbf{Y}</math> ניתן להגדיר על ידי החלת [[טרנספורמציה אפינית|העתקה אפינית]] <math>g\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> על וקטור אקראי <math>\mathbf{X}</math>:

: <math>\mathbf{Y}=\mathbf{A}\mathbf{X}+b</math>, כאשר <math>\mathbf{A}</math> היא מטריצה <math>n \times n</math> ו-<math>b</math> הוא וקטור עמודה <math>n \times 1</math>.

אם <math>\mathbf{A}</math> היא [[מטריצה הפיכה]] ו-<math>\textstyle\mathbf{X}</math> משתנה מקרי עם פונקציית צפיפות <math>f_{\mathbf{X}}</math>, אז [[פונקציית צפיפות|פונקציית הצפיפות]] של <math>\mathbf{Y}</math> היא:

: <math>f_{\mathbf{Y}}(y)=\frac{f_{\mathbf{X}}(\mathbf{A}^{-1}(y-b))}{|\det\mathbf{A}|}</math>.

=== העתקות הפיכות ===
אם נתונה <math>g</math> העתקה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד ערכית]] מתת-קבוצה פתוחה <math>\mathcal{D}</math> שֶׁל <math>\mathbb{R}^n</math> על תת-קבוצה <math>\mathcal{R}</math> שֶׁל <math>\mathbb{R}^n</math>, ונניח שלהעתקה <math>g</math> יש [[נגזרת חלקית|נגזרות חלקיות]] רציפות ב-<math>\mathcal{D}</math> כמו כן, נניח שה[[יעקוביאן]] של <math>g</math> לא מתאפס ב - <math>\mathcal{D}</math>. בנוסף נניח כי לווקטור מקרי ממשי <math>\mathbf{X}</math> יש פונקציית צפיפות <math>f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x})</math> המקיימת <math> \Pr(\mathbf{X} \in \mathcal{D}) = 1</math>. במקרה כזה, לווקטור המקרי <math>\mathbf{Y}=g(\mathbf{X})</math> יש פונקציית צפיפות:

: <math>\left. f_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y})=\frac{f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z})}{\left |\det\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{y}}\right |} \right |_{\mathbf{z}=g^{-1}(\mathbf{y})} \mathbf{1}(\mathbf{y} \in R_\mathbf{Y})</math>

כאשר <math>\mathbf{1}</math> היא [[פונקציה מציינת]] ו-<math>R_\mathbf{Y} = \{ \mathbf{y} = g(\mathbf{x}): f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) > 0 \} \subseteq \mathcal{R} </math> הוא ה[[תומך (מתמטיקה)|תומך]] של <math>\mathbf{Y}</math>.{{הערה|Lapidoth, Amos (2009). ''A Foundation in Digital Communication''. Cambridge University Press. p. 290-291 {{מסת"ב|978-0-521-19395-5|אנגלית=כן}}.}}

== התוחלת ==
ה[[תוחלת]] של וקטור מקרי הוא וקטור <math>\operatorname{E}[\mathbf{X}]</math> שרכיביו הם התוחלות של המשתנים המקריים, רכיביו של <math>\mathbf{X}</math>.{{הערה|Gubner, John A. (2006). Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers. Cambridge University Press. p.333 {{מסת"ב|978-0-521-86470-1|אנגלית=כן}}.}}

:<math>\operatorname{E}[\mathbf{X}] = \begin{bmatrix} \operatorname{E}[X_{1}] \\ \vdots \\\operatorname{E} [X_{n}] \end{bmatrix}</math>

== שונות ושונות משותפת ==
=== הגדרות ===
'''מטריצת השונות''' של הווקטור המקרי <math>\mathbf{X}</math>, שנסמנה ב-<math>\operatorname{Var}(\mathbf{X})</math> (נקראת גם '''מומנט מרכזי שני''') היא [[מטריצה]] <math>n \times n</math> שרכיבה ה-<math>(i,j)</math> הוא [[שונות משותפת|
<math>\operatorname{Cov}(X_i, X_j)</math>]] שהיא [[שונות משותפת|השונות המשותפת]] בין המשתנים המקריים <math>X_i</math> ו-<math>X_j</math> (<math>\operatorname{Cov}(X_i,X_i)=\operatorname{Var}(X_i)</math>).
<math display="block"> \boldsymbol \operatorname{Var}(\operatorname{X})= \begin{bmatrix}
{\operatorname{Var} \left (X_{1} \right)} & \operatorname{Cov} \left (X_{1},X_{2} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{1},X_{3} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left (X_{1},X_{n)} \right) \\
\operatorname{Cov} \left (X_{2},X_{1} \right) & \operatorname{Var} \left(X_{2} \right) & \operatorname{Cov} \left(X_{2},X_{3} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left(X_{2},X_{n} \right) \\
\operatorname{Cov}\left (X_{3},X_{1} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{3},X_{2} \right) & \operatorname{Var} \left (X_{3} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left (X_{3},X_{n} \right) \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\operatorname{Cov} \left (X_{n},X_{1} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{n},X_{2} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{n},X_{3} \right) & \cdots & \operatorname{Var} \left (X_{n} \right) \\
\end{bmatrix}~</math>

