הצגת המקור של הדף "זהות אבל"

ב[[מתמטיקה]], '''זהות אבל''' היא משוואה שמבטאת את ה[[ורונסקיאן|וורונסקיאן]] של שני פתרונות הומוגניים של [[משוואה דיפרנציאלית רגילה]] [[אלגברה ליניארית|ליניארית]] מסדר שני (כלומר: מכילה (עד) [[נגזרת]] שנייה של הפונקציה) באמצעות מקדמי המשוואה הדיפרנציאלית. הזהות קרויה על שם [[נילס הנריק אבל]].

מאחר שזהות אבל מקשרת בין שני הפתרונות ה[[אי-תלות ליניארית|בלתי-תלויים ליניארית]] של המשוואה הדיפרנציאלית, ניתן להשתמש בה כדי למצוא באמצעות פתרון אחד את האחר. כמו כן, היא מספקת זהויות שימושיות המקשרות בין שני הפתרונות. בנוסף, היא שימושית גם כחלק משיטות אחרות כמו שיטת [[וריאציית הפרמטר]]. זהות אבל שימושית במיוחד עבור משוואות דיפרנציאליות כמו [[משוואת בסל]] בהן לפתרונות צורה אנליטית, שכן בהן קשה לחשב את הוורונסקיאן באמצעות הפונקציות.

== הגדרה ==

תהי [[משוואה דיפרנציאלית רגילה]] (מד"ר) הומוגנית ליניארית מסדר שני

: <math> \frac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2} + P(x)\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} + Q(x)\,y = 0</math>

על [[קטע (מתמטיקה)|קטע]] <math>I</math> המוכל ב[[הישר הממשי|ישר הממשי]], כאשר המקדמים ''<math>P,Q</math>'' הם [[פונקציה רציפה|פונקציות רציפות]]. זהות אבל קובעת שה[[ורונסקיאן|וורונסקיאן]] ''<math>W</math>'' של 2 הפתרונות של המד"ר מקיים את המשוואה

: <math>W(x)=W(x_0) \exp\left(-\int_{x_0}^x P(\xi) \,\textrm{d}\xi\right),\qquad x\in I</math>

לכל נקודה <math>x_0</math> בקטע ''<math>I</math>''.

בפרט, הוורונסקיאן הוא או פונקציית [[אפס (מספר)|אפס]] או שונה מאפס בכל נקודה ''<math>x</math>'' בקטע ''<math>I</math>'', ואז 2 הפתרונות [[אי-תלות ליניארית|בלתי-תלויים ליניארית]].

== פיתוח ==

יהיו <math>y_1</math> ו-<math>y_2</math> שני הפתרונות של המד"ר

: <math> y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = 0 </math>.

ה[[ורונסקיאן|וורונסקיאן]] של 2 הפונקציות מוגדר להיות

: <math> W(x) = y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x),\qquad x\in I</math>.

[[נגזרת|נגזור]] את הוורונסקיאן ונשתמש ב[[כלל לייבניץ]] (<math> \left(fg\right)'=f'g+fg' </math>) ונקבל

: <math>
\begin{align}
W' &= y_1' y_2' + y_1 y_2'' - y_1'' y_2 - y_1' y_2' \\
& = y_1 y_2'' - y_1'' y_2.
\end{align}
</math>

נבודד את  <math>y''</math> מהמד"ר

: <math> y'' = -(Py'+Qy) </math>

ונציב זאת בנגזרת של הוורונסקיאן

: <math>
\begin{align}
 W'&= -y_1(Py_2'+Qy_2)+(Py_1'+Qy_1)y_2 \\
&= -P(y_1y_2'-y_1'y_2)\\
&= -PW
\end{align}
</math>

זוהי [[משוואה דיפרנציאלית ליניארית]] מסדר ראשון (מכילה רק את הפונקציה ונגזרת ראשונה שלה). כעת, נותר להראות שזהות אבל אכן נותנת את הפתרון היחיד של משוואה זו, המקיימת את תנאי ההתחלה <math>W(x_0)</math> ב-<math>x_0</math>. לשם כך נגדיר

:<math>V(x)=W(x) \exp\left(\int_{x_0}^x P(\xi) \,\textrm{d}\xi\right), \qquad x\in I</math>

הפונקציה <math>V</math> [[מוגדר היטב|מוגדרת היטב]] מכיוון ש-''<math>P</math>'' רציפה בקטע ''<math>I</math> ולכן אינטגרבילית עבור כל תת-קטע בתוך <math>I</math>.''

נגזור את שני הצדדים ונעזר ב[[כלל לייבניץ]] (כלל המכפלה), ב[[כלל השרשרת]], ובנגזרת של פונקציית ה[[אקספוננט]]. נקבל

:<math>V'(x)=\bigl(W'(x)+W(x)P(x)\bigr)\exp\biggl(\int_{x_0}^x P(\xi) \,\textrm{d}\xi\biggr)=0,\qquad x\in I</math>

מאחר ש-''<math>W</math>'' מקיים את המד"ר <math>W' + P W = 0</math>. לכן ''<math>V</math>'' היא [[פונקציה קבועה]] על הקטע ''<math>I</math>'' (אחרת נקבל סתירה ל[[משפט הערך הממוצע]]). מאחר ש-<math>V(x_0)=W(x_0)</math> נובעת מכך זהות אבל על ידי פתירה עבור ''<math>W</math>'' מההגדרה של ''<math>V</math>'', כלומר:

: <math>W(x)=W(x_0) \exp\left(-\int_{x_0}^x P(\xi) \,\textrm{d}\xi\right) </math>.

==הכללות ==

=== מד"ר מסדר n ===
עבור משוואה דיפרנציאלית רגילה ליניארית מסדר n,

: <math> y^{(n)} + p_1(x)\,y^{(n-1)}+ \cdots + p_{n-1}(x)\,y = 0 </math>

הוורונסקיאן נתון על ידי

: <math>W(x)=W(x_0) \exp\left(-\int_{x_0}^x p_1(\xi) \,\textrm{d}\xi\right)</math>

=== מערכת n משוואות מסדר ראשון ===

עבור ורונסקיאן של מערכת משוואות
: <math>\vec{Y'}=A\vec{Y}</math> 
כאשר <math>A=(a_{ij})</math> היא [[מטריצה]] מסדר <math>n\times n</math> מתקיימת '''זהות אבל''': אם <math>W(x)</math> הוא הוורונסיקאן של קבוצת פתרונות של המערכת בנקודה <math>x</math> אז מתקיים
: <math>W(x)=W(x_0)e^{\int_{x_0}^x\sum_{i=1}^n a_{ii}(t)dt}</math> 
מזהות זו ברור כי הוורונסיקאן מתאפס בכל נקודה או שאינו מתאפס כלל (שכן האקספוננט אינו יכול להתאפס, ולכן אם <math>W(x)=0</math> אז בהכרח גם <math> W(x_0)=0</math>).

== לקריאה נוספת ==
* Abel, N. H., "Précis d'une théorie des fonctions elliptiques"  J. Reine Angew. Math., 4  (1829)  pp. 309–348.
* Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. ''Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems'', 4th ed. New York: Wiley, 1986.
* Weisstein, Eric W., [http://mathworld.wolfram.com/AbelsDifferentialEquationIdentity.html "Abel's Differential Equation Identity"], From [[MathWorld]]--A Wolfram Web Resource.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
{{מיון רגיל:אבל, זהות}} 
[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות]]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה]]
[[קטגוריה:זהויות במתמטיקה]]