הצגת המקור של הדף "חבורת קוקסטר"

ב[[תורת החבורות]], '''חבורת קוקסטר''' היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] (סופית או אינסופית), בעלת [[הצגה על ידי יוצרים ויחסים|ייצוג]] פשוט במיוחד, הכולל הנחות רק על ה[[סדר של איבר בחבורה|סדר]] של היוצרים, שהוא 2, ועל הסדר של מכפלות של זוגות של יוצרים. מתברר שחבורות כאלה נוצרות על ידי [[שיקוף (מתמטיקה)|שיקופים]] ב[[מרחב וקטורי]] (שלו מתאימה [[תבנית ריבועית]], המגדירה לעיתים קרובות [[מרחב מכפלה פנימית]]), ובדרך זו הן מתקשרות לתחומים רבים ומרכזיים במתמטיקה: [[אלגברת לי|אלגברות לי]], [[חבורה אלגברית|חבורות אלגבריות]], [[קומבינטוריקה]] ו[[גאומטריה]]. 

== הגדרה ==
'''חבורת קוקסטר''' <math>W</math> היא חבורה הנוצרת על ידי קבוצה סופית <math>\ S=\{s_1,\dots,s_n\}</math>, בכפוף ליחסים מהצורה <math>\ s_i^2=1</math> ו-<math>\ (s_is_j)^{m_{ij}}=1</math> בלבד. רושמים:
: <math>W = \langle s_1,...,s_n \mid (s_i s_j)^{m_{ij}} = 1 \rangle</math>
כאשר:
* לכל i מתקיים <math>m_{ii}=1</math>, כלומר היחס <math>s_i s_i = s_i^2 = 1</math>.
* אם אין יחסים בין <math>s_i</math> ו-<math>s_j</math> נהוג לסמן זאת <math>(s_i s_j)^\infty = 1</math>, כלומר: <math>m_{ij} = \infty</math>. 
* נשים לב שאם <math>m_{ij}=2</math> אז <math>s_i s_j = s_j s_i</math> (כלומר: <math>s_i</math> ו-<math>s_j</math>  ומתחלפים). 
הזוג <math>(W,S)</math> נקרא '''מערכת קוקסטר'''. קבוצת היוצרים של חבורה אינה נקבעת באופן ייחודי ולחבורה יכולות להיות מספר מערכות קוקסטר לא שקולות.

את החזקות <math>\ m_{ij}</math> אפשר לאסוף ב'''מטריצת קוקסטר''', שהיא מטריצה סימטרית עם ערכים [[מספר טבעי|טבעיים]] (או אינסוף) בה כל הערכים על האלכסון שווים ל-1 וכל שאר הערכים גדולים מ-1. הערך אינסוף בנקודה (i,j) מציין שאין יחס מהצורה <math>\ (s_is_j)^m=1</math>. 

=== דיאגרמת קוקסטר ===
דיאגרמת קוקסטר היא דרך נוחה לייצג מערכת קוקסטר על ידי [[גרף (תורת הגרפים)|גרף]] בו הקודקודים הם קבוצת היוצרים; שני קודקודים, <math>s_i</math> ו-<math>s_j</math>, מחוברים בקשת אם <math>m_{ij}\geq 3</math> והקשת מסומנת ב-<math>m_{ij}</math> כאשר <math>m_{ij}\geq 4</math>. מהגדרה זו נובע שיוצרים שאינם מחוברים בקשת, מתחלפים זה עם זה. בפרט, החבורה המתאימה לגרף קוקסטר איזומורפית למכפלה הישרה של החבורות המתאימות למרכיבי הקשירות. משום כך, מספיק ללמוד את החבורות המתאימות לדיאגרמות קשירות.

== הקשר לשיקופים ==

על-פי ההגדרה, חבורת קוקסטר נוצרת על ידי קבוצה סופית <math>\ S=\{s_1,\dots,s_n\}</math> של איברים מסדר 2, בכפוף ליחסים מהצורה <math>\ (s_is_j)^{m_{ij}}=1</math> בלבד. לדוגמה, כאשר מדובר בשני יוצרים, היחסים הם <math>\ s_1^2 = s_2^2 = (s_1s_2)^m = 1</math>, בדיוק אלו של ה[[חבורה דיהדרלית|חבורה הדיהדרלית]] שסדרה 2m. כדי להבין את המבנה הגאומטרי, נעיר שאם s ו- t הם שיקופים בניצב לזוג ישרים שהזווית ביניהם היא <math>\ \pi/m</math>, אז <math>\ (st)^m=1</math>.

== היסטוריה ==

כמושג עצמאי, חבורות קוקסטר נולדו רק ב[[שנות ה-60 של המאה ה-20|שנות ה-60]], כאשר [[ז'אק טיץ]] הבחין שההגדרה המופשטת באמצעות יוצרים ויחסים מספיקה כדי לקבל את כל המבנה הגאומטרי השייך בדין לחבורות הנוצרות על ידי שיקופים. הוא קרא להן על-שם [[הרולד סקוט מקדונלד קוקסטר|ה.ס.מ. קוקסטר]], שעסק בחבורות של שיקופים כשלושים שנה קודם לכן, ומיין את כל ה[[חבורה דיסקרטית|חבורות הדיסקרטיות]] הנוצרות על ידי שיקופים ופועלות על [[מרחב אוקלידי|המרחב האוקלידי]] (מממד כלשהו). 

