הצגת המקור של הדף "חבורה מושלמת"

ב[[תורת החבורות]], '''חבורה מושלמת''' היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] <math>G</math> השווה ל[[תת-חבורת הקומוטטורים]] של עצמה, כלומר, <math>G'=G</math>. במילים אחרות, אלו הן החבורות שאין להן אף מנה אבלית לא טריוויאלית. לדוגמה, כל [[חבורה פשוטה]] [[חבורה אבלית|לא אבלית]] היא מושלמת. מאידך, יש חבורות מושלמות שאינן פשוטות, כמו <math>\operatorname{SL}_2(\mathbb{F}_5)</math>. 

כל [[חבורת מנה|מנה]] של חבורה מושלמת היא מושלמת. 

== הקשר להרחבות אוניברסליות ==

[[הרחבה מרכזית]] של חבורה <math>G</math> היא חבורה <math>\hat{G}</math> עם [[אפימורפיזם]] <math>\hat{G}\rightarrow G</math> שה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] שלו מוכל ב[[מרכז (תורת החבורות)|מרכז]] של <math>\hat{G}</math>. הרחבה מהצורה <math>\hat{G} = G \times A</math> (עם ההטלה על הרכיב הראשון), כאשר <math>A</math> אבלית, היא טריוויאלית. הרחבה מרכזית <math>U \rightarrow G</math> היא '''אוניברסלית''' אם היא מתפצלת דרך כל הרחבה מרכזית אחרת באופן יחיד, כלומר: לכל הרחבה מרכזית <math>\hat{G} \rightarrow G</math> יש הומומורפיזם <math>U \rightarrow \hat{G}</math> ההופך את ה[[דיאגרמה (תורת הקטגוריות)|דיאגרמה]] המתאימה ל[[דיאגרמה קומוטטיבית|קומוטטיבית]]; במובן מסוים, הרחבה אוניברסלית היא הרחבה גדולה ביותר, למעט תוספות טריוויאליות שכביכול אינן רלוונטיות (את ההרחבות המרכזיות האוניברסליות התחיל ללמוד [[ישי שור]] ב-[[1904]]).

מתברר שלחבורה יש הרחבה מרכזית אוניברסלית אם ורק אם היא מושלמת. יתרה מזו, הרחבה מרכזית <math>U</math> של <math>G</math> היא אוניברסלית אם ורק אם <math>U</math> מושלמת בעצמה, ואין לה הרחבות מרכזיות לא טריוויאליות. 

את ההרחבה המרכזית האוניברסלית של חבורה מושלמת אפשר לחשב באופן ישיר, מן ה[[הצגה לפי יוצרים ויחסים|הצגה שלה]] באמצעות [[יוצרים ויחסים של חבורה|יוצרים ויחסים]]: אם <math>G = F/R</math> כאשר <math>F</math> [[חבורה חופשית]] ו-<math>R</math> חבורת היחסים, אז ההרחבה המרכזית האוניברסלית היא <math>[F,F]/[F,R]</math> (ההטלה <math>[F,F]/[F,R]\rightarrow F/R</math> היא על משום ש-<math>F'R=F</math>, שהרי <math>\,F/R</math> מושלמת). הגרעין של ההטלה הזו הוא <math>(R\cap [F,F])/[R,F]</math> - [[כופל שור]] של <math>G</math>. הכופל אינו תלוי בהצגה, משום שהוא איזומורפי ל[[חבורת הומולוגיה|חבורת ההומולוגיה השנייה]] <math>\operatorname{H}_2(G,\mathbb{Z})</math>. 

בין הדוגמאות החשובות לבניה הזו נמצא [[הפונקטור K2|הפונקטור <math>K_2</math>]]: לכל [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] <math>R</math>, חבורת המטריצות האלמנטריות <math>E(R)</math> היא מושלמת, וההרחבה האוניברסלית שלה היא [[חבורת סטיינברג]] של החוג, <math>\operatorname{St}(R)</math>. הגרעין של ההטלה מן החבורה השנייה אל הראשונה הוא <math>\operatorname{K}_2(R)</math>.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:תורת החבורות]]