הצגת המקור של הדף "זהות הרמיט"

'''זהות הרמיט''' ({{שם בשפת המקור|שם=Hermite's identity|שפה=אנגלית}}) היא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] ב[[תורת המספרים]], הנקראת על שם ה[[מתמטיקאי]] ה[[צרפתים|צרפתי]] [[שארל הרמיט]]. היא מספקת תובנות חשובות לגבי תכונות של מספרים שלמים ושימושיה ב[[אלגברה]] ובאנליזה. היא משמשת בעיקר להוכחת התכונות של פונקציות מחזוריות ובבניית [[אלגוריתם|אלגוריתמים]] לחישובים בתורת המספרים.

הזהות קובעת כי לכל <math>n\ge1</math> [[מספר שלם|שלם]] ולכל <math>x</math> [[מספר ממשי|ממשי]] מתקיים
:<math>\sum_{k\,=\,0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor=\lfloor nx\rfloor</math>
כאשר <math>\lfloor x\rfloor</math> [[פונקציית הערך השלם]].

==הוכחה==
===באמצעות אלגברה===
נכתוב <math>x=\lfloor x\rfloor+\{x\}</math>, כאשר <math>\lfloor x\rfloor</math> הערך השלם ו-<math>\{x\}</math> [[החלק השברי]]. ראשית ברור כי מתקיים
:<math>\lfloor x\rfloor\le\left\lfloor x+\frac1n\right\rfloor\le\cdots\le\left\lfloor x+\frac{n-1}{n}\right\rfloor\le\lfloor x\rfloor+1</math>
קיים בדיוק איבר אחד <math>m\in\{1,\ldots,n\}</math> עבורו
:<math>\lfloor x\rfloor=\left\lfloor x+\frac{1}{n}\right\rfloor=\cdots=\left\lfloor x+\frac{m-1}{n}\right\rfloor\le x<\left\lfloor x+\frac{m}{n}\right\rfloor=\left\lfloor x+\frac{m+1}{n}\right\rfloor=\cdots=\lfloor x\rfloor+1</math>
נחסר מה[[אי-שוויון (מתמטיקה)|אי-שוויון]] את הביטוי <math>\lfloor x\rfloor</math>, ועל פי [[פונקציית הערך השלם#תכונות|תכונות הערך השלם]] נקבל
:<math>\begin{align}0=\left\lfloor\{x\}+\frac{m-1}{n}\right\rfloor\le\{x\}<\left\lfloor\{x\}+\frac{m}{n}\right\rfloor=1\\\{x\}+\frac{m-1}{n}<1\le\{x\}+\frac{m}{n}\\n-m\le n\{x\}<n-m+1\\\lfloor n\{x\}\rfloor=n-m\end{align}</math>
נחלק את הסכום המבוקש לשני סכומים מתאימים, ונקבל
:<math>\begin{align}\sum_{k\,=\,0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor&=\sum_{k\,=\,0}^{m-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor+\sum_{k\,=\,m}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor\\&=\sum_{k\,=\,0}^{m-1}\lfloor x\rfloor+\sum_{k\,=\,m}^{n-1}\left(\lfloor x\rfloor+1\right)\\&=n\lfloor x\rfloor+n-m\\&=n\lfloor x\rfloor+\lfloor n\{x\}\rfloor\\&=\Big\lfloor n\lfloor x\rfloor+n\{x\}\Big\rfloor\\&=\lfloor nx\rfloor\end{align}</math>

===באמצעות פונקציות===
נגדיר פונקציה <math>f(x)=\sum_{k\,=\,0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor-\lfloor nx\rfloor</math>. מכאן נקבל
:<math>\begin{align}f\left(x+\frac1n\right)&=\sum_{k\,=\,1}^n\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor-\lfloor nx+1\rfloor\\&=\sum_{k\,=\,1}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor+\lfloor x+1\rfloor-\lfloor nx+1\rfloor\\&=\sum_{k\,=\,1}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor+(\lfloor x\rfloor+1)-(\lfloor nx\rfloor+1)\\&=\sum_{k\,=\,0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor-\lfloor nx\rfloor\\&=f(x)\end{align}</math>
כלומר לפונקציה [[פונקציה מחזורית|מחזור]] בגודל <math>\tfrac1n</math>, ולכן די להראות כי <math>f(x)=0</math> לכל <math>x\in\bigl[0,\tfrac1n\bigr)</math>:
:<math>\forall\,0\le x<\frac1n:\quad\begin{cases}\forall\,0\le k\le n-1:\quad0\le x+\dfrac{k}{n}<\dfrac1n+\dfrac{n-1}{n}=1\iff\left\lfloor x+\dfrac{k}{n}\right\rfloor=0\\0\le nx<1\iff\left\lfloor nx\right\rfloor=0\end{cases}</math>

==קישורים חיצוניים==
* FRANZ LEMMERMEYER, [https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~flemmermeyer/publ/id-hermite.pdf Hermite's identity], [[אוניברסיטת היידלברג|Heidelberg University]]

[[קטגוריה:הוכחות]]
[[קטגוריה:זהויות במתמטיקה|הרמיט]]