הצגת המקור של הדף "ז'וזף-לואי לגראנז'"

{{מדען
|שם=ז'וזף-לואי לגראנז'
|שם בשפת המקור=Joseph Louis Lagrange
|מקום לידה=[[קובץ:State Flag of the Savoyard States (late 16th - late 18th century).svg|קישור=ממלכת סרדיניה|גבול|22x16pxpx|ממלכת סרדיניה]]  [[טורינו]], [[ממלכת סרדיניה]]
|מקום פטירה={{דגל|צרפת}} [[פריז]], [[הקיסרות הראשונה|הקיסרות הצרפתית]]
|תאריך לידה=[[25 בינואר]] [[1736]]
|תאריך פטירה=[[10 באפריל]] [[1813]]
|תמונה=[[קובץ:Langrange portrait.jpg|מרכז]]
|כיתוב=
|תרומות עיקריות=
|ענף מדעי=
|הערות=תלמידים מפורסמים: [[ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה]], [[ג'ובאני פלנה]], [[סימאון דני פואסון]]
|מדינה=[[איטליה]], [[צרפת]]
}}
'''ז'וזף-לואי לגראנז'''' (ב[[צרפתית]]: '''Joseph-Louis Lagrange'''; {{כ}}[[25 בינואר]] [[1736]] – [[10 באפריל]] [[1813]]) היה [[מתמטיקאי]] ו[[אסטרונום]] [[איטלקים|איטלקי]] ממוצא צרפתי מצד אביו, שהתאזרח  ב[[צרפת]] וחי גם ב[[פרוסיה]]. פטרונו של לגראנז' במשך עשרים שנה היה [[פרידריך השני, מלך פרוסיה|פרידריך השני]], שכינה אותו "גדול המתמטיקאים באירופה". על שמו של לגראנז' נקראים עשרות מושגים ובהם [[משפט הערך הממוצע של לגראנז']] ב[[חשבון אינפיניטסימלי]], [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']] ב[[תורת החבורות]], [[משפט ארבעת הריבועים של לגראנז']] ב[[תורת המספרים]]; וב[[מכניקה אנליטית]] – האופרטור [[לגראנז'יאן]] ו[[משוואות אוילר-לגראנז']].

לגראנז' נחשב למתמטיקאי צרפתי, אך האיטלקים טוענים כי הוא בעצם איטלקי, היות שלמשפחתו יש ענף איטלקי גדול, ולגראנז' עצמו נולד בעיר [[טורינו]] שב[[איטליה]], שם היה אביו פקיד בכיר בחצרו של מלך [[סרדיניה]]. למרות מעמדו הבכיר של האב, המשפחה לא הייתה עשירה, עקב הפסדים כספיים כבדים שנחל האב בהשקעות לא מוצלחות. אך ההסתבכות הפיננסית הועילה לעולם ה[[מתמטיקה]], שכן כעבור שנים אמר לגראנז': "לו הייתי עשיר, לא הייתי מקדיש את חיי למתמטיקה".

לגראנז' היה גם מחלוצי ה[[מכניקה אנליטית|מכניקה האנליטית]] כאשר פיתח פורמליזם חזק ואלגנטי יותר ל[[חוקי ניוטון]], המתבסס על [[חשבון וריאציות]]. על בסיס עבודתו פיתח [[ויליאם רואן המילטון]] את המכניקה ההמילטוניאנית, שהייתה אבן דרך חשובה בניסוח מתקדם של חוקי הפיזיקה.

==ביוגרפיה==
===השנים הראשונות===

לגראנז' נולד ב-1736 ב[[טורינו]] שב[[צפון איטליה]], בשם ג'וזפה לודוביקו לגראנג'ה (Giuseppe Lodovico Lagrangia). אביו, אשר היה מופקד על אוצר צבא [[סרדיניה|ממלכת סרדיניה]], היה אמיד ובעל מעמד חברתי גבוה, אך עוד לפני שבנו התבגר, הוא איבד את מרבית רכושו בספקולציות, ולגראנז' הצעיר נאלץ לסמוך על יכולותיו שלו. הוא התחנך במכללה של טורינו, ורק כאשר מלאו לו שבע-עשרה שנה החל להראות סימני עניין במתמטיקה. עניינו בנושא התעורר בעקבות דיווח של [[אדמונד היילי]] אשר בו נתקל במקרה. ללא עזרה ובודד השליך עצמו ללימודי מתמטיקה; בסוף שנה של לימודים בעמל רב ורצוף הוא כבר היה מתמטיקאי מוצלח ונעשה מרצה בבית הספר ל[[ארטילריה]].