מטריצת השונות היא:
:<math>\operatorname{Var}(\mathbf{X})=\operatorname{E}[[\mathbf{X}-\operatorname{E}[\mathbf{X}]]
 [\mathbf{X}-\operatorname{E}[ \mathbf{X}]]^T ]</math>

לאחר פיתוח של הביטוי ניתן לקבל שמתקיים:
:<math>\operatorname{Var}(\mathbf{X})=
 \operatorname{E}[\mathbf{X}\mathbf{X}^T ]-
 \operatorname{E}[\mathbf{X}]\operatorname{E}[\mathbf{X}]^T</math>

'''מטריצת השונות המשותפת''' בין שני וקטורים מקריים <math>\mathbf{X}</math> ו-<math>\mathbf{Y}</math> (ל-<math>\mathbf{X}</math> שיש <math>n</math> רכיבים ול-<math>\mathbf{Y}</math> יש <math>p</math> רכיבים) שנסמנה <math>\operatorname{Cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y})</math> היא מטריצה <math>n \times p</math> כאשר הרכיב ה-<math>(i,j)</math> הוא <math>\operatorname{Cov}(X_i,X_j)</math>, שהיא השונות המשותפת בין <math>X_i</math> ל-<math>X_j</math>:

<math display="block"> \boldsymbol \operatorname{Cov}(\operatorname{X},\operatorname{Y})= \begin{bmatrix}
{\operatorname{Cov} \left (X_{1},Y_{1} \right)} & \operatorname{Cov} \left (X_{1},Y_{2} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{1},Y_{3} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left (X_{1},Y_{p)} \right) \\
\operatorname{Cov} \left (X_{2},Y_{1} \right) & \operatorname{Cov} \left(X_{2},Y_{2} \right) & \operatorname{Cov} \left(X_{2},Y_{3} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left(X_{2},Y_{p}\right) \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\operatorname{Cov} \left (X_{n},X_{1} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{n},X_{2} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{n},X_{3} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left (X_{n},Y_{p} \right) \\
\end{bmatrix}~</math>

מתקיים:
:<math>\operatorname{Cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y})=
\operatorname{E}[[\mathbf{X}-\operatorname{E}[\mathbf{X}] ] [\mathbf{Y}-\operatorname{E}[\mathbf{Y}]]^T]
=\operatorname{E}[\mathbf{X}\mathbf{Y}^T]-\operatorname{E}[\mathbf{X}]\operatorname{E}[\mathbf{Y}]^T</math>

=== תכונות ===
* מטריצת השונות היא [[מטריצה סימטרית]], <math>\operatorname{Var}(\mathbf{X})^T =\operatorname{Var}(\mathbf{X})</math>.
* מטריצת השונות היא [[מטריצה חצי מוגדרת חיובית|מטריצה חיובית למחצה]], כלומר, לכל <math>\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n</math> מתקיים, <math>\mathbf{a}^T \operatorname{Var}(\mathbf{X})\mathbf{a} \ge 0</math>.
* מטריצת השונות המשותפת <math>\operatorname{Cov}(\mathbf{Y},\mathbf{X})</math> היא המטריצה המשוחלפת של המטריצה <math>\operatorname{Cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y})</math>, כלומר, <math>\operatorname{Cov}(\mathbf{Y},\mathbf{X}) = \operatorname{Cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y})^T</math>.

=== וקטורים מקריים לא מתואמים ===
שני וקטורים מקריים <math>\mathbf{X}=(X_1,...,X_m)^T </math> ו - <math>\mathbf{Y}=(Y_1,...,Y_n)^T </math> נקראים '''לא מתואמים''' אם <math>\operatorname{E}[\mathbf{X} \mathbf{Y}^T] = \operatorname{E}[\mathbf{X}]\operatorname{E}[\mathbf{Y}]^T</math>.

הם אינם מתואמים [[אם ורק אם]] מטריצת השונות המשותפת שלהם <math>\operatorname{Cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y})</math> היא מטריצת האפס.

== אורתוגונליות ==
שני וקטורים מקריים <math>\mathbf{X}=(X_1,...,X_n)^T </math> ו-<math>\mathbf{Y}=(Y_1,...,Y_n)^T </math> נקראים '''אורתוגונליים''' אם, <math>\operatorname{E}[\mathbf{X}^T \mathbf{Y}] = 0</math>.

== אי-תלות ==
שני וקטורים אקראיים <math>\mathbf{X}</math> ו-<math>\mathbf{Y}</math> נקראים '''בלתי-תלויים''' אם לכל <math>\mathbf{x}</math> ו-<math>\mathbf{y}</math> מתקיים:
:<math>F_{\mathbf{X,Y}}(\mathbf{x,y}) = F_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) \cdot F_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y})</math>

כאשר <math>F_{\mathbf{X}}(\mathbf{x})</math> ו-<math>F_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y})</math> הן פונקציות ההתפלגות המצטברות של <math>\mathbf{X}</math> ו-<math>\mathbf{Y}</math> ו-<math>F_{\mathbf{X,Y}}(\mathbf{x,y})</math> היא פונקציית ההתפלגות המצטברת המשותפת שלהם. אי-תלות של <math>\mathbf{X}</math> ו-<math>\mathbf{Y}</math> ניתנת לסימון על ידי <math>\mathbf{X} \perp\!\!\!\perp \mathbf{Y}</math>.

