הצגת המקור של הדף "חבורת קווטרניונים מוכללת"

ב[[תורת החבורות]], '''חבורת קווטרניונים מוכללת''' היא חבורה שיש לה [[הצגה על ידי יוצרים ויחסים|הצגה]] מהצורה <math>\ \langle x,y | x^n = y^2, yxy^{-1} = x^{-1} \rangle</math> לשלם n כלשהו. זוהי חבורה מסדר <math>\ 4n</math>, שמקובל לסמן ב-<math>\ Q_{4n}</math>. [[חבורת הקווטרניונים|חבורת הקווטרניונים הסטנדרטית]] היא החבורה <math>\ Q_8</math>, המתאימה למקרה n=2.

אפשר ל[[הצגה ליניארית|הציג]] חבורת קווטרניונים מוכללת באמצעות מטריצות בגודל <math>\ 2 \times 2</math> מעל <math>\ \mathbb{C}</math>, כחבורה הנוצרת על ידי <math>\ x = \left(\begin{array}{cc}\rho_n & 0 \\ 0 & \rho_n^{-1}\end{array}\right), y = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)</math>, כאשר <math>\ \rho_n</math> הוא [[שורש יחידה|שורש היחידה]] הפרימיטיבי מסדר n. חבורה זו מוכלת ב[[אלגברת הקווטרניונים של המילטון]], שם היא נוצרת על ידי <math>\ x = e^{2 \pi i /n}</math> ו- <math>\ y=j</math>.

כל [[תת-חבורה]] אבלית של <math>\ Q_n</math> היא ציקלית. כל [[חבורת-p]] סופית עם תכונה זו היא או ציקלית, או חבורת קווטרניונים מוכללת. בחבורת קווטרניונים מסדר חזקת-2 יש תת-חבורה יחידה מסדר 2, ושוב, כל חבורת-p סופית שיש לה תת-חבורה יחידה מסדר p היא או ציקלית או חבורת קווטרניונים מוכללת. כל חבורה סופית שכל תת-החבורות שלה הן [[תת-חבורה נורמלית|נורמליות]] היא או אבלית, או [[מכפלה ישרה]] של חבורת קווטרניונים מוכללת מסדר חזקת-2 וחבורת-2 אבלית אלמנטרית (כלומר, מכפלה ישרה של עותקים של החבורה הציקלית מסדר 2).

[[תת-חבורת סילו|חבורת 2-סילו]] של [[חבורת המטריצות הליניארית המיוחדת|חבורת המטריצות]] <math>\ \operatorname{SL}_2(F)</math> מעל [[שדה סופי]] F מסדר אי זוגי, היא חבורת קווטרניונים מוכללת.

== מקורות ==
Group Theory, Scott.

[[קטגוריה:משפחות של חבורות]]
[[קטגוריה:סדרות של מבנים אלגבריים]]
[[en:Quaternion group#Generalized quaternion group]]