הצגת המקור של הדף "חבורה אלגברית"

{{חומר רקע|
*[[יריעה אלגברית]]
*[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]]
}}
'''חבורה אלגברית''' <math>G</math> היא אובייקט שהוא בו זמנית גם [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] וגם [[יריעה אלגברית]], כך שההעתקות
*הכפל: <math>m : G \times G \to G </math>, המוגדרת על ידי <math>(g,h) \mapsto gh</math>,
*וה[[איבר הופכי|הפכי]]: <math>i : G \to G</math>, המוגדרת על ידי <math>g \mapsto g^{-1}</math>,
הן [[מורפיזם|מורפיזמים]] (העתקות רגולריות) של יריעות אלגבריות.

יריעות אלגבריות מצוידות ב[[טופולוגיית זריצקי]], אך המבנה הזה לא נותן [[חבורה טופולוגית]], שכן טופולוגיית זריצקי על המכפלה לא מסכימה עם טופולוגיית המכפלה. הטופולוגיה הזו גם לא מבטאת את המבנה הגאומטרי של החבורה. לעומת זאת אם על השדה <math>k</math> מעליו מוגדרת החבורה נתונה [[טופולוגיה]] (למשל כאשר <math>k=\R,\Complex</math>) אז אנו מקבלים טופולוגיה עדינה יותר על החבורה <math>G</math> (או ליתר דיוק על קבוצת ה <math>k</math>-נקודות שלה <math>G(k)</math>). אם ה[[מאפיין (אלגברה)|מציין]] של <math>k</math> הוא 0, אז ניתן להראות ש G [[יריעה אלגברית חלקה|יריעה חלקה]], ולכן, כאשר <math>k=\R,\Complex</math>, על <math>G(k)</math> יש מבנה של [[חבורת לי|חבורות לי]].

== דוגמאות ==
*כל חבורה סופית היא חבורה אלגברית עם ה[[טופולוגיה דיסקרטית|טופולוגיה הדיסקרטית]].
*[[עקום אליפטי|עקומים אליפטיים]]: עקום ב[[מרחב פרויקטיבי|מרחב הפרויקטיבי]] עליו מוגדרת פעולת חבורה.
*החבורה החיבורית: <math>\mathbf{G}_a = (k, +)</math>.
*החבורה הכפלית: <math>\mathbf{G}_m = (k^\times, \cdot)</math>.
*הדוגמאות השימושיות והחשובות ביותר - חבורות אלגבריות ליניאריות: [[החבורה הליניארית הכללית]] <math>\mathbf{GL}(n,k)</math> - חבורת ה[[מטריצה|מטריצות]] ה[[מטריצה הפיכה|הפיכות]] מסדר <math>n \times n</math> מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] ''k''.
*תת-החבורות האלגבריות שלה: <math>\mathbf{SL}(n,k)</math> (מטריצות בעלות [[דטרמיננטה]] 1) <math>\mathbf{O}(n)</math> ([[מטריצה אורתוגונלית|מטריצות אורתוגונליות]]), <math>\mathbf{SO}(n)</math> (מטריצות אורתוגונליות עם דטרמיננטה 1), <math>\mathbf{U}(n)</math> ([[מטריצה אוניטרית|מטריצות אוניטריות]]) ועוד.
*[[טורוס]]: <math>T = \mathbf{D}(n,k) \cong (k^\times) \times ... \times (k^\times)</math> חבורת [[מטריצה אלכסונית|המטריצות האלכסוניות]] ההפיכות מסדר n.

כל [[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]] של חבורה אלגברית בחבורה <math>\mathbf{GL}(n,k)</math> נקרא "[[הצגה ליניארית]]" של החבורה. חבורה אלגברית שקיימת לה [[הצגה נאמנה]] כתת-חבורה סגורה של <math>\mathbf{GL}(n,k)</math> נקראת '''חבורה אלגברית ליניארית''' או "חבורה אלגברית אפינית".

הדרגה של חבורה אלגברית חוסמת את רמת המורכבות שלה. לפי משפט קלאסי של [[קמיל ז'ורדן]], לכל n יש קבוע N כך שלכל תת-חבורה של <math>\ \operatorname{GL}_n(\mathbb{C})</math> יש תת-חבורה נורמלית אבלית מאינדקס N לכל היותר.

