הצגת המקור של הדף "חוג (מבנה אלגברי)"

ב[[מתמטיקה]], '''חוג''' הוא [[מבנה אלגברי]] בעל שתי [[פעולה בינארית|פעולות בינאריות]], המקיימות מספר [[אקסיומה|אקסיומות]] (שיפורטו להלן), ה[[הכללה (מתמטיקה)|מכלילות]] כמה תכונות בסיסיות של [[חוג המספרים השלמים]] ושל [[חוג מטריצות|חוג המטריצות]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]].

[[תורת החוגים]], העוסקת במבנה של חוגים שונים, היא מן התחומים המרכזיים ב[[אלגברה]].

==הגדרה ומבנים יסודיים==
'''חוג''' הוא מבנה הכולל [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>R</math> עם שתי [[פעולה בינארית|פעולות בינאריות]] המסומנות "<math>+</math>" ו-"<math>\cdot</math>", המקיימות מספר אקסיומות:
#<math>R</math> היא [[חבורה אבלית]] ביחס לחיבור, כלומר: החיבור [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[פעולה קומוטטיבית|קומוטטיבי]] (חילופי), יש איבר אפס, ולכל איבר יש נגדי;
#<math>R</math> הוא [[מונואיד (מבנה אלגברי)|מונואיד]] ביחס לכפל, כלומר: הכפל אסוציאטיבי ויש לו איבר יחידה;
#הכפל [[חוק הפילוג|דיסטריבוטיבי]] ביחס לחיבור (כלומר <math>x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z</math> וכן <math>(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z</math>).

אם פעולת הכפל גם היא חילופית (קומוטטיבית), החוג נקרא "חוג חילופי" (או: "קומוטטיבי"). לדוגמה, [[חוג המספרים השלמים]] חילופי, אך חוג ה[[מטריצה|מטריצות]] אינו חילופי.

===קיום איבר יחידה===
מבנה אלגברי שבו מתקיימות כל האקסיומות, פרט לקיומו של [[איבר יחידה]], נקרא "חוג בלי יחידה". לעיתים משתמשים בטרמינולוגיה הפוכה, וחוג מציין מבנה המקיים את האקסיומות לעיל ללא איבר היחידה. באנגלית מקובל גם הסימון rng לציון חוג-בלי-יחידה (לעומת ring לציון חוג). ייתכן שבחוג-בלי-יחידה תהיה "יחידה-משמאל" (איבר <math>e</math> המקיים <math>ex=x</math> לכל <math>x</math>), ואף יחידות-משמאל רבות; או יחידה-מימין, ואף יחידות-מימין רבות; אבל אם יש גם יחידה-מימין וגם יחידה-משמאל, אז יש לחוג איבר יחידה אחד ויחיד. [[חוג האפס]], הכולל רק איבר אחד, הוא חוג בלי יחידה.

===היסטוריה===
הגדרה אקסיומטית ראשונה של חוג ניתנה בשנת [[1914]] על ידי [[אברהם הלוי פרנקל]],{{הערה|Fraenkel, A. (1914). "Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen". J. reine angew. Math. 145: 139–176.}} בהשפעת הגישה האקסיומטית של שטייניץ ל[[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]], האסכולה האמריקאית של [[אלייקים הייסטינגס מור|א.ה. מור]], ובעיקר עבודתו תחת [[קורט הנזל]] על [[שדה המספרים ה-p-אדיים]].{{הערה|[[ליאו קורי]], [http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.rml/1081878062 The Origins of the definition of abstract rings]}} האקסיומות של פרנקל תארו מה שמוכר היום כחוג עם יחידה, שבו כל איבר רגולרי הוא הפיך ("[[חוג קלאסי]]"), וכך שלכל שני איברים <math>a,b</math> יש איברים רגולריים <math>u,v</math> כך ש-<math>ab=bau=vba</math>. ב-1921 פרסמה [[אמי נתר]] מאמר פורץ דרך,{{הערה|Noether, Emmy (1921). "Idealtheorie in Ringbereichen". Math. Annalen 83: 24–66.}} ובו נתנה את ההגדרה המקובלת כיום לחוג חילופי. אחד ההבדלים בין פרנקל לנתר הוא בשאלה האם נדרש איבר יחידה לכפל. פרנקל דרש זאת, ואילו נתר לא דרשה זאת. עד ל[[שנות ה-60 של המאה ה-20|שנות ה־60 של המאה ה־20]] הייתה מקובלת במרבית ספרי האלגברה גישתה של נתר, אך החל ממועד זה הלכו והתרבו הספרים, בפרט ספרים מתקדמים מאת מחברים נודעים כ[[אמיל ארטין]], [[מייקל עטיה]] ו[[איאן מקדונלד]], [[ניקולא בורבאקי]] ו[[סרז' לאנג]], שקיבלו את גישתו של פרנקל. עם זאת, עדיין נפוצים ספרים המתבססים על גישתה של נתר.

