הצגת המקור של הדף "זווית דו-מישור"

'''זווית דו-מישור''' היא ה[[זווית]] בין שני [[מישור (גאומטריה)|מישורים]]. נקראת גם '''זווית דיהדרלית'''.
== הגדרה ==
ההגדרה הטבעית לזווית היא בין שני ישרים נחתכים. הזווית <math>\ \phi_{AB}</math> בין שני מישורים A ו-B במרחב מוגדרת כזווית בין [[אנך|האנכים]] של מישורים אלה בנקודה משותפת. 

לחלופין, ניתן להגדיר את זווית הדו-מישור <math>\ \phi_{AB}</math> כזווית בה יש לסובב את מישור A ביחס לקו החיתוך בין המישורים, כדי שיתלכד עם מישור B. הזווית ההפוכה <math>\ \phi_{BA}</math> תחזיר אותנו ממישור B למישור A, לכן <math>\ \phi_{AB} = -\phi_{BA}</math>. גם הזווית המשלימה ל- <math>\ \phi_{AB}</math> מאפשרת הגעה ממישור A ל-B.

בממדים גבוהים יותר, הזווית הדיהדרלית מייצגת את הזווית בין שני [[על-מישור|היפר-מישורים]]; דהיינו הזווית בין שני [[תת-מרחב|תתי-מרחבים]] מממד ''n - 1'' המוכלים שניהם במרחב מממד n. הזווית הדיהדרלית במקרה זה מחושבת באופן דומה - כזווית בין האנכים לעל-מישורים אלה - שהם הווקטורים הניצבים לכל אחד מ[[קבוצה פורשת|הווקטורים הפורשים]] של תתי-המרחבים, בהתאמה.

== חישוב זווית דיהדרלית ==
[[File:Dihedral angle.svg|שמאל|ממוזער|250px|זווית בין שני מישורים.]]
כאשר שני המישורים הנחתכים נתונים ב[[מערכת צירים קרטזית|הצגה קרטזית]] באמצעות צמד ה[[משוואה ליניארית|משוואות הליניאריות]]:

:<math> a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0 </math> 
:<math>a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0 </math>

הזווית הדיהדרלית ביניהם, ''φ'', ניתנת לחישוב על ידי הנוסחה:

<math>\cos \varphi = \frac{\left\vert a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 \right\vert}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}},</math>

נוסחה שמתקבלת ישירות מלקיחת ה[[מכפלה סקלרית|מכפלה הסקלרית]] בין שני האנכים למישורים '''n'''<sub>A</sub> ו-'''n'''<sub>B</sub> ומשימוש בעובדה שהשיעורים של שני ווקטורים ניצבים אלו הם בדיוק מקדמי המשוואות שמייצגות את המישורים, כלומר: <math>n_A = (a_1,b_1,c_1), n_B = (a_2,b_2,c_2) </math>.

==הגדרות חלופיות==
[[תמונה:Spherical_bond_dihedral_angle.svg|שמאל|ממוזער|200px|איור 1: זווית הדו-מישור בין שלושה וקטורים]]

כשם שניתן להגדיר מישור באמצעות שני ישרים הנחתכים בנקודה אחת, ניתן גם להגדיר זווית דו-מישור באמצעות שלושה [[וקטור (אלגברה)|וקטורים]] שונים: <math>\mathbf{b}_{1}</math>, <math>\mathbf{b}_{2}</math> ו <math>\mathbf{b}_{3}</math> (הווקטורים האדום, הירוק והכחול באיור 1). הווקטורים  <math>\mathbf{b}_{1}</math> ו<math>\mathbf{b}_{2}</math> מגדירים מישור אחד, בעוד שהווקטורים <math>\mathbf{b}_{2}</math> ו- <math>\mathbf{b}_{3}</math> מגדירים מישור נוסף.

==זוויות דו-מישור של ארבעה אטומים==
[[תמונה:bond_dihedral_angle.svg|שמאל|ממוזער|200px|איור 2: זווית הדו-מישור בין שלושה וקטורי קשר כימי, המחברים ארבעה אטומים]]
  
בקירוב טוב, [[קשר כימי|קשרים כימיים]] בין אטומים שכנים ב[[מולקולה]] שומרים על אורכיהם ועל הזוויות היחסיות ביניהם גם כאשר המולקולה מתפרקת למספר מולקולות קטנות יותר, או נקשרת למולקולות אחרות. הודות לכך, ניתן להגדיר את מבנה המולקולה באמצעות סדרה של זוויות דו-מישוריות, שכל אחת מהן מוגדרת על ידי שלישיית וקטורי קשר כימי. כפי שמודגם באיור 2, הזווית הדו-מישורית <math>\ \phi</math> משנה רק את המרחק בין האטום הראשון והרביעי. שאר המרחקים הבין-אטומיים באיור מאולצים על ידי אורכי הקשרים הכימיים וזוויותיהם.