=== דוגמה מפורטת ===
נראה דוגמה מפורטת של חבורה אלגברית: <math>G = \mathbf{GL}(2,\mathbb{C}) = \left\{ A \in \mathrm{M}_2(\mathbb{C}) \mid \det A \ne 0 \right\}</math>.
*זו חבורה עם הפעולה של [[כפל מטריצות]].
*זו יריעה אלגברית, שניתן להציגה כיריעה הסגורה <math>\left\{ (a, b, c, d, t) \mid (ad-bc)t=1 \right\}</math> כאשר אנו מזהים כל מטריצה כ-<math>A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)</math> ואז <math>\det A = ad - bc</math>; קיומו של מספר t כך ש-<math>(\det A)t = (ad-bc)t=1</math> שקול לכך ש-<math>\det A \ne 0</math>. הפונקציות הרגולריות הבסיסיות על יריעה זו הן <math>X_{ij}</math> המחזירות את הקואורדינטה בשורה ה-i ובעמודה ה-j במטריצה ''A'', וכן הפונקציה <math>\frac{1}{\det A} = ( X_{11} X_{22} - X_{12} X_{21} )^{-1}</math> (למעשה זו הפונקציה שמחזירה את ה"קואורדינטה" t).
*יהיו <math>A = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right)</math> ו-<math>B= \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix} \right)</math>, אז למשל <math>X_{11}(A \cdot B) = a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} = X_{11}(A)X_{11}(B) + X_{12}(A) X_{21}(B)</math> ולכן כפל מטריצות הפיכות היא העתקה רגולרית.
*<math>\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right)</math> וקל לראות שגם זו פונקציה רגולרית (השבר שכופל את המטריצה שווה לאחד חלקי ה[[דטרמיננטה]] ולכן הוא פונקציה רגולרית!), ומכאן שגם פונקציית ההפכי רגולרית.
בסך בכל נובע ש-''G'' היא חבורה שהיא גם יריעה אלגברית כך שפעולות הכפל וההפכי הן פונקציות רגולריות ולכן היא חבורה אלגברית.

==מושגי יסוד==
===תת-חבורה וחבורת מנה===
תת-חבורה אלגברית ''H'' של חבורה אלגברית ''G'' היא [[תת-חבורה]] מופשטת, שמהווה גם תת-יריעה של ''G'' והיא סגורה בטופולוגיית זריצקי. ניתן להגדיר גם את המנה <math>G/H</math>. אם ''H'' היא תת-חבורה אלגברית של ''G'' אז למרחב הקוסטים ''G/H'' קיים מבנה יחיד של [[יריעה קוואזי-פרויקטיבית]] שעבורו הפעולה של ''G'' על ''G/H'' היא רגולרית (למעשה, ניתן לזהות את ''H'', כ[[פעולת חבורה|מייצב]] של [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] ב[[מרחב פרויקטיבי]] שעליו פועלת ''G''). אם ''G'' היא אפינית ו ''H'' [[תת-חבורה נורמלית]] אז המנה ''G/H'' היא [[חבורת מנה]] אפינית - כלומר: חבורה אלגברית ו[[יריעה אלגברית אפינית]].
===מושגי יסוד נוספים===
בנוסף רוב מושגי היסוד בתורת החבורת קיימים גם עבור חבורות אלגבריות. זה כולל את המושגים: [[הרחבה (תורת החבורות)|הרחבה]], [[מרכז של חבורה|מרכז]], [[החבורה הנגזרת]], [[מכפלה ישרה]]. [[מכפלה חצי ישרה]] ועוד.

==סוגים של חבורות==
===חבורות סופיות===
{{ערך מורחב|חבורוה סופית}}
כל [[חבורה סופית]] היא חבורה אלגברית, ביחס למבנה הדיסקרטי של יריעה אלגברית על קבוצה סופית. קל לראות שכל חבורה סופית היא גם חבורה ליניארית. מעל [[שדה סגור אלגברית]] אין הבדל בין חבורה סופית וחבורה אלגברית סופית. מעל שדה כללי יש הבדל אבל הוא מינורי (לחבורה המוגדרת מעל שדה כללי יש מבנה נוסף; אם ה[[שדה מושלם]] מבנה זה מתבטא בפעולת [[חבורת גלואה האבסולוטית]] של השדה). לכן המחקר של חבורות אלגבריות כמעט ולא עוסק בחבורות סופיות.
===חבורות קשירות===
חבורה אלגברית ''G'' נקראת "אי-פריקה" אם כיריעה היא [[מרחב אי-פריק|יריעה אי-פריקה]] ב[[טופולוגיית זריצקי]]. עבור חבורה אלגברית ניתן להראות ש-''G'' היא אי-פריקה אם ורק אם היא [[קשירות (טופולוגיה)|קשירה]] (בטופולוגיית זריצקי). לכן עבור חבורות אלגבריות בדרך כלל משתמשים במינוחים חבורות קשירות וחבורות אי-פריקות לחלופין. לעומת זאת, יש מתמטיקאים שמשתמשים במונח "אי-פריקות" ביחס לטופולוגיית זריצקי ואילו במונח "קשירות" ביחס לטופולוגיה
המוגדרת על ידי הטופולוגיה על השדה <math>k</math> (בעיקר במקרים <math>k=\R,\Complex</math>).
{{הערה|אם <math>k=\Complex</math> אז שני מושגי הקשירות שקולים, אולם המצב שונה במקרה ש<math>k=\R</math> למשל החבורה האלגברית <math>\mathbf{GL}_2</math> קשירה אולם חבורת הנקודות הממשיות שלה <math>\mathbf{GL}_2(\R)</math> איננה קשירה.}}

