הצגת המקור של הדף "חוג אידיאלים חופשיים"

ב[[תורת החוגים]], '''חוג אידיאלים חופשיים''' (באנגלית: free ideal ring; מקובל הקיצור fir) הוא [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] שבו כל [[אידיאל שמאלי]] הוא [[מודול חופשי]] בעל דרגה מוגדרת היטב. כל חוג כזה הוא [[תחום (אלגברה)|תחום]], היינו חוג ללא [[מחלק אפס|מחלקי אפס]]. הדוגמה המוכרת ביותר היא חוג חופשי. תכונת האידיאלים החופשיים, וגרסאותיה השונות המוצגות להלן, מכלילות את אלגוריתם החילוק של [[חוג אוקלידי|חוגים אוקלידיים]], ומספקות מידע חשוב על מטריצות מעל חוגים כלליים. את התאוריה של חוגי אידיאלים חופשיים פיתח פול כהן {{אנ|Paul Cohn}}.

מעל חוג אידיאלים חופשיים, כל תת-מודול של מודול חופשי הוא חופשי. כל חוג אידיאלים חופשיים הוא בעל [[ממד גלובלי]] 1. בנוכחות [[תנאי אור]], חוגי אידיאלים חופשיים אינם אלא [[חוג אידיאלים שמאליים ראשיים|חוגי אידיאלים שמאליים ראשיים]]. בפרט, עבור חוגים קומוטטיביים, חוג הוא בעל אידיאלים חופשיים אם ורק אם הוא [[תחום ראשי|ראשי]].

[[מכפלה חופשית]] של שני [[חוגי חילוק]], מעל תת-חוג עם חילוק משותף, היא fir. ב-fir מתקיימת הגרסה הבאה של [[תחום פריקות יחידה|פירוק יחיד לגורמים]]: כל איבר ניתן לכתיבה כמכפלה של מספר סופי של אטומים (אטום הוא איבר לא הפיך שאינו ניתן לכתיבה כמכפלה של איברים לא הפיכים), ואם שתי מכפלות שוות, אז [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] סדר, הגורמים "דומים"; <math>x,y
</math> דומים אם חוגי המנה <math>R/Rx, R/Ry</math> [[איזומורפיזם|איזומורפיים]].

== הכללות ==

חוג שבו כל אידיאל שמאלי [[נוצר סופית]] הוא חופשי בעל דרגה מוגדרת היטב, נקרא '''חוג אידיאלים חופשיים למחצה''' (semifir). כל fir הוא semifir. חוג שבו כל אידיאל שמאלי הנוצר על ידי לכל היותר <math>n
</math> יוצרים הוא חופשי בעל דרגה מוגדרת היטב, נקרא '''חוג אידיאלים n-חופשיים''' (n-fir). לכן חוג semifir אם ורק אם הוא n-fir לכל <math>n
</math>, ומחלקת ה-n-fir-ים הולכת וקטנה כאשר <math>n
</math> גדל. תנאים אלו, בניגוד לתנאי ה-fir עצמו, הם סימטריים להחלפת ימין ושמאל. כל חוג הוא 0-fir וחוג הוא 1-fir אם ורק אם הוא תחום. מודול מעל semifir הוא [[מודול שטוח|שטוח]] אם ורק אם כל תת-מודול נוצר סופית שלו הוא חופשי.

חוג קומוטטיבי הוא 2-fir אם ורק אם הוא semifir, אם ורק אם הוא [[חוג בזו|תחום בזו]]. באופן כללי יותר, עבור תחומים המקיימים את [[תנאי אור]], כל 2-fir הוא semifir, ותנאי זה שקול ל[[חוג בזו|תכונת בזו]] משמאל. 

כל semifir מוכל ב[[חוג עם חילוק]] (ויש חוג חילוק אוניברסלי ביחס לתכונה זו).

[[קטגוריה:תורת החוגים]]