הצגת המקור של הדף "חבורה היפרבולית"

ב[[תורת החבורות]], '''חבורה היפרבולית''' היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] [[חבורה נוצרת סופית|נוצרת סופית]], ש[[גרף קיילי]] שלה הוא [[מרחב היפרבולי|היפרבולי]]. כיוון שהחלפת קבוצת היוצרים נותנת גרף קיילי [[קוואזי איזומטריה|קוואזי-איזומטרי]] לקודם, ומכיוון שהיפרבוליות נשמרת תחת קוואזי-איזומטריה, ההגדרה אינה תלויה בבחירת קבוצת היוצרים של החבורה.

את תכונת ההיפרבוליות של חבורה אפשר לנסח בדרכים שקולות רבות - בעיקר מתחום [[תורת החבורות הקומבינטורית]] וה[[פעולת חבורה|פעולה]] של חבורות על [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]]. לדוגמה, [[החבורה היסודית]] של כל [[משטח רימן]] קומפקטי מ[[גנוס (טופולוגיה)|גנוס]] גדול מ-1 היא היפרבולית.

את המושג הגדיר [[מיכאיל גרומוב]] ב-[[1978]]{{הערה|1=ריאיון עם גרומוב ב- Newsletter of the EMS, ספטמבר 2009.}}.

== תנאים על ההצגה ==

[[הצגה על ידי יוצרים ויחסים|הצגה]] של חבורה נקראת '''הצגת דן''' (על-שם [[מקס דן]]), אם היחסים הם כולם מהצורה <math>a_i = b_i</math>, כאשר האורך של <math>b_i</math> (במונחי היוצרים) קטן משל <math>a_i</math>, וכל מילה שאינה מכילה אף <math>a_i</math> אינה מייצגת את האיבר ה[[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]] של החבורה. בחבורה כזו, ההצגה נותנת [[אלגוריתם]] כמעט מפורש ל[[בעיית המילה]]: החלף כל הופעה של <math>a_i</math> ב-<math>b_i</math>, עד שאין יותר תת-מילים מהצורה <math>a_i</math>; האיבר הוא טריוויאלי [[אם ורק אם]] התהליך הסתיים במילה הריקה. בחבורה עם הצגה כזו, גם [[בעיית הצמידות]] פתירה.

חבורה נוצרת סופית היא היפרבולית אם ורק אם יש לה הצגת דן סופית. בפרט, חבורה היפרבולית היא [[חבורה מוצגת סופית]]. [[בעיית האיזומורפיזם]] פתירה עבור חבורות היפרבוליות לא מפותלות.

חבורה נוצרת סופית המקיימת את [[תנאי הצמצום הזעיר]] <math>C'(1/6)</math>, או את התנאים <math>C'(1/4)</math> ו-<math>T(4)</math>, היא היפרבולית.

במובן סטטיסטי מסוים, [[כמעט כל]] חבורה נוצרת סופית היא היפרבולית.

== תנאים על פעולה ==

[[מרחב מטרי]] נקרא "הגון" (proper), אם כל ה[[כדור (טופולוגיה)|כדורים]] הסגורים הם קומפקטיים.
חבורה היא היפרבולית אם ורק אם היא פועלת נאמנה, כחבורה של [[איזומטריה|איזומטריות]], על מרחב מטרי הגון, כך ש[[מרחב מנה|מרחב המנה]] ביחס לפעולה הוא [[מרחב קומפקטי|קומפקטי]]. בפרט, החבורה היסודית של כל יריעת רימן קומפקטית מעקמומיות שלילית היא היפרבולית.

== תכונות קלאסיות ==

כל החבורות הסופיות הן היפרבוליות. [[חבורה מפותלת]] יכולה להיות היפרבולית רק אם היא סופית.

בחבורה היפרבולית יש מספר סופי של מחלקות צמידות של תת-חבורות סופיות.

כל תת-חבורה ציקלית אינסופית של חבורה היפרבולית היא בעלת אינדקס סופי ב[[נורמליזטור]] שלה. בפרט, לחבורה היפרבולית לא יכולה להיות תת-חבורה מהצורה <math>\mathbb{Z}^2</math>.

כל תת-חבורה של חבורה היפרבולית, שאינה מכילה [[חבורה חופשית|תת-חבורה חופשית]] לא אבלית, היא דמוי-ציקלית (כלומר, יש לה תת-חבורה ציקלית מאינדקס סופי).

ה[[מכפלה ישרה|מכפלה הישרה]] של חבורה היפרבולית בחבורה סופית היא היפרבולית, אבל המכפלה הישרה של שתי חבורות היפרבוליות אינסופיות אינה היפרבולית. מאידך, ה[[מכפלה חופשית|מכפלה החופשית]] של שתי חבורות היפרבוליות היא היפרבולית.

תת-חבורה נוצרת סופית <math>H</math> של חבורה היפרבולית חסרת פיתול מקיימת את תכונת Hopf: כל [[אפימורפיזם]] <math>H \rightarrow H</math> הוא [[איזומורפיזם]]. השפה של חבורה היפרבולית (במובן של [[מרחב היפרבולי#השפה|מרחבים היפרבוליים]]) איזומורפית למעגל <math>S^1</math>, אם ורק אם החבורה [[חבורת פוקס|פוקסיאנית]].

[[טור הילברט]] <math>H_S(t) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n</math> של חבורה היפרבולית (<math>a_n</math> הוא מספר האיברים מאורך <math>n</math> בחבורה, ביחס לקבוצת יוצרים <math>S</math>) הוא [[פונקציה רציונלית]] במשתנה <math>t</math>.

[[השערה (מתמטיקה)|משערים]] שכל חבורה היפרבולית היא residually finite, אבל הדבר אינו ידוע לאשורו.

== תכונות הומולוגיות ==

אם <math>G</math> היפרבולית, כל [[חבורת הומולוגיה|חבורות ההומולוגיה]] <math>H_n(G,\mathbb{Z})</math> הן נוצרות סופית, ו[[כמעט כל]] החבורות <math>H_n(G,\mathbb{Q})</math> טריוויאליות. אם <math>G</math> [[חבורה חסרת פיתול|חסרת פיתול]], אז גם כמעט כל החבורות <math>H_n(G,\mathbb{Z})</math> הן טריוויאליות{{הערה|Luck, Theorem <math>7.2.(v)</math>|כיוון=שמאל}}.

== מקורות ==
* Survey on geometric group theory, Wolfgang Luck, 2008.

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:תורת החבורות]]
[[קטגוריה:תורת החבורות הגאומטרית]]