===הומומורפיזמים ואידיאלים===
[[פונקציה]] <math>f:A \to B</math> מחוג לחוג היא "[[הומומורפיזם]] של חוגים", אם היא שומרת על החיבור והכפל ועל איבר היחידה. ה[[גרעין (מתמטיקה)|גרעין]] של הומומורפיזם הוא [[אידיאל (אלגברה)|אידיאל]] של החוג <math>A</math>, ו"משפט האיזומורפיזם הראשון" קושר את החוגים שהומומורפיזם מגדיר באופן טבעי: <math>A/\ker(f)\cong\text{Im}(f)</math>.

===תת חוגים===
תת קבוצה של חוג <math>S\sub R</math> שהיא חוג בפני עצמה, ביחס לאותן פעולות וקבועים, נקראת "תת-חוג". למשל, [[חוג המספרים השלמים]] הוא תת-חוג של [[שדה המספרים הרציונליים]] (המהווה [[שדה שברים]] שלו). אפשר להגדיר גם תת-חוג-בלי-יחידה, שממנו אין דורשים להכיל איבר יחידה. לדוגמה, אוסף המספרים הזוגיים הוא תת-חוג-בלי-יחידה של חוג המספרים השלמים.
לדוגמה, ה'''מרכז''' של חוג, הכולל על-פי ההגדרה את כל האיברים <math>c\in R</math> המקיימים <math>c\cdot r=r\cdot c</math> לכל <math>r\in R</math>, הוא תת-חוג קומוטטיבי של החוג (אם כי יכולים להיות לחוג תת-חוגים קומוטטיביים גדולים יותר).

==בניות של חוגים==
תורת החוגים עשירה בדרכים לבנות חוגים חדשים. בין הפשוטות והמוכרות ביותר:

===מכפלה===
המכפלה של שני חוגים <math>R,S</math>, היא [[מכפלה קרטזית|מכפלה הקרטזית]] <math>R\times S</math> עם הפעולות על הרכיבים. [[משפט השאריות הסיני]] קובע כי ה[[חוג מנה|מנה]] של חוג נתון מעל מכפלת אידיאלים קו-מקסימליים שלו איזומורפית למכפלת המנות.

ביתר כלליות, ניתן להגדיר מכפלה של כל משפחת חוגים <math>\{R_i\}_{i\in I}</math> כקבוצה <math>\prod_{i\in I}R_i</math> עם פעולות רכיב רכיב. מהמכפלה ניתן להגדיר הטלות <math>p_i</math> לכל אחד מהחוגים המשתתפים בה, אך אי אפשר לשכן אותם באופן טבעי במכפלה – ההעתקה המעבירה איבר לקואורדינטה המתאימה לו איננה הומומורפיזם, שכן איננה שומרת יחידה. המכפלה מקיימת את ה[[תכונה אוניברסלית|תכונה האוניברסלית]] הבאה: אם <math>S</math> חוג כלשהו, ונתונות העתקות <math>\{f_i:R_i\to S\}</math>, אז קיים ויחיד הומומורפיזם <math>f:\prod_{i\in I}R_i\to S</math> המקיים <math>p_i\circ f=f_i</math>. כלומר, כל הומומורפיזם מכל החוגים "עובר דרך" המכפלה.

במקרה של מכפלה סופית, יש התאמה מוחלטת בין ה[[אידיאל (אלגברה)|אידיאלים]] של החוגים לאידיאלים של המכפלה - כל אידיאל של המכפלה הוא בהכרח מהצורה <math>I_1\times\cdots\times I_t</math>, כאשר <math>I_i</math> אידיאל של <math>R_i</math>. במקרה האינסופי אין זה נכון (יש עוד אידיאלים). יש גם התאמה בין ה[[ספקטרום של חוג|ספקטרום]] של המכפלה הסופית לספקטרום של החוגים - אידיאל במכפלה הוא ראשוני אם ורק אם הוא מהצורה <math>R_1\times\cdots\times R_{j-1}\times I_j\times R_{j+1}\times\cdots\times R_t</math>, כאשר <math>I_j</math> [[אידיאל ראשוני]] של <math>I_j</math>.

===פולינומים===
{{ערך מורחב|חוג פולינומים}}
לכל חוג <math>R</math>, אוסף הפולינומים במשתנה בלתי תלוי <math>x</math> עם מקדמים מ-<math>R</math> הוא חוג, ביחס לפעולות החיבור והכפל של פולינומים, המסומן <math>R[x]</math>. הוא מכיל את <math>R</math> כתת-חוג. את הבניה הזו אפשר להכליל למספר כלשהו של משתנים- לאו דווקא סופי או בן-מניה, אך הפולינומים סופיים. אם <math>F</math> הוא שדה, אז <math>F[x]</math> הוא [[חוג אוקלידי]] ו[[תחום ראשי]], וגם ההפך נכון.

