הצגת המקור של הדף "חבורה אבלית נוצרת סופית"

ב[[תורת החבורות]], '''חבורה אבלית נוצרת סופית''' (Finitely generated abelian group) היא [[חבורה אבלית]] שהיא [[נוצר סופית|נוצרת סופית]], כלומר, שאפשר ליצור את כל אבריה באמצעות פעולת הכפל, ממספר סופי של איברים נתונים, גם אם אינה סופית בעצמה. בניגוד ל[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] שאינן אבליות, שהמבנה שלהן יכול להיות מסובך ביותר, המבנה של כל החבורות האבליות הנוצרות סופית מוכר וידוע, וניתן למיין אותן באופן מלא. כל חבורה כזו מתפרקת ל[[סכום ישר]] של חבורה אבלית סופית ושל מספר עותקים של [[חוג המספרים השלמים|החבורה הציקלית האינסופית]]. בתורן, החבורות האבליות הסופיות נבנות כסכומים ישרים של [[חבורה ציקלית|חבורות ציקליות]] סופיות. זהו משפט בסיסי בתורת החבורות הסופיות, שהרי כל חבורה סופית היא חבורה נוצרת סופית.

המשפט הוא [[מקרה פרטי]] של משפט המיון למודולים נוצרים סופית מעל [[תחום ראשי]].

==מבוא==
'''[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]]''' היא [[מבנה אלגברי]] בסיסי שמופיע במתמטיקה בהקשרים רבים ושונים, ומורכב מ[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצת]] איברים עם [[פעולה בינארית]] המוגדרת עליהם, ומקיימת מספר [[אקסיומה|אקסיומות]]. עולם החבורות עשיר בדוגמאות, כגון [[החבורה הסימטרית]] <math>\ S_n</math>, [[חבורת מטריצות|חבורת המטריצות]] <math>\ \operatorname{GL}_n(F)</math> מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F, או החבורה של [[שדה המספרים הרציונליים|המספרים הרציונליים]] ביחס לחיבור. שתי הדוגמאות הראשונות אינן אבליות, כלומר, הכפל אינו מקיים בהן את התכונה <math>\ ab = ba</math>; חבורות כאלה יכולות להיות מסובכות מאוד. הדוגמה השלישית, על-אף שהיא אבלית, אינה נוצרת סופית (כל תת-חבורה נוצרת סופית שלה היא ציקלית).

אחד מהתחומים בהם עוסקת ה[[אלגברה מופשטת|אלגברה המופשטת]] הוא סיווג של חבורות, או מבנים אלגבריים אחרים, על פי תכונותיהן. '''משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית''' מספק סיווג כזה עבור החבורות האבליות שיש להן [[קבוצה סופית|תת-קבוצה סופית]] של איברים, שממנה אפשר ליצור, על ידי פעולת החבורה, את כל איברי החבורה. 

המשפט מראה כי כל חבורה אבלית נוצרת סופית היא, למעשה, [[סכום ישר|סכום]] של [[חבורה ציקלית|חבורות ציקליות]]. מכיוון שחבורות ציקליות פשוטות מאוד לתיאור, הדבר מסייע להבנה של מבנה החבורה שעליה מופעל המשפט, וכן מקל לבדוק האם שתי חבורות שהוגדרו בדרכים שונות הן בעלות אותו המבנה - על ידי השוואת ההצגה שלהן כמכפלות של חבורות ציקליות.

== פיתול ==

בדרך-כלל מסמנים את הפעולה בחבורה אבלית בסימן החיבור, ואת האיבר הנייטרלי בסימן 0. בכל חבורה אבלית A אפשר לאסוף את האיברים <math>\ a \in A</math> שעבורם קיים <math>\ 0 \neq n\in \mathbb{Z}</math> כך ש- <math>\ na = 0</math>. אלו ה'''איברים המפותלים''' של החבורה, וביחד הם מהווים תת-חבורה, <math>\ A_{\operatorname{tor}}</math>. אם יש איברים כאלה (פרט ל-0), אומרים ש"יש לחבורה פיתול", ואם כל האיברים הם כאלה - החבורה '''מפותלת'''. חבורה '''חסרת פיתול''' היא חבורה ללא איברים מפותלים. חבורת המנה <math>\ A/A_{\operatorname{tor}}</math> היא תמיד חסרת פיתול. 

כל חבורה אבלית סופית היא מפותלת. בין החבורות הציקליות, רק החבורה הציקלית האינסופית היא חסרת פיתול, ואכן, חבורה אבלית נוצרת סופית ללא פיתול מוכרחה להיות [[איזומורפיזם#איזומורפיזם בין חבורות|איזומורפית]] לסכום ישר של מספר סופי של עותקים של חבורה זו. 

מאידך, חבורה אבלית נוצרת סופית ומפותלת היא סופית, ומוכרחה להיות איזומורפית לסכום ישר של חבורות ציקליות סופיות.