== פונקציה אופיינית ==
[[פונקציה אופיינית (הסתברות)|הפונקציה האופיינית]] של וקטור מקרי <math> \mathbf{X} </math> עם <math> n </math> רכיבים היא פונקציה <math>\mathbb{R}^n \to \mathbb{C}</math> שממפה כל וקטור <math>\mathbf{\omega} = (\omega_1,\ldots,\omega_n)^T</math> למספר מרוכב{{הערה|Lapidoth, Amos (2009). ''A Foundation in Digital Communication''. Cambridge University Press. p.468. {{מסת"ב|978-0-521-19395-5|אנגלית=כן}}.}}:

: <math> \varphi_{\mathbf{X}}(\mathbf{\omega}) = \operatorname{E} \left [ e^{i(\mathbf{\omega}^T \mathbf{X})} \right ] = \operatorname{E} \left [ e^{i(\omega_1 X_1 + \ldots + \omega_n X_n)} \right ]</math>.

== יישומים ==
=== התאוריה של תיקי השקעות ===
ב[[התאוריה המודרנית של תיקי השקעות|תאוריה של תיקי השקעות]], המטרה היא לרוב לבחור בתיק עם מגוון נכסים כך שלתשואה של התיק יש את מאפיינים הרצויים. לדוגמה, ייתכן שתרצה לבחור בתיק עם [[תשואה]] בעלת השונות הנמוכה ביותר. כאן הווקטור המקרי הוא הווקטור <math>\mathbf{r}</math> של התשואות על רשימה של נכסים, ותשואת התיק <math>p</math> (סקלר מקרי) היא [[מרחב מכפלה פנימית|המכפלה הפנימית]] של וקטור התשואות עם וקטור משקלים <math>w</math> - לפי חלוקת העלות של הנכסים השונים. במקרה כזה, <math>p=w^T \mathbf{r}</math>, היא תשואת התיק. תוחלת התשואה היא <math>w^T\operatorname{E} (\mathbf{r})</math> וניתן להראות שהשונות של תשואת התיק היא <math>w^TC w</math>, כאשר <math>C </math> היא מטריצת השונות של <math>\mathbf{r}</math>.

=== רגרסיה ליניארית ===
ב[[רגרסיה ליניארית|רגרסיה הליניארית]], יש נתונים על <math>n</math> תצפיות על משתנה תלוי <math>y</math> ו-<math>n</math> תצפיות על כל אחד מ-<math>k</math> משתנים בלתי תלויים. התצפיות על המשתנה התלוי הן הרכיבים של ווקטור <math>y</math>; התצפיות על כל משתנה בלתי תלוי מהוות את הרכיבים של וקטורי עמודות, שמהווים את העמודות למטריצה <math>X</math> (לא מציינת וקטור מקרי בהקשר זה) של התצפיות על המשתנים הבלתי תלויים. משוואת הרגרסיה הבאה היא מודל עבור התהליך שייצר את הנתונים:

: <math>y = X \beta + e</math>

כאשר <math>\beta</math> הוא וקטור קבוע אך לא ידוע של ''<math>k</math>'' מקדמים, ו-''<math>e</math>'' הוא וקטור מקרי לא ידוע המשקף טעויות אקראיות בערכי המשתנה התלוי. ישנן מגוון של שיטות (למשל: [[שיטת הריבועים הפחותים]]) לאמוד את הווקטור <math>\beta</math> באמצעות וקטור <math>\hat \beta</math>, ואת הווקטור <math>e</math> באמצעות <math>\hat e</math>, המקיימים <math>\hat e = y - X \hat \beta</math>. לאחר מכן סטטיסטיקאים מנתחים את המאפיינים של <math>\hat \beta</math> ו-<math>\hat e</math>, שהם ווקטורים מקריים שכן הם פונקציה של התצפיות שמהוות את הווקטור <math>y</math>.

=== סדרות עתיות וקטוריות ===
את ההשתנות של וקטור מקרי <math>\mathbf{X}</math> לאורך זמן ניתן לעיתים לתאר באמצעות מודל של אוטורגרסיה וקטורית באופן הבא:

: <math>\mathbf{X}_t = c + A_1 \mathbf{X}_{t-1} + A_2 \mathbf{X}_{t-2} + \cdots + A_p \mathbf{X}_{t-p} + \mathbf{e}_t, \, </math>

<math>\mathbf{X}_{t-i}</math> הוא וקטור מקרי המבטא תצפית שקרתה <math>i</math> יחידות זמן לפני זמן <math>t</math>, ''<math>c</math>'' הוא וקטור של קבועים, <math>A_i</math> היא [[מטריצה]] קבועה בזמן ו-<math>\mathbf{e}_t</math> הוא וקטור מקרי של שגיאות.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:סטטיסטיקה]]
[[קטגוריה:תורת ההסתברות]]