לגראנז' לא למד מתמטיקה באופן מסודר, והדבר ניכר במאמר הראשון שחיבר, בגיל תשע-עשרה שנה, שעסק באנלוגיה בין [[משפט הבינום]] ל[[כלל לייבניץ]]. הוא אף העז ושלח את מאמרו ל[[לאונרד אוילר]]. זמן קצר לאחר מכן, גילה כי התוצאה אליה הגיע כבר הופיעה בהתכתבות בין [[לייבניץ]] ו[[יוהאן ברנולי]]. חרף התחלה בלתי מרשימה זו, הוא המשיך לעסוק במחקר, וב-1754 מצא פתרון ל[[בעיית ההיקף הקבוע]], שהייתה נושא לדיון במשך כחמישים שנה. שוב שלח את עבודתו לאוילר.

אוילר זיהה את הכלליות של השיטה שבה השתמש לגראנז' וכן את עליונותה על שיטתו; ובמחווה נדירה הוא עיכב מאמר שכתב לפני כן כדי שללגראנז' יהיה מספיק זמן להשלים את עבודתו, המהווה בסיס לענף הידוע היום בשם "[[חשבון וריאציות]]". את השם לענף החדש במתמטיקה הציע אוילר. צעד זה הציב את לגראנז' בשורה הראשונה של המתמטיקאים בתקופתו.

===Miscellanea Taurinensia===

ב-[[1755]], והוא בן 19 בלבד, מונה לגראנז' לפרופסור למתמטיקה באוניברסיטה של טורינו, העיר שהייתה לימים ([[1861]]) עיר הבירה הראשונה של איטליה המאוחדת. כעבור זמן קצר הוצעו לו משרות אקדמיות יוקרתיות יותר, אך הוא העדיף להישאר בעיר מולדתו, שם הייתה לו האפשרות לעסוק במתמטיקה בשלווה. במשך השנים הבאות פרסם שורה של מאמרים חשובים בתחומים שונים במתמטיקה וב[[פיזיקה]].

בשנת [[1758]] ייסד לגראנז' חברה בעזרת כמה מתלמידיו, שלאחר מכן אוחדה לאקדמיה של טורינו, ומרבית מכתביו המוקדמים נמצאים בחמשת הכרכים הראשונים של פעולותיה, אשר נקראים בשמם "Miscellanea Taurinensia". רבים מהם הם מאמרים מדעיים סבוכים. בכרך הראשון נמצא מאמר בנושא התקדמות גלי קול; שם הוא מתקן טעות שעשה [[אייזק ניוטון|ניוטון]], מקבל את ה[[משוואה דיפרנציאלית|משוואה הדיפרנציאלית]] הכללית של התקדמות הקול בחומר ([[משוואת הגלים]]), ואף מביא פתרון שלה עבור תנועה בקו ישר. בספר זה הוא גם נותן פתרון מלא לבעיית המיתר המוחזק בקצותיו. במאמר זה הוא מצביע על חוסר כלליות בפתרונות של [[ברוק טיילור|טיילור]], [[ז'אן לה רון ד'אלמבר|ד'אלמבר]] ואוילר ומגיע למסקנה שצורת המיתר בכל רגע נתון <math>\ t</math> נתונה על ידי <math>\ y = a \sin (mx) \sin (nt)</math>. המאמר מסיים בדיון בהדים, פעימות וצלילים מורכבים. מאמרים אחרים בכרך זה הם על [[גבול (מתמטיקה)|סדרות מתכנסות]], [[הסתברות]] ועל [[חשבון וריאציות]].

