הצגת המקור של הדף "חבורת התמורות הזוגיות"

ב[[תורת החבורות]], '''חבורת התמורות הזוגיות''' הוא שמה של [[חבורה (מבנה אלגברי)|תת-חבורה]] נורמלית מסוימת וחשובה של [[החבורה הסימטרית]]. לכל [[מספר טבעי]] <math>n>1</math>, מחצית מבין <math>n!</math> ה[[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]] בחבורה הסימטרית <math>S_n</math> הן בעלות [[תמורה (מתמטיקה)#סימן של תמורה|סימן]] <math>+1</math>, ומחצית הן בעלות סימן <math>-1</math>. הקבוצה של <math>\frac{n!}{2}</math> התמורות בעלות סימן חיובי היא תת-חבורה מ[[מחלקה (תורת החבורות)|אינדקס]] 2 של <math>S_n</math> – חבורת התמורות הזוגיות. מקובל לסמן חבורה זו באות <math>A_n</math> (Alternating Group). בעקבות המיון של [[מערכת שורשים|מערכות שורשים]], סימון זה מתאר בהקשרים אחרים גם את הטיפוס של החבורה הסימטרית עצמה, בתור [[חבורת קוקסטר]].

כל תמורה ניתנת לכתיבה כמכפלה של [[תמורה (מתמטיקה)#סוגי תמורות|חילופים]] (טרנספוזיציות). ניתן להציג תמורה נתונה כמכפלה של חילופים באופנים שונים, ומספרם של החילופים אינו בהכרח קבוע; עם זאת, ה'''זוגיות''' של מספר החילופים, כלומר השארית בחלוקה לשתיים, אינה משתנה. חבורת התמורות הזוגיות כוללת את התמורות שהן מכפלת [[מספר זוגי]] של חילופים. מכיוון שסימן של מכפלת תמורות שווה למכפלת הסימנים (<math>\sgn(\tau\cdot\sigma)=\sgn(\tau)\cdot\sgn(\sigma)</math>), מכפלה של תמורות זוגיות היא זוגית, ולכן אוסף התמורות הזוגיות מהווה חבורה.

לדוגמה, <math>A_3</math> כוללת את כל ה[[תמורה (מתמטיקה)#סוגי תמורות|מחזורים]] באורך 3, בעלי הצורה <math>(abc)</math>. קבוצת המחזורים באורך 3 [[חבורה (מבנה אלגברי)#יוצרים ויחסים|יוצרת]] את <math>A_3</math>. אם <math>n\ge4</math> אפשר ליצור את החבורה באופן דומה, על ידי התמורות מהצורה <math>(ab)(cd)</math> כאשר <math>a,b,c,d</math> שונים זה מזה. 

חשיבותן הרבה של החבורות <math>A_n</math> נובעת מכך שהן [[חבורה פשוטה|חבורות פשוטות]] לכל <math>n\geq 5</math>. בפרט, החבורה <math>\ A_5</math>, שסדרה 60, היא החבורה הפשוטה הקטנה ביותר (שאינה [[חבורה ציקלית|ציקלית]]). משפחה זו של חבורות פשוטות היא הראשונה שהתגלתה. שאר החבורות הפשוטות הסופיות, פרט ל-26 [[משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות#החבורות הספורדיות|החבורות הספורדיות]], הן חבורות של [[מטריצה|מטריצות]] מעל [[שדה סופי|שדות סופיים]]. העובדה שהחבורות <math> \ A_n</math> הן פשוטות לכל n > 4, משמשת, לדוגמה, בהוכחת אחד המשפטים המרכזיים ב[[תורת גלואה]] – שלא קיימת נוסחה כללית לפתרון [[פולינום]] ממעלה 5 ויותר. 