לחבורה אלגברית ''G'' כמו לכל יריעה אלגברית יש מספר סופי של מרכיבים אי-פריקים. [[הרכיב הקשיר של איבר היחידה|הרכיב האי-פריק של ''G'' המכיל את איבר היחידה]] מסומן <math>G^0</math> ונקרא '''identity component'''. הרכיב הקשיר של איבר היחידה <math>G^0</math> הוא [[תת-חבורה נורמלית]] [[קבוצה סגורה|סגורה]] של ''G''. המנה <math>G/G^0</math> עומדת ב[[פונקציה חד-חד-ערכית ועל|התאמה]] לקבוצת רכיבי הקשירות של <math>G</math> ונקראת חבורת רכיבי הקשירות של <math>G</math>. זוהי חבורה אלגברית סופית.

מכאן מקבלים שכל חבורה אלגבית היא הרחבה של [[חבורה סופית]] וחבורה קשירה. לכן עיקר העיסוק בחבורות אלגברית מתמקד בחבורות קשירות.

===יריעות אבליות===
חבורה אלגברית קשירה נקראת [[יריעה אבלית]] אם בתור יריעה אלגברית היא [[יריעה אלגברית שלמה|יריעה שלמה]]. זה גורר שהיא גם [[יריעה אלגברית פרויקטיבית|יריעה פרויקטיבית]] וגם [[חבורה אבלית|חבורה קמוטטיבית]].{{הערה|[https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/AV.pdf מילן] פרק 1.1 עמוד 8}}

בהקשרים מסוימים מדברים גם על יריעות אבליות לא קשירות. במקרה כזה, נהוג להוסיף את דרישת הקומוטטיביות כדרישה נוספת משום שהיא לא נובעת אוטומטית מדרישת השלמות. הפרויקטיביות, נובעת מהשלמות גם במקרה הלא קשיר.

אם שדה ההגדרה הוא {{C}} אז קבוצת הנקודות של יריעה אבלית (קשירה) איזומורפית כ[[חבורת לי]] לטורוס מממד זוגי (פעמיים ממד הירעה האבלית).

יריעות אבליות מהוות תחום מחקר חשוב בגאוטריה אלגברית, אולם, מכיוון שהן קומוטטיבוית, הן אינן מהוות מוקד עינין משמעותי מנקודת מבט של [[תורת החבורות]] ו[[תורת ההצגות]].

למרות שמן יריעות אבליות אינן סוג של יריעות אלגבריות אלא סוג של חבורות אלגבריות.

===חבורות ליניאריות===
{{ערך מורחב|חבורה אלגברית ליניארית}}
חבורה נקראת אפינית, אם היא אפינית כיריעה אלגברית. ניותן להראות כי במקרה זה היא ניתנת לשיכון (כתת-חבורה) ב <math>\mathbf{GL}_N</math> (עבור איזה שהוא <math>N</math> טבעי). לכן קראים לחבורות כאילו גם [[חבורה אלגברית ליניארית|חבורות ליניאריות]]. לפי [[משפט המבנה של שבלה]] כל חבורה אלגברית קשירה היא הרחבה של חבורה ליניארית ו[[יריעה אבלית]] (כאשר החבורה הליניארית היא תת-חבורה של החבורה האלגברית).

חבורה ליניאריות ''G'' נקראת פתירה אם קיימת סדרה יורדת של תת-חבורות נורמליות ב-'''G''' כך שהמנות העוקבות הן חבורות [[פעולה קומוטטיבית|קומוטטיביות]] (בדומה ל[[חבורה פתירה|מושג המקביל בתורת החבורות]]).

'''הרדיקל (הפתיר)''' של חבורה ליניארית היא [[הרכיב הקשיר של איבר היחידה]] של תת-החבורה ה[[תת-חבורה נורמלית|נורמלית]] ה[[חבורה פתירה|פתירה]] המקסימלית שלה. חבורה ליניארית קשירה נקראת '''פשוטה-למחצה''' אם הרדיקל הפתיר שלה טריוויאלי.