הכרך השני מכיל מאמר ארוך שמכיל תוצאות של כמה מאמרים מהראשון על תורת הסימונים בחשבון הווריאציות והוא גם מראה את שימושו על ידי הסקה של [[עקרון הפעולה המינימלית]] ועל ידי פתרון של כמה בעיות ב[[דינמיקה (מכניקה)|דינמיקה]].

הכרך השלישי מכיל פתרונות של כמה בעיות בדינמיקה בדרך של חשבון וריאציות, כמה מאמרים על [[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון אינטגרלי]], פתרון לבעיה שהציג [[פייר דה פרמה|פרמה]] שהיא מציאת מספר <math>\ x</math> כך ש-<math>\ nx^2+1</math> יהיה ריבוע שלם, כאשר <math>\ n</math> הוא שלם נתון שאיננו ריבוע, וגם את המשוואות הדיפרנציאליות של [[בעיית שלושת הגופים|תנועת שלושה גופים]] הנעים תחת השפעת משיכה הדדית.

===בעיות בריאות===

בשנת [[1761]] נחשב לגראנז' כאחד המתמטיקאים הגדולים ביותר שחיו בתקופה, אך המאמץ הבלתי פוסק של תשע השנים שחלפו השפיע רבות על בריאותו ורופאיו לא הסכימו להיות אחראים יותר לבריאותו אם לא ינוח ויתאמן. אף על פי שבריאותו הוטבה באופן זמני, עצביו מעולם לא חזרו לתקנם, והוא סבל מהתקפות של [[מלנכוליה]].

עבודתו הבאה ב-[[1764]] על תנודות [[הירח]] ([[ליברציה]]) וההסבר מדוע אותן פנים של הירח תמיד פונות לכדור הארץ, בעיה שהוא פתר בעזרת [[עבודה וירטואלית]]. הפתרון שלו מעניין במיוחד כיוון שהוא כולל את תחילת הרעיון של משוואות תנועה כללית, אותן הוא ניסח לראשונה באופן פורמלי ב-[[1780]].

=== חצר המלך ===

לגראנז' החל בנסיעה ל[[לונדון]], אך נפל למשכב ב[[פריז]]. הוא התקבל שם בכבוד רב, אך בהמשך נאלץ לעזוב את החברה המבריקה של עיר זו ולחזור לחיים הפרובינציאליים של טורינו. אף על פי כן, המשך שהייתו ב[[פיימונטה]] הייתה קצרה. ב-1766 כתב לו [[פרידריך הגדול]] שהוא, "המלך הגדול של אירופה", מעוניין לארח אותו, "המתמטיקאי הגדול של אירופה", בחצרו. לגראנז' הסכים להצעתו ובילה את עשרים השנים הנותרות ב[[פרוסיה]], שם הוא חיבר מספר רב של מאמרים שפורסמו בברלין ובטורינו, ואת עבודתו המונומנטלית "[[מכניקה אנליטית]]" (Méchanique Analytique).

ב[[ברלין]] החליף לגראנז' את אוילר כראש המחלקה למתמטיקה ב[[אוניברסיטת ברלין]]. שם המשיך בעבודתו בעיקר בתחום ה[[אסטרונומיה]], וזכה במספר פרסים חשובים על עבודותיו. עם זאת עסק גם בתחומים אחרים. הוא הוכיח מספר משפטים חשובים ב[[תורת המספרים]], ובהם את [[משפט ארבעת הריבועים]], האומר כי כל שלם חיובי הוא סכום של ארבעה ריבועים. הוא גם חקר משוואות ממעלה רביעית, והראה מדוע משוואות אלה ניתנות לפתרון בעזרת שורשים. עבודה זו מהווה את הבסיס ל[[תורת החבורות]].

לגראנז' היה חביב המלך, שהיה משוחח עמו רבות על היתרונות של חיים רגילים. את הלקח לגראנז' למד, ומאז לימד את נפשו ואת גופו כאילו היו מכונות, ומצא בדרך של ניסוי את כמות העבודה שהוא מסוגל לעשות מבלי להישבר. בכל לילה היה שם לעצמו מטרה ממשית ליום המחרת, ובסיום כל ענף בנושא שכתב, היה כותב סיכום כדי לראות אילו נקודות בהדגמה או בחומר היו ניתנות לשיפור. הוא תמיד חשב על נושא המאמרים שלו עד הסוף והיה כותב אותם ללא מחיקות כלל.