===מנה===
{{ערך מורחב|חוג מנה}}
בהינתן חוג <math>R</math> ואידיאל (שמאלי) <math>I</math>, למנה <math>R/I</math> יש מבנה של חוג. בדרך זו אפשר לבנות חוגים רבים נוספים. לדוגמה, כל חוג קומוטטיבי הוא מנה של [[חוג פולינומים]] במספר (אולי אינסופי) משתנים מעל חוג השלמים <math>\Z</math>.

חוגי מנה הם הבסיס בדרך להבנת [[משפטי האיזומורפיזם]] של חוגים, ויש להם תפקיד בסיסי ומרכזי בתאוריה.

===מטריצות===
{{ערך מורחב|חוג מטריצות}}
[[חוג מטריצות]] <math>\text{M}_n(R)</math> מורכב מן המטריצות מסדר <math>n</math> שרכיביהן שייכים ל-<math>R</math>, יחד עם פעולות החיבור רכיב-רכיב וכפל המטריצות, המושרות מפעולות החוג. גם כאן, אפשר לזהות את <math>R</math> עם תת-החוג הכולל את המטריצות הסקלריות. החוג הזה לעולם אינו קומוטטיבי (אלא אם <math>n=1</math>), איננו חוג עם חילוק ואף בעל [[איבר נילפוטנטי|נילפוטנטים]]. יש התאמה מלאה בין האידיאלים של <math>R</math> לאידיאלים של חוג המטריצות מעליו, ולכן, כאשר <math>R</math> [[חוג פשוט]], גם החוג <math>\text{M}_n(R)</math> פשוט. אם <math>D</math> הוא [[חוג עם חילוק]], אז חוג מטריצות מעליו הוא [[חוג ארטיני|ארטיני]] ופשוט. ההפך נכון לפי [[משפט ודרברן-ארטין]].

==דוגמאות==
*כל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה.
*[[חוג המספרים השלמים]] <math>\Z</math> הוא חוג קומוטטיבי. זהו [[תחום שלמות]] [[חוג אוקלידי|אוקלידי]]. חוג השלמים הוא חוג קומוטטיבי בסיסי ביותר, המהווה דוגמה ומוטיבציה להגדרות רבות בתורת החוגים, כמו ב[[תורת המספרים האלגברית]].
*[[חוג השלמים של גאוס]] מהווה אף הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה.
*אוסף ה[[פונקציה ממשית|פונקציות הממשיות]], עם חיבור וכפל של פונקציות, מהווה חוג חילופי. איבר בו הוא הפיך אם ורק אם איננו מתאפס (כפונקציה). אוסף ה[[פונקציה רציפה (אנליזה)|פונקציות הממשיות הרציפות]] גם הוא חוג, המהווה תת-חוג של אוסף הפונקציות.
*[[אלגברת הקווטרניונים של המילטון]] היא הדוגמה הבסיסית ביותר ל[[חוג עם חילוק]] (שאיננו קומוטטיבי). באופן כללי, כל אלגברה עם חילוק מממד 4 מעל שדה כלשהו היא [[אלגברת קווטרניונים]].

==תורת המבנה==
תורת המבנה של החוגים האסוציאטיביים התפתחה באינטנסיביות במהלך המאה ה-20, עם קפיצות מדרגה בשנות ה-30 (פיתוח תורת ה[[רדיקל (תורת החוגים)|רדיקלים]]) ושנות ה-60 ([[משפט גולדי|משפטי גולדי]]). כיום מזוהים בספרות המקצועית מאות משפחות של חוגים, שביניהן אפשר למנות: חוגים [[חוג ארטיני|ארטיניים]], [[חוג נתרי|נתריים]], [[חוג ראשוני|ראשוניים]], [[חוג פרימיטיבי|פרימיטיביים]] ו[[חוג פשוט|פשוטים]], [[תחום שלמות|תחומי שלמות]], ועוד רבים אחרים.

==ראו גם==
*[[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]]
*[[הרחבת חוג]]

==קישורים חיצוניים==
*{{MathWorld}}
*[[ליאו קורי|Leo Corry]], "[https://projecteuclid.org/journals/modern-logic/volume-8/issue-1-2/The-origins-of-the-definition-of-abstract-rings/rml/1081878062.pdf The Origins of the Definition of Abstract Rings]", Gazette des Mathématiciens, 83 (Janvier 2000), 28-47. (Reprint: Modern Logic, 8 (1-2), 1998-2000: 5-27.)
*{{בריטניקה}}
*{{דף שער בספרייה הלאומית|987007538867405171|חוגים (אלגברה)}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

{{אלגברה מופשטת}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מבנים אלגבריים]]
[[קטגוריה:תורת החוגים]]