'''הרדיקל האוניפוטנטי''' של חבורה ליניארית הוא תת-החבורה האוניפוטנטית הגדולה ביותר של הרדיקל הפתיר. חבורה ליניארית שהרדיקל האוניפוטנטי שלה טריוויאלי נקראת '''חבורה רדוקטיבית'''. כל חבורה פשוטה-למחצה היא רדוקטיבית.

חבורה ליניארית קשירה ''G'' נקראת '''פשוטה''' אם היא לא קומוטטיבית וגם אין לה תת-חבורות נורמליות קשירות סגורות לא טריוויאליות. היא נקראת '''כמעט פשוטה''' אם יש לה מרכז סופי ''Z'' והחבורה ''G/Z'' היא פשוטה.
===חבורות פשוטות קשר===
[[חבורה אלגברית קשירה]] נקראת [[חבורה אלגברית פשוטת קשר]] אם היא לא מנה של חבורה אלגברית בתת-חבורה לא טריוויאלית. זה שקול לכך שהיא [[יריעה אלגברית פשוטת קשר|פשוטת קשר]] כ[[יריעה אלגברית]] (זאת אומרת שהיא לא תמונה של [[העתקת אטל]] [[העתקה נאותה|נאותה]] שאיננה [[איזומורפיזם]]). אם שדה ההגדרה הוא {{C}} אז זה גם שקול לכך שקבוצת הנקודות של החבורה היא [[מרחב פשוט קשר|פשוטת קשר]] בטופולגיה האנליטית (המושרית מ - {{C}})

כל חבורה אלגברית פשוטת קשר היא [[חבורה אלגברית ליניארית|ליניארית]].

==עץ מיון של חבורות אלגבריות==
{{עץ מיון של חבורות אלגבריות}}
==ראו גם==
===סוגים של חבורות אלגבריות===
{{רשימת עץ}}
*[[חבורה אלגברית ליניארית]]
**[[חבורה רדוקטיבית]]
***[[טורוס אלגברי]]
****[[החבורה הכפלית של חוג|החבורה הכפלית]]
***[[חבורה אלגברית פשוטה למחצה]]
****[[חבורה אלגברית פשוטה]]
**[[חבורה אוניפוטנטית]]
***[[החבורה החיבורית]]
*[[יריעה אבלית]]
**[[עקום אליפטי]]
{{רשימת עץ/סוף}}
===מושגים קשורים===
*[[אובייקט חבורתי]]
**[[חבורה טופולוגית]]
**[[חבורת לי]]
**[[סכמת חבורה]]
**[[אלגברת הופף]]
*[[אלגברת לי]]
*[[תורת האינווריאנטים הגאומטרית]]

==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
*{{Citation | last=Chevalley | first=Claude | title= Classification des groupes de Lie algébriques|url=http://www.numdam.org/numdam-bin/browse?id=SCC_1956-1958__1_   | publisher=Secrétariat Mathématique | location=Paris | year=1958}}
</div>
===חבורות ליניאריות===
<div class="mw-content-ltr">
*{{Citation | last=Humphreys | first=James E. | title=Linear Algebraic Groups | publisher=[[Springer-Verlag]], Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | id={{ISBN|978-0-387-90108-4}}  | year=1972 | volume=21}}
*Milne, J. S., ''[http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ala.html Affine Group Schemes; Lie Algebras; Lie Groups; Reductive Groups; Arithmetic Subgroups]''
*{{Citation | last=Springer | first=Tonny A. | title=Linear algebraic groups | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | edition=2nd | series=Progress in Mathematics | id = {{ISBN|978-0-8176-4021-7}} | year=1998 | volume=9}}
*{{Citation | last=Waterhouse | first=William C. |  title=Introduction to affine group schemes | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | id = {{ISBN|978-0-387-90421-4}} | year=1979 | volume=66}}
</div>
===יריעות אבליות===
<div class="mw-content-ltr">
*{{Citation | last=Mumford | first=David |  title=Abelian varieties | publisher=[[Oxford University Press]] | id = {{ISBN|978-0-19-560528-0}} | year=1970}}
*{{Citation | last=Lang | first=Serge | title=Abelian varieties | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | id = {{ISBN|978-0-387-90875-5}} | year=1983}}
*{{Citation | last=Weil | first=André | title=Courbes algébriques et variétés abéliennes | publisher=Hermann, Paris |  year=1971}}
</div>
== קישורים חיצוניים ==
* [https://web.archive.org/web/20140111025755/http://www.math.harvard.edu/~chaoli/doc/AlgebraicGroup.html הגדרות ומונחים בחבורות אלגבריות]
* {{MathWorld}}
* [https://stacks.math.columbia.edu/tag/022R סכמות חבורה] באתר [[Stacks project]]

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:תורת החבורות]]
[[קטגוריה:גאומטריה אלגברית]]