במשך שנותיו בברלין הידרדר מצבו הבריאותי, ומצבה של רעייתו אף החמיר אף יותר. לאחר מותה ב-[[1783]] שקע לגראנז' בדיכאון, ושהותו בברלין שוב לא הייתה מאושרת כמקודם.

אוניברסיטאות רבות ניסו לפתותו לשוב לאיטליה, אך ב-[[1787]] החליט לעבור דווקא ל[[פריז]], שם הוצעה לו באקדמיה למדעים משרה שלא כללה חובת הוראה. הוא בילה שם את שארית הקריירה שלו, ואף שרד את [[המהפכה הצרפתית]], הודות לאופיו הקונפורמיסטי וכן הודות לעובדה שהשלטונות הצרפתיים עצמם היו מעוניינים לשמור על שלומו, ופטרו אותו ממספר גזירות שהוטלו על נתינים זרים. הוא המשיך בעבודתו, ופרסם מספר ספרים שסיכמו את תרומותיו למדע. [[נפוליאון]] העניק לו את אות [[לגיון הכבוד]], וכן תואר אצולה.

לגראנז' מת בפריז ב-[[10 באפריל]] [[1813]]. זכרו מונצח [[72 השמות החרוטים על מגדל אייפל|בלוח הזיכרון שעל מגדל אייפל]], ועל שמו נקראים רחובות בפריז ובטורינו. שלל מונחים בפיזיקה ומתמטיקה, לרבות {{פירושון|משפט לגראנז'|משפטי לגראנז'}} קרויים על שמו.

אחד ממכתשי הירח, ו[[אסטרואיד]] {{משמאל לימין|1006 Lagrangea}} קרויים על שמו.{{הערה|{{cite book|url=https://link.springer.com/referenceworkentry/10.1007%2F978-3-540-29925-7_1007 |title=(1006) Lagrangea. In: Dictionary of Minor Planet Names |publisher=Springer |date=2003 |ISBN=978-3-540-29925-7 |doi=10.1007/978-3-540-29925-7_1007}}}}

== עבודות ==

פעילויות המחשבה שלו בזמן אותן עשרים שנה היו יוצאות דופן. לא רק שהוא יצר את "Méchanique Analytique", הוא אף תרם בין מאה למאתיים מאמרים לאקדמיות של ברלין, טורינו ופריז. כמה מהם הן למעשה עבודות מקיפות, וכולן ללא יוצא דופן בעלות מידה רבה של מצוינות. חוץ מתקופה קצרה בה היה חולה, כשאז הוציא בממוצע מאמר אחד בחודש. מבין אלו, העבודות הבאות חשובות במיוחד:

ראשית, תרומתו את הכרכים הרביעי והחמישי של ה-"Miscellanea Taurinensia"{{כ}} ([[1766]]–[[1773]]). החשוב מביניהם הוא כרך מ-[[1771]], שבו הוא משוחח על מספר תצפיות [[אסטרונומיה|אסטרונומיות]] שצריכות להיות משולבות כדי להשיג את התוצאה הסבירה ביותר. ומאוחר יותר, תרומתו של מאמר על לחץ שמפעילים [[נוזל]]ים בתנועה, והשני על אינטגרציה בעזרת [[סדרה (מתמטיקה)|סדרות]] אינסופיות, וסוג הבעיות שבהן השיטה בת-יישום.

רוב מאמריו שנשלחו לפריז היו על בעיות אסטרונומיות, ומבין אלו יש לציין במיוחד את מאמרו על מערכת הירחים של צדק ב-1766, חיבורו על הבעיה התלת גופית ב-1772, עבודתו על "המשוואה הסקולרית של תנועת הירח" ב-[[1773]], שתיארה את השינויים במחזוריות ההקפה שלו סביב [[כדור הארץ]], ואת עבודתו על ההפרעות שגורמים כוכבי הלכת בזמני המחזור של השביטים ב-1778. אלה היו כולם כתובים על נושאים של האקדמיה הצרפתית, ובכל אחד ממקרים אלה הפרס ניתן לו.

