הצגת המקור של הדף "זהות ויינשטיין-ארונסיין"

{{סימון מתמטי}}
'''זהות ויינשטיין-ארונסיין''' שידועה גם כ'''זהות הדטרמיננטה של סילבסטר''' קובעת שאם <math>A \in M_{m \times n}(F)</math> היא [[מטריצה]] עם m שורות ו-n עמודות, ו-<math>B \in M_{n \times m}(F)</math> היא מטריצה עם n שורות ו-m עמודות, אזי ה[[דטרמיננטה]] מקיימת
<math display="block">\det(I_m + AB) = \det(I_n + BA)</math> 
כאשר <math>I_k</math> היא [[מטריצת היחידה]] מסדר k.

נוסחה זו שימושית כאשר n הוא מספר גדול ו-m קטן משמעותית ממנו, ורוצים לחשב דטרמיננטות מהסוג הנ"ל ב[[מחשב]], שכן ה[[סיבוכיות]] של [[חישוב נומרי]] של [[דטרמיננטה]] של [[מטריצה ריבועית]] מסדר k הוא <math >\mathcal O(k^3)</math>.

== הוכחה ==

נשים לב, שלפי כללי דטרמיננטה של [[מטריצת בלוקים]]: 
<math display="block">\det(I_m + AB) = \det \begin{bmatrix} I_m + AB & 0 \\ B & I_n \end{bmatrix}</math>
אבל את מטריצת הבלוקים אפשר לכתוב כ[[כפל מטריצות|מכפלת מטריצות]]:
<math display="block">\begin{bmatrix} I_m + AB & 0 \\ B & I_n \end{bmatrix} =
 \begin{bmatrix} I_m & A \\ 0 & I_n \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix} I_m  & -A \\ B & I_n \end{bmatrix}
= X \cdot Y</math>
כעת נעזר בכפליות הדטרמיננטה: <math display="block">\det(XY) = \det(X)\det(Y) = \det(Y)\det(X) = \det(YX)</math>
ברם,
<math display="block">Y X = \begin{bmatrix} I_m  & -A \\ B & I_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_m & A \\ 0 & I_n \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} I_m & 0 \\ B & I_n + BA \end{bmatrix}
</math>
אבל שוב מחישוב דטרמיננטה של [[מטריצת בלוקים]] נקבל
<math display="block">
\det\begin{bmatrix} I_m & 0 \\ B & I_n + BA \end{bmatrix} = \det(I_n + BA)</math>

ואם נסכם הכל:<math display="block">\det(I_m + AB) = \det\begin{bmatrix} I_m + AB & 0 \\ B & I_n  \end{bmatrix} = 
\det\begin{bmatrix} I_m & 0 \\ B & I_n + BA \end{bmatrix} = \det(I_n + BA)</math>

'''מש"ל'''.

ידועות הכללות של הנוסחה, כגון <math>\det(a+b-axb)=\det(a+b-bxa)</math> לכל שלוש מטריצות ריבועיות a,b,c (D. Khurana and T. Y. Lam, 2024). 

== קישורים חיצוניים ==

* {{יוטיוב|rNfM8M0LAHc|שם=Sylvester's Determinant Identity|אורך=11:23|ערוץ=Michael Penn}}

{{קצרמר|מתמטיקה}}

[[קטגוריה:דטרמיננטות]]
[[קטגוריה:משפטים באלגברה ליניארית]]