[[תמונה:Four_atoms_dihedral_angle.svg|שמאל|ממוזער|200px|איור 3: זווית הדו-מישור בין שלושה וקטורי קשר כימי, המחברים ארבעה אטומים. מנקודת מבט זו, וקטור הקשר השני (הירוק) יוצא מתוך הדף]]

איור 3 ממחיש את הזווית הדו-מישורית בין ארבעה אטומים. האטום הראשון פונה כלפי מטה, האטום הרביעי פונה באלכסון ימינה ואילו האטומים השני והשלישי ממוקמים במרכז. וקטור הקשר השני יוצא מתוך הדף. הזווית הדו-מישורית <math>\ \phi</math> היא הזווית הנוצרת בין הווקטור האדום <math>\mathbf{b}_{1}</math> לבין הווקטור הכחול <math>\mathbf{b}_{3}</math> במגמה מתמטית חיובית (נגד [[כיוון השעון]]). כאשר האטום הרביעי משלים הקפה סביב האטום הראשון, הזווית הדו-מישורית מתאפסת. כאשר האטומים הראשון והרביעי נגדיים זה לזה, כמו באיור 2, הזווית הדו-מישורית היא <math>\ 180^{\circ}</math>.

==זוויות דו-מישוריות במולקולות ביולוגיות==
[[חלבון|חלבונים]] בנויים משרשרת של [[חומצת אמינו|חומצות אמינו]] המחוברות זו לזו באמצעות [[קשר פפטידי]]. נקבעו שמות תקניים לזוויות הדו-מישוריות לאורך השרשרת:
*<math>\ \phi</math> עבור האטומים <math>\mathrm{C^{\prime}-N-C^{\alpha}-C^{\prime}}</math>
*<math>\ \psi</math> עבור האטומים <math>\mathrm{N-C^{\alpha}-C^{\prime}-N}</math>
*<math>\ \omega</math> עבור האטומים <math>\mathrm{C^{\alpha}-C^{\prime}-N-C^{\alpha}}</math>

כלומר, הזווית <math>\ \phi</math> קובעת את המרחק בין אטומי הפחמן של קבוצות ה[[קרבוקסיל]] של חומצות אמינו שכנות <math>\mathrm{C^{\prime}-C^{\prime}}</math>. הזווית <math>\ \psi</math> קובעת את המרחק בין אטומי החנקן של קבוצות ה[[אמין (כימיה)|אמין]] של חומצות אמינו שכנות  <math>\ \mathrm{N-N}</math>. לבסוף, הזווית <math>\ \omega</math> קובעת את המרחק בין אטומי הפחמן הראשיים של חומצות אמינו שכנות <math>\ \mathrm{C^{\alpha}-C^{\alpha}}</math>.

מישוריות הקשר הפפטידי מאלצת את הזווית השלישית <math>\ \omega</math> להיות <math>0^{\circ}</math> או <math>180^{\circ}</math>. התצורה בה<math>\ \omega=0^{\circ}</math>  מכונה תצורת ''ציס'' (''cis'') ואילו התצורה בה <math>\ \omega=180^{\circ}</math>  מכונה תצורת ''טראנס'' (''trans''). אלה תצורות [[איזומר]]יות. המרחקים בין אטומי הפחמן המרכזיים <math>\ \mathrm{C^{\alpha}}</math> בתצורות ''ציס'' ו''טראנס'' הם בקירוב 2.8 ו-3.8 [[אנגסטרם]], בהתאמה. באופן כללי, תצורת ''טראנס'' שכיחה יותר בחלבונים. תצורת ''ציס'' מופיעה בעיקר בקשר הפפטידי לקבוצה האימינית של חומצת האימינו [[פרולין]] (ראו גם - [[איזומריות ציס-טראנס]]).

הזוויות הדו-מישוריות בחלבונים מסומנות כ-<math>\ \chi_{1}</math>-<math>\ \chi_{5}</math>, בהתאם למרחקן מאטום הפחמן המרכזי הנושא את השייר של חומצת האמינו. הזווית הראשונה <math>\ \chi_{1}</math> מוגדרת על ידי האטומים <math>\ \mathrm{N-C^{\alpha}-C^{\beta}-C^{\gamma}}</math>, הזווית השנייה <math>\ \chi_{2}</math> מוגדרת על ידי האטומים <math>\ \mathrm{C^{\alpha}-C^{\beta}-C^{\gamma}-C^{\delta}}</math>, וכן הלאה.

הזוויות הדו-מישוריות בחלבונים נוטות להצטבר בקרבת הזוויות  <math>180^{\circ}</math>, 
<math>60^{\circ}</math> ו- <math>-60^{\circ}</math>. קיימת השפעה הדדית בין זוויות דו-מישוריות שכנות: רק לעיתים רחוקות נמצא שתי זוויות דו-מישוריות שכנות בגודל <math>60^{\circ}</math> וכו'.

[[IUPAC]] הגדירו שמות תקניים גם לזוויות דו-מישוריות במולקולות אחרות, כגון [[חומצת גרעין|חומצות הגרעין]] [[DNA]] ו-[[RNA]] ו[[רב-סוכר]]ים.

==ראו גם==
* [[דיאגרמת ראמהצ'אנדרן]]
==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=דיהדרל}}
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:זוויות]]
[[קטגוריה:ביוכימיה]]
[[קטגוריה:כימיה אורגנית]]