הצגת המקור של הדף "חבורת פרובניוס"

ב[[תורת החבורות]], '''חבורת פרובניוס''' היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] ה[[פעולת חבורה על קבוצה|פועלת]] [[פעולה טרנזיטיבית|טרנזיטיבית]] ונאמנה על [[קבוצה סופית]], באופן שלכל איבר לא-טריוויאלי יש לכל היותר [[נקודת שבת]] אחת. החבורות נקראות על-שם מייסד [[תורת ההצגות]], [[פרדיננד גאורג פרובניוס]].

במחצית הראשונה של [[המאה ה-20]] שימשו חבורות פרובניוס מעין מעבדה לבחינת שיטות שונות בתורת החבורות הסופיות. ב-[[1959]] הוכיח [[ג'ון גריגס תומפסון|ג'ון תומפסון]] שכל חבורה כזו היא פתירה. מעט אחר-כך מילאו חבורות פרובניוס תפקיד חשוב בהוכחת [[משפט פייט-תומפסון]] (הקובע שכל חבורה מ[[סדר של חבורה|סדר]] אי-זוגי היא [[חבורה פתירה|פתירה]]), ובמיון של כמה משפחות חשובות אחרות של חבורות סופיות.

== הגרעין והמשלימים ==

נניח ש-<math>G</math> חבורת פרובניוס, כלומר, היא פועלת טרנזיטיבית על קבוצה סופית <math>X</math>, באופן שלכל איבר לא-טריוויאלי יש לכל היותר נקודת שבת אחת. במקרה כזה, הקבוצה <math>Q</math>, הכוללת, בנוסף לאיבר היחידה, את כל איברי <math>G</math> שאינם מייצבים אף נקודה, מהווה [[תת-חבורה נורמלית]] של <math>G</math>, הנקראת ה'''גרעין''' (או '''גרעין פרובניוס''') של החבורה. כל אחד מן ה[[פעולת חבורה#מסלולים ומייצבים|מייצבים]] <math>G_x=\{g\in G: g(x)=x\}</math> של נקודות <math>x\in X</math>  נקרא '''משלים''' של <math>Q</math>.

חבורת פרובניוס בעלת גרעין פרובניוס טריוויאלי (היינו, חבורה הפועלת טרנזיטיבית נאמנה באופן שבו לכל איבר [[טריוויאלי (מתמטיקה)|לא טריוויאלי]] יש בדיוק נקודת שבת אחת) היא טריוויאלית. אכן, מן [[הלמה של ברנסייד]] נובע כי סדר החבורה שווה לסכום גודלי קבוצות השבת, הוא <math>|X|+|G|-1</math>, ומכאן ש-<math>X</math> (ולכן גם <math>G</math>) בת איבר יחיד.

התכונות הבאות שקולות לכך שחבורה סופית G תהיה חבורת פרובניוס:
* יש ל-<math>G</math> [[תת חבורה נורמלית|תת-חבורה נורמלית]] <math>Q</math> בעלת התכונה הבאה: פרט לאיבר היחידה, איברי <math>Q</math> אינם מתחלפים עם איברים מחוץ ל-<math>Q</math>.
* יש ל-<math>G</math> [[תת חבורה|תת-חבורה]] <math>H</math>, כך ש- <math>H \cap xHx^{-1}=1</math> לכל איבר <math>x\not \in H</math>.
הגרעין הוא תת-החבורה היחידה בעלת התכונה האמורה (והוא שווה ל[[חבורת פיטינג]] של <math>G</math>), אך המשלים אינו יחיד (כל תת-חבורה הצמודה למשלים, גם היא משלים; ואלו כל המשלימים, לפי [[משפט שור-זסנהאוז]]). 
הגרעין <math>Q</math> והמשלים שלו <math>H</math> מקיימים <math>H \cap Q = 1</math> ו-<math>G =HQ</math>, כלומר, חבורת פרובניוס היא [[מכפלה ישרה למחצה]] של הגרעין במשלים שלו. זהו "פירוק Hall", כלומר, הסדרים של <math>Q</math> ושל <math>H</math> הם [[מספרים זרים|זרים]].

== מבנה ==

גם לגרעין של חבורת פרובניוס וגם למשלימים שלו יש מבנה מוגבל ביותר. תומפסון הוכיח ב-1959 שהגרעין של חבורת פרובניוס הוא [[חבורה נילפוטנטית]]. זהו משפט קשה ומורכב. קל הרבה יותר להראות שאם המשלים <math>H</math> מסדר זוגי, אז הגרעין [[חבורה אבלית|אבלי]].

למשלים <math>H</math> יש התכונה שכל תת-חבורה שסדרה מכפלת שני ראשוניים, היא ציקלית. מכאן נובע שכל [[חבורת סילו]] של המשלים היא או [[חבורה ציקלית|ציקלית]], או [[חבורת קווטרניונים מוכללת]]. אם <math>H</math> אינה פתירה, [[האנס זסנהאוז]] הראה שהיא, או תת-חבורה שלה מאינדקס 2, הן מכפלה של [[חבורת מטריצות|חבורת המטריצות]] <math>SL_2(\mathbb{F}_5)</math> ב[[חבורה מטא-ציקלית]] שסדרה זר ל-30. אם <math>H</math> פתירה, יש לה תת-חבורה מטא-ציקלית נורמלית, כך שהמנה היא תת-חבורה של [[החבורה הסימטרית]] מסדר 4. 

אף תת-חבורה של המשלים אינה חבורת פרובניוס בעצמה.

=== תת-חבורות וחבורות מנה ===

כל תת-חבורה נורמלית של <math>G</math> מוכלת בגרעין, או מכילה אותו. אפשר לבנות מחבורת פרובניוס נתונה <math>G=HQ</math> חבורות פרובניוס נוספות, באופנים הבאים:
* אם <math>Q_1 \subseteq Q</math> ו-<math>H_1 \subseteq H</math> תת-חבורות, כך ש-<math>H_1\subseteq N_G(Q_1)</math> (כלומר, <math>H_1</math> מוכל ב[[מנרמל (תורת החבורות)|נורמליזטור]] של <math>Q_1</math>), אז <math>H_1Q_1</math> חבורת פרובניוס.
* בפרט, אם נבחר <math>Q_1 = Q</math>, אז לכל תת-חבורה <math>H_1\subseteq H</math>, המכפלה <math>H_1 Q</math> היא חבורת פרובניוס.
* אם <math>Q_1 \subseteq Q</math> תת-חבורה נורמלית של <math>G</math>, אז המנה <math>G/Q_1</math> היא חבורת פרובניוס (עם גרעין <math>Q/Q_1</math>).

== תורת ההצגות ==

אם <math>\rho</math> [[הצגה ליניארית של חבורה|הצגה אי-פריקה]] לא טריוויאלית של <math>Q</math>, אז ה[[הצגה מושרית|הצגה המושרית]] <math>\rho^G</math> גם היא אי-פריקה. יתרה מזו, כל הצגה אי-פריקה של <math>G</math> מושרית או מ-<math>Q</math>, או מ[[חבורת מנה|חבורת המנה]] <math>G/Q \cong H</math>. כאשר מצמצמים למשלים <math>H</math> הצגה אי-פריקה המושרית מ-<math>Q</math> ל-<math>G</math>, מתקבלת כפולה שלמה של ההצגה הרגולרית של <math>H</math>.

== מקורות ==

* W.R. Scott, ''Group Theory'', Section 12.6.
* J.L. Alperin and Rowen B. Bell, Groups and Representations, pp. 170-174.

[[קטגוריה:תורת החבורות]]