== הדרגה ==

קבוצה שאפשר ליצור ממנה את כל אברי החבורה נקראת '''קבוצת יוצרים'''. גודלה של הקבוצה הקטנה ביותר היוצרת את החבורה הוא ה'''דרגה''' של החבורה (לחבורה יש דרגה סופית [[אם ורק אם]] היא נוצרת סופית). למשל, דרגתה של החבורה <math>\ \mathbb{Z}^5</math> היא 5, ואילו הדרגה של <math>\ \mathbb{Z}/14\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/20\mathbb{Z}</math> היא 2. כל חבורה אבלית מדרגה r מהווה [[חבורת מנה]] של '''החבורה האבלית החופשית מדרגה r''', 
<math>\ \mathbb{Z}^r</math>. 

==משפט המיון==
משפט המיון של החבורות האבליות הנוצרות סופית קובע שכל חבורה כזו [[איזומורפיזם#איזומורפיזם בין חבורות|איזומורפית]] לחבורה יחידה מהצורה
:<math>\ \mathbb{Z}^r\oplus\mathbb{Z}_{p_1^{k_1}}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{p_n^{k_n}}</math>,
כאשר <math>\ r\ge 0</math> והמספרים <math>\ p_1^{k_1},\dots ,p_n^{k_n}</math> הם חזקות (לא בהכרח שונות זו מזו) של [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]]. 

צורת הצגה זו נקראת "צורת המחלקים האלמנטריים", והמספרים <math>\ p_1^{k_1},\dots,p_n^{k_n}</math> נקראים "המחלקים האלמנטריים". דרך הצגה יחידה נוספת היא באמצעות "הגורמים האינווריאנטיים": בצורת הצגה זו, <math>\ G</math> איזומורפית לסכום הישר הבא:

:<math>\ \mathbb{Z}^r\oplus\mathbb{Z}_{m_1}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{m_k}</math>

כאשר מתקיים יחס החלוקה הבא: <math>\ m_1|m_2|\dots |m_k</math>. גם צורת הצגה זו היא יחידה.

מהמשפט ניתן לראות כי כל חבורה אבלית נוצרת סופית <math>\ G</math> מורכבת מסכום ישר של שני חלקים: החלק האחד הוא הסכום <math>\ \mathbb{Z}_{m_1}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{m_k}</math> שמייצג את [[תת חבורת הפיתול]] של <math>\ G</math>, כלומר את תת-החבורה הנוצרת על ידי האיברים מ[[סדר של איבר בחבורה|סדר]] סופי.

החלק השני בסכום הוא <math>\ \mathbb{Z}^r</math>. זוהי [[חבורה חופשית|חבורה אבלית חופשית]] מדרגה סופית <math>\ r</math>.

===הוכחה===
הוכחה פשוטה יחסית למשפט המיון נובעת מתוצאה כללית יותר בתורת ה[[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]], ומתבססת על כך שניתן לראות כל חבורה אבלית גם כמודול מעל ה[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] <math>\ \mathbb{Z}</math>.

==דוגמאות==
*כל חבורה אבלית סופית, נוצרת סופית (למשל, בידי קבוצת כל האיברים שלה). מכיוון שהמרכיב <math>\ \mathbb{Z}^r</math> בפירוק לעיל הוא אינסופי כאשר <math>\ r>0</math>, נובע שכל חבורה אבלית סופית איזומורפית לחבורה מהצורה <math>\ \mathbb{Z}_{m_1}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{m_k}</math>. דוגמאות ספציפיות:
**קיימת חבורה אבלית יחידה בת 6 איברים. בהצגה באמצעות מחלקים אלמנטריים צורתה היא <math>\ \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3</math> ואילו בהצגה באמצעות גורמים אינווריאנטיים צורתה היא <math>\ \mathbb{Z}_6</math>. לפי [[משפט השאריות הסיני]] שתי ההצגות איזומורפיות.
**כל חבורה אבלית סופית בת 90 איברים איזומורפית לאחת מהחבורות הבאות:
***בהצגה באמצעות מחלקים אלמנטריים: <math>\ \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_{3^2}\oplus\mathbb{Z}_5
,\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_5</math>
***בהצגה באמצעות גורמים אינווריאנטים: <math>\ \mathbb{Z}_{3}\oplus\mathbb{Z}_{30},\mathbb{Z}_{90}</math>
*כל חבורה אבלית חופשית נוצרת סופית איזומורפית ל-<math>\ \mathbb{Z}^r</math> עבור <math>\ r>0</math> מסוים שהוא גודל קבוצת היוצרים שלה. קל לראות את האיזומורפיזם במקרה זה: כל אחד מיוצרי החבורה עובר ליוצר של אחד מעותקי <math>\ \mathbb{Z}</math>.
*אוסף הנקודות הרציונליות על [[עקום אליפטי]] עם פעולה מתאימה מהווה, על פי [[משפט מורדל-וייל]], חבורה אבלית נוצרת סופית ולכן המשפט חל עליו. עבור חבורה זו יש חשיבות גדולה לדרגה של החלק החופשי, כלומר ל-<math>\ r</math> שבחלק <math>\ \mathbb{Z}^r</math> של החבורה. השערה מפורסמת ב[[תורת המספרים]] בשם [[השערת בירץ' וסווינרטון-דייר]] היא ש-<math>\ r</math> שווה לסדר האפס של [[פונקציה מרוכבת]] מסוימת המותאמת לעקום, בנקודה <math>\ s=1</math>.

[[קטגוריה:תורת החבורות]]