הצגת המקור של הדף "זהות המכפלה המשולשת של יעקובי"

ב[[אנליזה מתמטית]], '''זהות המכפלה המשולשת של יעקובי''' היא הזהות המתמטית:

:<math>\prod_{m=1}^\infty
\left( 1 - x^{2m}\right)
\left( 1 + x^{2m-1} y^2\right)
\left( 1 +\frac{x^{2m-1}}{y^2}\right)
= \sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2} y^{2n},
</math>

כאשר ''x'' ו-''y'' הם [[מספרים מרוכבים]] המקיימים ''x''| &lt; 1| ו-''y'' ≠ 0.

הזהות הוצגה לראשונה על ידי [[קרל גוסטב יעקב יעקובי]] (1829) בחיבורו Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum.

== תכונות ==
זהות המכפלה המשולשת של יעקובי כוללת כמקרים פרטיים זהויות רבות אחרות, כמו [[משפט המספרים המחומשים]] של [[לאונרד אוילר]] וההצגה של [[פונקציית תטא|פונקציות תטא]] של יעקובי כמכפלה אינסופית.

למשל, אם נציב <math>x=q\sqrt q</math> ו-<math>y^2=-\sqrt{q}</math>, אז נקבל את משפט המספרים המחומשים:

:<math>\phi(q) = \prod_{m=1}^\infty \left(1-q^m \right) =
\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{\frac{3n^2-n}{2}}.</math>

זהות המכפלה המשולשת מאפשרת לכתוב את פונקציית תטא כמכפלה אינסופית. נניח כי <math>x=e^{i\pi \tau}</math> ו-<math>y=e^{i\pi z}</math>. אז פונקציית תטא היא:

:<math>
\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi {\rm{i}} n^2 \tau + 2 \pi {\rm{i}} n z}
</math>

והיא ניתנת לרישום כמכפלה אינסופית באופן הבא:

:<math>\vartheta(z; \tau) = \prod_{m=1}^\infty
\left( 1 - e^{2m \pi {\rm{i}} \tau}\right)
\left[ 1 + e^{(2m-1) \pi {\rm{i}} \tau + 2 \pi {\rm{i}} z}\right]
\left[ 1 + e^{(2m-1) \pi {\rm{i}} \tau -2 \pi {\rm{i}} z}\right].
</math>

בפרט, הצבת <math>y=1</math> נותנת את הזהות:

:<math>\prod_{m=1}^\infty(1-x^{2m})(1+x^{2m-1})^2 = \sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}</math>.

== הצדקה לנכונות הזהות ==
תהי <math>f_x(y)=\prod_{m=1}^\infty ( 1 - x^{2m})( 1 + x^{2m-1} y^2)( 1 +x^{2m-1}y^{-2})</math> פונקציה של המשתנה ''y'' (כאן ''x'' נלקח כקבוע). אזי
: <math>f_x(xy) = (\prod_{m=1}^\infty ( 1 - x^{2m}))(1+x^3y^2)(1+\frac{1}{xy^2})(1+x^5y^2)(1+\frac{x}{y^2})\cdots = \frac{1+x^{-1}y^{-2}}{1+xy^2}f_x(y)=x^{-1}y^{-2}f_x(y)</math>.

מכיוון ש-''f<sub>x</sub>'' היא [[פונקציה מרומורפית|מרומורפית]] בעבור ''y| > 0|'', יש לה פיתוח ל[[טור לורן]] <math>f_x(y)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n(x)y^{2n}</math>, פיתוח המקיים:

<math>\sum_{n=-\infty}^\infty c_n(x)x^{2n+1} y^{2n}=x f_x(x y)=y^{-2}f_x(y)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_{n+1}(x)y^{2n}</math>

ולכן גם <math>c_{n+1}(x)=c_n(x)x^{2n+1}= c_0(x) x^{(n+1)^2}</math>. קיבלנו איפה את הצורה הכללית של ההצגה של המכפלה האינסופית שבאגף שמאל של זהות יעקובי כטור אינסופי. לעומת זאת, הוכחה ש-<math>c_0(x) = 1</math> היא טכנית יותר ועושה שימוש בתאוריה של [[תבנית מודולרית|פונקציות מודולריות]].

== מקורות ==
* {{Citation | last1=Jacobi | first1=C. G. J. | title=Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum | url=https://archive.org/details/fundamentanovat00jacogoog | publisher=Borntraeger|place=Königsberg | language=Latin | isbn=978-1-108-05200-9 | id=Reprinted by [[Cambridge University Press]] 2012 | year=1829}}
* Wolfram Mathworld - Jacobi Triple Product

== ראו גם ==
* [[משפט המספרים המחומשים]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:אנליזה מתמטית]]
[[קטגוריה:זהויות במתמטיקה]]
[[קטגוריה:משפטים בתורת המספרים]]
[[קטגוריה:פונקציות אליפטיות]]