=== אלגברה ===

אף על פי כן, רוב מאמריו בתקופה זו נתרמו לאקדמיה של ברלין. אחדים מהם עוסקים בשאלות ב[[אלגברה]]. בפרט:
* דיון על פתרון במספרים שלמים של משוואות בעלות אינסוף פתרונות ([[1769]] ו-[[1770]])
* מאמר בנושא תורת האלימינציה 1770
* מאמר על פתרון כללי למשוואה אלגברית מכל מעלה ([[1770]], [[1771]]); שיטה זו נכשלת במשוואות ממעלה גדולה מ-4
* פתרון מלא של משוואה בינומית מכל מעלה (נכלל במאמר לעיל)
* לבסוף, ב-[[1773]], טיפולו ב[[דטרמיננטה|דטרמיננטות]] מסדר 2 ו-3.

=== תורת המספרים ===

חלק ממאמריו המוקדמים עוסקים בשאלות הקשורות ב[[תורת המספרים]]. מבין אלו יצוינו:
* הוכחה שכל [[מספר שלם]] שאינו [[מספר ריבועי|ריבועי]] ניתן להציג כסכום של שניים, שלושה או ארבעה ריבועים שלמים ([[משפט ארבעת הריבועים]]) (1770).
* הוכחה של [[משפט וילסון]] שאם <math>\,n</math> ראשוני אז <math>\,(n-1)!+1</math> מתחלק ב-<math>\ n</math> (1771).
* כתביו ב-[[1773]], [[1775]] וב-[[1777]], אשר מדגימים חלק מהתוצאות שהוזכרו על ידי פרמה ללא הוכחה.
* דרך למציאת הגורמים של מספרים מהצורה <math>\,x^2 + ay^2</math>.
* הוכחת [[משפט לגראנז' (פולינומים)|משפט לגראנז']]

=== נושאים מתמטיים נוספים ===

ישנם גם מספר מאמרים שכתב על נקודות שונות ב[[גאומטריה אנליטית]].
בשנים [[1772]]–[[1785]] תרם מאמרים רבים שיצרו את ענף ה[[משוואה דיפרנציאלית חלקית|משוואות הדיפרנציאליות החלקיות]]. חלק גדול ממאמרים אלו נאספו במהדורה השנייה של ספרו של אוילר "חשבון אינטגרלי", שפורסם ב-[[1794]].

מאמריו של לגראנז' בנושא ה[[מכניקה]] מוזכרים להלן.

=== אסטרונומיה ===
לבסוף, ישנם מספר מאמרים על מספר בעיות באסטרונומיה. מביניהן, החשובות ביותר הן:
* עבודה על המשיכה של אליפסואידים, 1773: מבוססת על עבודתו של [[קולין מקלורין|מקלורין]].
* הצגת רעיון ה[[פוטנציאל אפקטיבי|פוטנציאל]] ב-1777.

=== מכניקה אנליטית ===
בחיבורו "מכניקה אנליטית", לגראנז' הציג את עקרון העבודה הווירטואלית, ומעיקרון יסודי יחיד זה (כמו גם בעזרת הענף החדש של [[חשבון וריאציות|חשבון הווריאציות]]), הוא הסיק את כל התוצאות של מדע ה[[מכניקה]], הן של מוצקים והן של זורמים; שיטת הקואורדינטות המוכללות שהציג, אשר בעזרתה השיג תוצאה זאת, נחשבת לעיתים לאחד ההישגים המזהירים ביותר של האנליזה שלו. במקום להתחקות אחר התנועה של כל אלמנט מסה של מערכת חומרית, כפי שדלאמבר ואוילר עשו, הוא הראה, שאם מציגים את מצבה של המערכת על ידי קבוצת משתנים בלתי תלויים שמספרם הוא כמספר [[דרגות חופש (מכניקה)|דרגות החופש]] הגלומות במערכת, אז האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית של המערכת ניתנות לביטוי לפי המשתנים הללו, ושהמשוואות הדיפרנציאליות של התנועה ניתנות להסקה מפעולת גזירה פשוטה. למשל, בטיפולו בבעיה מסוימת בדינמיקה של גוף קשיח הוא החליף את הטיפול בבעיה בטיפול כללי יותר, תוך ניסוח משוואה כללית שכעת נכתבת בצורה:

