הצגת המקור של הדף "זוגיות (מתמטיקה)"

{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''זוגיות''' היא {{פירושון|תכונה}} שיש לכל [[מספר שלם]], בהתאם ל[[שארית (חילוק)|שארית]] המתקבלת מ[[חלוקה בשתיים|חלוקתו ב־2]]:
* כל מספר שלם שמתחלק ב־2 ללא שארית (או ששארית החלוקה שלו ב־2 היא 0) נקרא '''מספר זוגי'''
* כל מספר שלם שאינו מתחלק ב־2 ללא שארית (או ששארית החלוקה שלו ב־2 היא 1) נקרא מספר '''אי־זוגי'''
כל מספר שלם הוא או זוגי או אי־זוגי (אך לא שניהם).

לדוגמה, <math> 2 ,4 ,-18 ,0</math> הם מספרים זוגיים, ואילו [[7 (מספר)|7]] אינו זוגי אלא [[מספר אי זוגי|אי־זוגי]]. המספרים הזוגיים נקראים כך משום שאם ב[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] יש מספר זוגי של עצמים, אז אפשר לחלק אותם לזוגות.

את [[קבוצת המספרים השלמים]], <math>\mathbb{Z}</math>, ניתן לחלק לשתי [[קבוצות זרות]]:
* '''זוגיים''': <math>\{ 2k: k \in \mathbb{Z} \}</math>
* '''אי־זוגיים''': <math>\{ 2k-1: k \in \mathbb{Z} \}</math>
את קבוצת המספרים הזוגיים נהוג לסמן <math>2\mathbb{Z}</math>.

תכונת הזוגיות מוגדרת עבור המספרים השלמים, ואפשר להכליל אותה למספרים רציונליים (מספר רציונלי ייחשב זוגי אם בהצגתו כ[[שבר מצומצם]] המונה זוגי). עבור [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] כלליים הזוגיות אינה מוגדרת.

== תכונות אריתמטיות ==
=== חיבור וחיסור ===
{| class="wikitable"
!±
!מספר זוגי
!מספר אי־זוגי
|-
|'''מספר זוגי'''
|מספר זוגי
|מספר אי־זוגי
|-
|'''מספר אי־זוגי'''
|מספר אי־זוגי
|מספר זוגי
|}

=== כפל ===
{| class="wikitable"
!×
!מספר זוגי
!מספר אי־זוגי
|-
|'''מספר זוגי'''
|מספר זוגי
|מספר זוגי
|-
|'''מספר אי־זוגי'''
|מספר זוגי
|מספר אי־זוגי
|}

=== חזקה ===
[[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] במעריך טבעי של מספר זוגי היא זוגית, וחזקה במעריך טבעי של מספר אי־זוגי היא אי־זוגית.

חזקה במעריך זוגי של [[מספר ממשי]] היא אי שלילית.

=== שורש ===
בהינתן [[מספר ריבועי]] זוגי, [[שורש של מספר|שורש]] המספר גם זוגי, באופן תואם בהינתן מספר ריבועי אי־זוגי, שורש המספר יהיה גם הוא אי־זוגי.

=== מבחני זוגיות ===
* מספר שלם הנתון ב[[הצגה עשרונית]] הוא זוגי [[אם ורק אם]] [[ספרה|ספרת]] האחדות שלו זוגית (כלומר, שווה ל־0, 2, 4, 6 או 8).
* עובדה זו נכונה בכל [[בסיס (אריתמטיקה)|בסיס]] זוגי: המספר זוגי אם ורק אם ספרת האחדות זוגית. הסיבה לכך היא שכל ספרה שמעל לספרת האחדות תורמת כפולה של הבסיס, ולכן אינה משפיעה על הזוגיות. בהתאם לכך, [[מספר בינארי]] הוא זוגי אם ורק אם ספרת האחדות שלו היא 0, והוא אי־זוגי אם ורק אם ספרת האחדות שלו היא 1.
* בבסיס אי־זוגי, מספר הוא זוגי אם ורק אם סכום הספרות שלו זוגי, זה כי:
<math>\sum_{i=1}^n a_{i} k^i \equiv  \sum_{i=1}^n  a_{i} \pmod{2} </math> בבסיס אי־זוגי.

המספר [[2 (מספר)|2]] הוא המספר הזוגי היחיד מבין [[אינסוף]] ה[[מספר ראשוני|מספרים הראשוניים]] (כל השאר הם [[מספר אי-זוגי|אי־זוגיים]]). [[השערת גולדבך]], שהיא [[בעיה פתוחה במתמטיקה|בעיה פתוחה]] ב[[תורת המספרים]], טוענת כי כל מספר זוגי גדול משתיים ניתן להצגה כ[[סכום]] של שני [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]].

=== ההערכה ה־2־אדית ===

על המספרים השלמים מוגדרת [[הערכה לא ארכימדית]] <math>\ \nu_2 : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}\cup\{0\}</math>, לפי מספר גורמי־2 המקסימלי המחלק את המספר. מספר הוא זוגי אם ורק אם ההערכה שלו גדולה מאפס.

==ראו גם==
* [[פונקציות זוגיות ואי-זוגיות|פונקציות זוגיות ואי־זוגיות]]

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=מספר זוגי}}
* {{MathWorld}}

{{קצרמר|מתמטיקה}}

[[קטגוריה:זוגיות (מספרים)|*]]
[[קטגוריה:אריתמטיקה]]