הצגת המקור של הדף "חבורת לי"

ב[[גאומטריה דיפרנציאלית]] וב[[אלגברה]], '''חבורת לי''' היא [[יריעה חלקה]] עם מבנה של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], כך שפעולות החבורה הן [[פונקציה חלקה|פונקציות חלקות]] ביחס למבנה הדיפרנציאלי. חבורות לי הן אובייקטים [[גאומטריה|גאומטריים]] ו[[אלגברה מופשטת|אלגבריים]] בו-זמנית.

חבורות לי קרויות על שם המתמטיקאי הנורווגי [[סופוס לי]] והוגדרו על ידיו לראשונה בשנת [[1870]]. לחבורות לי חשיבות רבה ב[[אנליזה מתמטית]], ב[[פיזיקה]] וב[[גאומטריה]].

==הגדרה פורמלית==
'''חבורת לי''' היא [[אובייקט חבורתי]] ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] של [[יריעה חלקה|יריעות חלקות]], כלומר - בהינתן יריעה חלקה שהיא גם חבורה G, נאמר ש-G היא חבורת לי אם פעולות הכפל וההופכי של החבורה הן [[פונקציה חלקה|פונקציות חלקות]].

== אלגברת לי של חבורת לי ==
{{להשלים|פסקה=כן|נושא=מדעי הטבע}}
{{הפניה לערך מורחב|אלגברת לי}}
[[אלגברת לי]] של חבורת לי מתקבלת על ידי לקיחת [[המרחב המשיק]] של [[איבר היחידה]]: <math>\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G) = T_e G</math>. סוגר הלי מתקבל על ידי [[דיפרנציאל (מתמטיקה)|דיפרנציאל]] שני של פעולת ההצמדה

<math>G \times G \to G, \quad (x,y)\mapsto xyx^{-1}y^{-1}</math>

לכל חבורת לי מתאימה אלגברת לי יחידה אך ההפך איננו נכון. כך למשל, לאלגברת לי <math>\mathfrak{so}_n</math> מתאימות חבורות לי <math>\mathrm{SO}_n</math>, <math>\mathrm{O}_n</math> ו-<math>\mathrm{Spin}_n</math>. עם זאת, לכל אלגברת לי מתאימה חבורת לי יחידה שהיא [[מרחב פשוט קשר|פשוטת קשר]].

את אלגבראות לי אפשר לאפיין באמצעות [[מערכת שורשים|מערכות שורשים]] אותן אפשר לתאר גרפית באמצעות [[דיאגרמות דינקין]].

כמו כן, קיימת העתקת אקספוננט (העתקה מעריכית) מאלגברת הלי לחבורת הלי. ניתן להגדיר אותה בשתי דרכים. אם משכנים את חבורת הלי ב[[חבורת המטריצות ההפיכות]], אלגברת לי משתכנת באופן טבעי באלגברת המטריצות והעתקת האקספוננט ניתנת על ידי הנוסחה הרגילה <math display="block">exp(A)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}</math>
לצורך ההגדרה המופשטת של ההעתקה, נזהה את אלגברת הלי עם אלגברת השדות הווקטוריים על G שנשמרים תחת הפעולה משמאל, כלומר <math>v_g=dg(v_e)</math>, כאשר dg מסמן את ה[[המרחב המשיק#דיפרנציאל של העתקה בין יריעות|דיפרנציאל]] של הפעולה של מכפלה משמאל בg.
שדה זה מגדיר [[זרם של דיפאומורפיזמים]] על היריעה, ו exp(v) מוגדר להיות התמונה של e תחת הזרם הזה בזמן 1.

== מיון חבורות לי ==

כל חבורת לי קשירה, פשוטת קשר ופשוטה למחצה, היא מכפלה של חבורות לי פשוטות. לכל חבורת לי פשוטה מתאימה [[אלגברת לי]] פשוטה [[שדה המספרים הממשיים|ממשית]]. ה[[מרכוב]] של אלגבת לי זו היא [[אלגברת לי]] פשוטה [[שדה המספרים הממשיים|מרוכבת]]המתוארת על ידי [[דיאגרמת דינקין]]. עבור אלגבת לי מרוכבת, קל יחסית למיין את כל אלגבראות הלי הממשייות מהן אפשר לקבל אותה כמרכוב.