מן העובדה ש-<math>\ A_n</math> פשוטה נובע שזוהי תת-החבורה היחידה מאינדקס 2 של החבורה הסימטרית <math>\ S_n</math>; עובדה זו נכונה אפילו כאשר <math>\ n<5</math>. אם <math>\ n\geq 5</math> אז אין לחבורה הסימטרית אף תת-חבורה אחרת מאינדקס <math>\ n\geq</math> (זוהי תוצאה של [[העידון של משפט קיילי]]). לעומת זאת, לחבורה <math>\ S_4</math> יש שלוש תת-חבורות מאינדקס 3, שכולן איזומורפיות ל[[חבורה דיהדרלית|חבורה הדיהדרלית]] מסדר 8. 

== החבורות הקטנות == 

חבורת התמורות הזוגיות <math>\ A_4</math> אינה פשוטה: יש לה [[סדרת הרכב|סדרת ההרכב]] 
: <math>\ \{1\} \leq \ \langle(12)(34)\rangle \ \leq \ \langle(12)(34),(14)(23)\rangle \ \leq A_4</math>.
חבורה זו מספקת את הדוגמה הנגדית הקטנה ביותר לכיוון ההפוך של [[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']]: אין לה תת-חבורה מסדר 6. 

מבין הגופים האפלטוניים, חבורת התמורות של ה[[טטרהדרון]] בן 4 הפאות המשולשות, שווה לחבורה <math>\ A_4</math>. חבורות התמורות של ה[[קובייה]] ושל ה[[אוקטהדרון]] בן 8 הפאות המשולשות איזומורפיות שתיהן לחבורה הסימטרית <math>\ S_4</math>. [[וויליאם רואן המילטון|המילטון]] הוכיח ב-[[1856]] שחבורת תמורות של ה[[דודקהדרון]] בן 12 הפאות המחומשות ושל ה[[איקוסהדרון]] בן 20 הפאות המשולשות איזומורפית ל-<math>\ A_5</math>. 

לתיאור גאומטרי זה של החבורות יש קשר הדוק ל[[הצגה לפי יוצרים ויחסים|הצגה]] שלהן לפי יוצרים ויחסים: 
* <math>\ A_4 = \langle x,y | x^2=y^3=(xy)^3=1\rangle</math>
* <math>\ S_4 = \langle x,y | x^2=y^3=(xy)^4=1\rangle</math>
* <math>\ A_5 = \langle x,y | x^2=y^3=(xy)^5 =1\rangle</math>
להשלמת התמונה, יש לציין כי החבורה <math>\ \langle x,y | x^2=y^3=(xy)^6 =1\rangle </math> אינסופית ו[[גרף קיילי]] שלה [[ריצוף מישורי|מרצף את המישור]] באמצעות משולשים ותריסריונים [[מצולע משוכלל|משוכללים]].

בכמה מקרים אפשר להציג חבורה של תמורות זוגיות גם כ[[חבורת מטריצות|חבורה של מטריצות]] מעל שדה סופי: 
<math>\ A_4 \cong \mbox{PSL}_2(\mathbb{F}_3)</math>, 
<math>\ A_5 \cong \mbox{PSL}_2(\mathbb{F}_5)</math> ו-<math>\ A_6 \cong \mbox{PSL}_2(\mathbb{F}_9)</math>. לעומת זאת, <math>\ A_8</math> ו-<math>\ \mbox{PSL}_3(\mathbb{F}_4)</math> הן חבורות פשוטות לא-איזומורפיות מאותו סדר
{{הערה|1=
J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, Thm. 8.24.
}}.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

== הערות שוליים ==

{{הערות שוליים}}

<!--
כאשר <math>\ n\geq 4</math> [[חבורת הקוהומולוגיה השנייה]] של <math>\ A_n</math> היא <math>\ H^2(A_n)=\Z/2\Z</math>, ולחבורה יש [[הרחבה מרכזית]] אחת על ידי החבורה מסדר 2, פרט להרחבה הטריוויאלית <math>\ A_n \times \Z/2\Z</math>. את ההרחבה הזו מסמנים ב- <math>\ \tilde{A}_n</math>.

מקור אפשרי: Serre, Topics in Galois Theory, Chap 9

--> 
[[קטגוריה:סדרות של מבנים אלגבריים]]
[[קטגוריה:סימטריה במתמטיקה]]