<math>
 \frac{d}{dt}
 \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}
- \frac{\partial T}{\partial \theta}
+ \frac{\partial V}{\partial \theta} = 0,
</math>

כאשר ''T'' מייצגת את [[אנרגיה קינטית|האנרגיה הקינטית]] ו-''V'' מייצגת את [[אנרגיה פוטנציאלית|האנרגיה הפוטנציאלית]] של המערכת. לאחר מכן הוא הציג את השיטה שכעת ידועה כשיטת [[כופלי לגראנז']] - אף על פי שזו לא הפעם הראשונה שהיא הוצגה - כאמצעי לפתור את המשוואה הזאת. בחיבורו, לא רק שלגראנז' הציג עקרונות כלליים, אלא גם הדגים איך לפתור בעזרתם בעיות מכניות מורכבות שונות; למשל, הוא ערך [[אנליזה מתמטית]] לבעיית ה[[סביבון]] הלא יציב. כמו כן, יישום מוצלח במיוחד לעקרונותיו החדשים היה לפתרון בעיות [[הידרודינמיקה|הידרודינמיות]]; למשל, באמצעות תיאור מוכלל של תנועת זורמים, השיג את הפתרון המתמטי הראשון בתאוריה הליניארית של [[גל (מים)|גלי מים]]. בין משפטים חשובים אחרים ראוי לציין את הטענה שהאנרגיה הקינטית המועברת למערכת על ידי מתקפים קצרים תחת אילוצים נתונים היא מרבית, ואת [[עקרון הפעולה המינימלית]]. כל האנליזה שערך נראית כה אלגנטית שסר [[ויליאם רואן המילטון]] הצהיר פעם שניתן לתאר את העבודה כולה בצורה לא אחרת מאשר כפואמה מדעית. לגראנז' הדגיש שמכניקה מתקדמת היא ענף של [[מתמטיקה עיונית]] האנלוגי לגאומטריה של ארבעה ממדים; כלומר שיש להתייחס לשלוש הקואורדינטות המרחביות כמו גם לקואורדינטה זמנית אחת; והוא התגאה בכך שלא ניתן למצוא ולו דיאגרמה אחת מתחילת הספר ועד סופו.

==ראו גם==
* [[נקודת לגראנז']]
* [[מכניקה לגראנז'ית]]
*[[לגראנז'יאן]]
* [[כופלי לגראנז']]
* [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)]]
* [[משפט הערך הממוצע של לגראנז']]
* [[משפט ארבעת הריבועים של לגראנז']]
* [[זהות לגראנז']]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
{{פרופילי מדענים}}
* {{ספר פרויקט גוטנברג|שם הספר=Lectures on Elementary Mathematics|מספר=36640}}
* {{בריטניקה}}
* {{סופר פרויקט גוטנברג}}
* {{Find a Grave}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{בקרת זהויות}}

{{מיון רגיל:לגראנז', ז'וזף-לואי}}
[[קטגוריה:אסטרונומים שעל שמם כוכב לכת מינורי]]
[[קטגוריה:מתמטיקאים שעל שמם כוכב לכת מינורי]]
[[קטגוריה:חברי האקדמיה המלכותית השוודית למדעים]]
[[קטגוריה:אסטרונומים צרפתים]]
[[קטגוריה:מתמטיקאים צרפתים]]
[[קטגוריה:אישים הקבורים בפנתאון של פריז]]
[[קטגוריה:מקבלי אות לגיון הכבוד]]
[[קטגוריה:חברי האקדמיה הצרפתית למדעים]]
[[קטגוריה:אישים שהונצחו על מגדל אייפל]]
[[קטגוריה:מתמטיקאים איטלקים במאה ה-18]]
[[קטגוריה:מתמטיקאים איטלקים במאה ה-19]]
[[קטגוריה:חברי האקדמיה למדעים ולאמנויות של גטינגן]]
[[קטגוריה:ילידי 1736]]
[[קטגוריה:צרפתים שנפטרו ב-1813]]