לכן, באמצעות מיון דיאגרמות דינקין אפשר למיין את כל החבורות לי הפשוטות. את דיאגרמות דינקין של חבורות לי פשוטות אפשר לסווג ל-4 משפחות כלליות <math>A_n, \ B_n , \ C_n , \ D_n</math> ועוד 5 מקרים שלא נופלים באף משפחה: <math>E_6, \ E_7 , \ E_8, \ F_4 , \ G_2</math>. להלן דיאגרמות דינקין המתאימות:

[[File:Finite Dynkin diagrams.svg|500px]]

* הדיאגרמות מטיפוס <math>A_n</math> מתארות משפחת החבורות היוניטריות <math>\mathrm{SU}(n+1)</math>, את [[החבורה הליניארית הכללית|החבורת הליניאריות הכלליות]] <math>\mathrm{GL}(n+1)</math> ועוד מספר משפחות.
* הדיאגרמות מטיפוס <math>B_n</math> מתארות משפחת החבורות <math>\mathrm{Spin}(2n+1)</math> שהן [[כיסוי אוניברסלי|הכיסוי האוניברסלי]] של החבורות האורתוגונליות <math>\mathrm{SO}(2n+1)</math>  ועוד מספר משפחות.
* הדיאגרמות מטיפוס <math>C_n</math> מתארות משפחת [[חבורה סימפלקטית|החבורות הסימפלקטית]] <math>\mathrm{Sp}(2n)</math> ועוד מספר משפחות.
* הדיאגרמות מטיפוס <math>D_n</math> מתארות משפחת החבורות <math>\mathrm{Spin}(2n)</math> שהן [[כיסוי אוניברסלי|הכיסוי האוניברסלי]] של החבורות האורתוגונליות <math>\mathrm{SO}(2n)</math>  ועוד מספר משפחות..
* החבורות שמתאימות לדיאגרמות <math>E_6, \ E_7 , \ E_8, \ F_4 , \ G_2</math> לא נופלת באף משפחה לעיל ונקראות "[[חבורות לי אקספטיונאליות]]".

אם מתמקדים רק ב[[חבורת לי קומפקטית|חבורות לי קומפקטיות]] פשוטות ופשוטות קשר, אז לכל דיאגרמת דינקין מתתאימה בדיוק חבורא אחת כזאת.

== דוגמאות ==

=== חבורת המעגל ===
דוגמה סטנדרטית לחבורת לי היא חבורת [[מעגל היחידה]] ה[[מספר מרוכב|מרוכב]]:

<math>\mathbb{T}:=\{z\in\mathbb{C}\mid|z|=1\}</math>

<math>\mathbb{T}</math> היא חבורה תחת פעולת הכפל. כמו כן, היא יריעה חד־ממדית ופעולות הכפל וההופכי הן חלקות. מסיבות אלו, <math>\mathbb{T}</math> היא חבורת לי.

ניתן להוכיח כי <math>\mathbb{T}\cong \operatorname{SO}(2)\cong \mathbb{R}/\mathbb{Z}</math> כאשר החבורה האמצעית היא [[החבורה הליניארית המיוחדת]] מממד 2 והחבורה הימנית היא [[חבורת מנה|חבורת המנה]].

=== החבורה הליניארית הכללית ===
[[החבורה הליניארית הכללית]] <math>\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})</math> היא [[קבוצה פתוחה]] בתוך [[מרחב וקטורי]] ויורשת מבנה של יריעה חלקה. לפי המבנה הגזיר הזה, פעולות [[כפל מטריצות]] ו[[מטריצה הפיכה|ההפכי]] שתיהן חלקות, ועל כן <math>\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})</math> היא חבורת לי. אלגברת לי המקושרת לחבורה זו היא <math>\mathfrak{gl}_n</math> הבנויה מכל המטריצות מגודל <math>n\times n</math> עם פעולת ה[[קומוטטור]].

==ראו גם ==
* [[אלגברת לי]]
* [[חבורה אלגברית]]
* [[מיון חבורות לי]]
* [[חבורה טופולוגית]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* דוד ווגן, [http://www-math.mit.edu/~dav/758.11.html מצגת על חבורות לי], MIT
* {{MathWorld}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007529233305171|חבורות לי}}

{{בקרת זהויות}}
[[קטגוריה:חבורות לי|*]]
[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:חבורות טופולוגיות]]
[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]
[[קטגוריה:תורת החבורות]]
{{עץ מיון של חבורות טופולוגיות}}