הצגת המקור של הדף "חוג האפס"

ב[[תורת החוגים]], ענף של ה[[מתמטיקה]], '''חוג אפס'''{{הערה|שם=ארטין|Artin, p. 347.}}<ref>Atiyah and Macdonald, p. 1.</ref><ref>Bosch, p. 10.</ref><ref>Bourbaki, p. 101.</ref><ref>Lam, p. 1.</ref> או '''החוג הטריוויאלי''' הוא [[חוג (מבנה אלגברי)|החוג]] היחיד (עד [[איזומורפיזם]]) המורכב מאיבר אחד. (המונח "חוג אפס" מתייחס גם לכל [[חוג (מבנה אלגברי)#איבר יחידה|חוג בלי יחידה שריבועו אפס]], כלומר, חוג ללא יחידה שבו {{ללא גלישה|1=''xy'' = 0}} לכל ''x'' ו-''y''. עמוד זה מתייחס לחוג האיבר היחיד.)

בקטגוריית החוגים בלי יחידה, חוג האפס היא [[אובייקט התחלתי ואובייקט סופי|האובייקט הסופי]] ואילו חוג המספרים השלמים '''Z''' היא האובייקט ההתחלתי.

== הגדרה ==
חוג האפס, שמסומן {0} או פשוט '''0''', מורכב מה[[יחידון]] {0} עם הפעולות + ו · המוגדרות כך ש-0 + 0 = 0 ו-0 · 0 = 0.

== תכונות ==
* חוג האפס הוא החוג היחיד בו [[איבר האפס|היחידה החיבורית]] 0 [[איבר יחידה|והיחידה הכפלית]] 1 שוות.{{הערה|שם=ארטין}}<ref>Lang, p. 83.</ref> (הוכחה: אם {{ללא גלישה|1=1 = 0}} בחוג ''R'', אז לכל ''r'' ב-''R'', יש לנו <math>r = r \cdot 1 = r \cdot 0 = 0</math>.)
* האיבר 0 בחוג האפס הוא [[איבר הפיך|הזהות]] המשמש כ[[מספר הופכי]] של עצמו.
* קבוצת האיברים ההפיכים של חוג האפס היא הקבוצה הטריוויאלית {0}.
* האיבר 0 בחוג האפס אינו [[מחלק אפס]].
* [[אידיאל (אלגברה)|האידיאל]] היחיד בחוג האפס הוא אידיאל האפס {0}, שהוא גם [[אידיאל (אלגברה)|האידיאל]] היחיד, השווה לכל החוג. אידיאל זה אינו [[אידיאל מקסימלי|מקסימלי]] ואינו [[אידיאל ראשוני|ראשוני]].
* חוג האפס אינו [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] ; זה תואם את העובדה שאידיאל האפס שלו אינו מקסימלי. למעשה, אין שדה עם פחות מ-2 איברים.
* חוג האפס אינו [[תחום שלמות]].<ref>Lam, p. 3.</ref> אם חוג האפס נחשב בכלל לתחום הוא עניין של מוסכמה, אך ישנם שני יתרונות לא לשקול אותו כתחום. ראשית, זה תואם את ההגדרה שתחום הוא חוג שבו 0 הוא מחלק האפס היחיד (בפרט, 0 נדרש להיות מחלק אפס, שנכשל בחוג האפס). שנית, בדרך זו, עבור מספר שלם חיובי ''n'', החוג '''Z''' / ''n'' '''Z''' (או '''Z''' <sub>''n''</sub>, שהיא איזומורפית ל-'''Z''' / ''n'' '''Z''') היא תחום אם ורק אם ''n'' הוא ראשוני, אך 1 אינו ראשוני.
* לכל חוג ''A'' קיים [[הומומורפיזם]] יחיד (של חוגים) מ-''A'' לחוג האפס. לפיכך חוג האפס היא [[אובייקט התחלתי ואובייקט סופי|אובייקט סופי]] בקטגוריית החוגים.{{הערה|שם=הארט|Hartshorne, p. 80.}}
* אם ''A'' הוא חוג שאינו אפסי, אז אין הומומורפיזם (של חוגים) מחוג האפס ל-''A.'' בפרט, חוג האפס אינו תת-חוג של אף חוג שאינו אפסי.{{הערה|שם=הארט}}
* חוג האפס הוא החוג היחיד בעל [[מאפיין (אלגברה)|מאפיין]] 1.
* [[מודול (מבנה אלגברי)|המודול]] היחיד לחוג האפס הוא מודול האפס.
* חוג האפס אינה [[חוג מקומי]]. זוהי, עם זאת, [[חוג מקומי למחצה]].
* חוג האפס היא [[חוג ארטיני|ארטיני]] (ולכן) [[חוג נתרי|נתרי]].
* [[ספקטרום של חוג|הספקטרום]] של חוג האפס הוא [[סכמה (מתמטיקה)|הסכמה]] הריקה.{{הערה|שם=הארט}}
* ה[[ממד קרול]] של חוג האפס הוא – ∞.
* חוג האפס היא [[חוג פשוט|פשוטה]] למחצה אך לא פשוטה.
* חוג האפס אינו [[אלגברה פשוטה מרכזית]] מעל שום שדה.

== בניות ==
* עבור כל חוג ''A'' ואידיאל ''I'' של ''A'', [[חוג מנה|המנה]] ''A'' / ''I'' היא חוג אפס אם ורק אם ''I'' = ''A'', כלומר אם ורק אם ''I'' [[אידיאל (אלגברה)|האידיאל יחידה]].
* עבור כל חוג חילופי ''A'' וקבוצת כפל ''S'' ב-''A'', [[לוקליזציה (תורת החוגים)|הלוקליזציה]] ''S'' <sup>-1</sup> ''A'' היא חוג האפס אם ורק אם ''S'' מכיל 0.
* אם ''A'' היא חוג כלשהי, הרי החוג <math>M_0(A)</math> של 0 × 0 [[מטריצה|מטריצות]] מעל ''A'' היא חוג האפס.
* [[מכפלה ישרה|המכפלה הישירה]] של אוסף חוגים ריק היא חוג האפס.
* [[חוג האנדומורפיזמים]] של הקבוצה הטריוויאלית היא חוג האפס.
* חוג הפונקציות האמיתיות [[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|הרציפות]] על [[מרחב טופולוגי]] ריק היא חוג האפס.

== לקריאה נוספת ==
* [[מייקל ארטין]], '''אלגברה''', פרנטיס-הול, 1991.
* זיגפריד בוש, '''גאומטריה אלגברית ואלגברה קומוטטיבית''', ספרינגר, 2012.
* [[מייקל עטיה]] ו-IG Macdonald, '''מבוא לאלגברה קומוטטיבית''', אדיסון-ווסלי, 1969.
* [[ניקולא בורבאקי]], '''אלגברה I, פרקים 1–3'''.
* רובין הרטשורן, '''גאומטריה אלגברית''', ספרינגר, 1977.
* TY Lam, '''תרגילים בתורת הטבעות הקלאסית''', ספרינגר, 2003.
* סרג' לאנג, '''אלגברה''' מהדורה שלישית, ספרינגר, 2002.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:תורת החוגים]]