לחבורות הנוצרות על ידי שיקופים יש היסטוריה מתמטית ארוכה. החלוץ בכיוון זה היה [[פרדיננד מביוס]], שב-[[1852]] מצא את כל החבורות הסופיות הנוצרות על ידי שיקופים ופועלות על המרחב התלת-ממדי. ב-[[1890]] מיינו קילינג ו[[אלי קרטן]] את [[אלגברת לי|אלגברות לי]] ה[[אלגברת לי פשוטה למחצה|פשוטות למחצה]], במונחים של [[מערכת שורשים|מערכות שורשים]]. ב-[[1925]] הראה [[אנדרה וייל]] ש[[חבורת סימטריות|חבורת הסימטריות]] של מערכת שורשים היא חבורה סופית, הנוצרת על ידי שיקופים במרחב שבו השורשים מוגדרים. בכל המקרים האלה מדובר היה בשיקופים במרחב האוקלידי, ביחס לעל-מישורים במובן הרגיל.

טיץ הוכיח שאם S היא קבוצת היוצרים של חבורת קוקסטר, אז לכל מטריצה m של סדרים אפשר להגדיר על המרחב <math>\ \mathbb{R}^{|S|}</math> [[תבנית ריבועית]], שביחס אליה החבורה פועלת כחבורת [[איזומטריה|איזומטריות]], כאשר היוצרים הם שיקופים (בפרט, לחבורת קוקסטר יש [[הצגה ליניארית|הצגה ליניארית נאמנה]] מממד סופי). 

== תאוריה ומבנים נוספים ==

התוצאה המרכזית שהתקבלה בחקר חבורות קוקסטר היא המיון השלם (במונחי [[דיאגרמת דינקין|דיאגרמות דינקין]]) של חבורות קוקסטר סופיות, של חבורות קוקסטר אפיניות, ושל חבורות קוקסטר [[חבורה היפרבולית|היפרבוליות]]. חבורת קוקסטר מופיעות כחבורות וייל של חבורות אלגבריות, בתור המנה N/T כאשר T [[טורוס]] מקסימלי בחבורת בורל, ו-N הוא המנרמל שלו. במקביל, נלמדו מבנים מתמטיים רבים המוגדרים עבור חבורת קוקסטר נתונה, ובהם [[אלגברת הקה]] המכלילה את אלגברת החבורה, [[פולינומי קשדן-לוסטיג]], ופונקציית אורך המשרה את [[סדר ברוה]] של החבורה. להצגות של אלגברת הקה תפקיד מרכזי בתורת ההצגות. כל אלה יצרו קשרים הדוקים בין חבורות קוקסטר לתורה של אלגברות לי, לתורה הקומבינטורית והגאומטרית של [[בניין (מתמטיקה)|בניינים]], ל[[קומבינטוריקה]] בכלל, ול[[תורת החבורות הגאומטרית]].

== דוגמאות ==

[[החבורה הסימטרית|חבורת התמורות]] <math>\ S_n</math> נוצרת על ידי ה[[חילוף (תורת החבורות)|חילופים]] <math>\ (1,2), (2,3), \dots, (n-1,n)</math>. קל לראות שהסדר של מכפלת שני חילופים הוא 2 אם הם זרים, ו- 3 אם אינם זרים. בו-בזמן, החבורה פועלת על המרחב האוקלידי <math>\ \mathbb{R}^n</math> בדרך של פעולה על האינדקסים, ובהצגה זו (הקרויה "ההצגה הטבעית" של החבורה הסימטרית) החילופים פועלים כשיקופים. מן ההצגה הזו של החבורה הסימטרית כחבורת קוקסטר אפשר לראות שהיחסים על מכפלות החילופים מגדירים אותה בשלמות. לדיאגרמת דינקין המתקבלת קוראים, מסיבות היסטוריות, <math>\ A_{n-1}</math>, וכך יש ל"חבורת קוקסטר מטיפוס <math>\ A_{n-1}</math>" תת-חבורה מאינדקס 2 ([[חבורת התמורות הזוגיות]]), שאותה מסמנים ב- <math>\ A_n</math>. 

החבורה מטיפוס <math>\ A_{n-1}</math> היא תת-חבורה (מאינדקס <math>\ 2^{n-1}</math>) בחבורת קוקסטר מטיפוס <math>\ D_{n-1}</math>, וזו היא תת-חבורה (מאינדקס 2) של החבורה מטיפוס <math>\ B_{n-1}</math>. את האחרונה אפשר לראות כתת-חבורה של החבורה הסימטרית <math>\ S_{2n}</math>, הפועלת על המספרים <math>\ \{-1,\dots,-n,1,\dots,n\}</math>, עם התנאי <math>\ \sigma(-i)=-\sigma(i)</math>.

החבורה <math>\ \operatorname{PGL}_2(\mathbb{Z})</math> היא חבורת קוקסטר עם שלושה יוצרים (שניים מהם יוצרים חבורה דיהדרלית אינסופית, והשלישי מתחלף עם אחד היוצרים ומכפלתו בשני היא מסדר 3).

== ראו גם ==

* [[חבורת ארטין]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:משפחות של חבורות]]