הצגת המקור של הדף "חוג מצומצם"

ב[[תורת החוגים]], [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] <math>R</math> נקרא '''חוג מצומצם''' אם [[איבר נילפוטנטי|האיבר הנילפוטנטי]] היחיד בו הוא אפס. באופן שקול, חוג הוא מצומצם אם אין בו איברים שאינם אפס שריבועם הוא אפס, כלומר אם <math>x^2=0</math> גורר <math>x=0</math>.

האיברים הנילפוטנטיים של חוג קומוטטיבי <math>R</math> יוצרים [[אידיאל (אלגברה)|אידיאל]] של <math>R</math>, שנקרא האידיאל הנילרדיקלי של <math>R</math>; לכן חוג הוא מצומצם אם ורק אם האידיאל הנילרדיקלי שלו הוא אידיאל האפס. יתרה מזאת, חוג קומוטטיבי הוא מצומצם אם ורק אם האיבר היחידי בכל האידיאלים הראשוניים הוא אפס, כלומר החיתוך של כל האידיאלים הראשוניים הוא [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]]. 

[[חוג מנה]] <math>R/I</math> הוא מצומצם אם ורק אם <math>I</math> הוא [[רדיקל של אידיאל|אידיאל רדיקלי]]. 

תהי <math>D</math> קבוצת כל מחלקי האפס בחוג מצומצם <math>R</math>. אם כן, <math>D</math> הוא האיחוד של כל ה[[אידיאל ראשוני|אידיאלים הראשוניים]] המינימליים.{{הערה|Proof: let <math>\mathfrak{p}_i</math> be all the (possibly zero) minimal prime ideals.
:<math>D \subset \cup \mathfrak{p}_i:</math> Let ''x'' be in ''D''. Then ''xy'' = 0 for some nonzero ''y''. Since ''R'' is reduced, (0) is the intersection of all <math>\mathfrak{p}_i</math> and thus ''y'' is not in some <math>\mathfrak{p}_i</math>. Since ''xy'' is in all <math>\mathfrak{p}_j</math>; in particular, in <math>\mathfrak{p}_i</math>, ''x'' is in <math>\mathfrak{p}_i</math>.
:<math>D \supset \mathfrak{p}_i:</math> (stolen from Kaplansky, commutative rings, Theorem 84). We drop the subscript ''i''. Let <math>S = \{ xy | x \in R - D, y \in R - \mathfrak{p} \}</math>. ''S'' is multiplicatively closed and so we can consider the localization <math>R \to R[S^{-1}]</math>. Let <math>\mathfrak{q}</math> be the pre-image of a maximal ideal. Then <math>\mathfrak{q}</math> is contained in both ''D'' and <math>\mathfrak{p}</math> and by minimality <math>\mathfrak{q} = \mathfrak{p}</math>. (This direction is immediate if ''R'' is Noetherian by the theory of [[associated prime]]s.)}}

מעל [[חוג נתרי]] ''<math>R</math>'', נאמר [[מודול (מבנה אלגברי)|שמודול]] נוצר סופית <math>M</math> דרגה קבועה מקומית אם הוא קבוע מקומי (או באופן שקול [[פונקציה]] רציפה על ה[[ספקטרום של חוג|ספקטרום]] של <math>R</math>'')''. אם כן, ''<math>R</math>'' מצומצם אם ורק אם כל מודול [[נוצר סופית]] מדרגה קבועה מקומית הוא [[מודול פרויקטיבי|פרויקטיבי]].{{הערה|{{Harvnb|Eisenbud|loc=Exercise 20.13.}}}}

== דוגמאות ודוגמאות נגדיות ==
* תתי חוגים, מכפלות ולוקליזציות של חוגים מצומצמים הם שוב, חוגים מצומצמים.
* חוג השלמים <math>\mathbb{Z}</math> הוא חוג מצומצם. כל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] וכל [[חוג פולינומים]] מעל שדה (במספר שרירותי של משתנים) הוא חוג מצומצם.
* באופן כללי יותר, בכל [[תחום ראשי]] הוא חוג מצומצם מכיוון שכל איבר נילפוטנטי הוא [[מחלק אפס]]. מצד שני, לא כל חוג מצומצם הוא תחום ראשי. למשל, החוג <math>\mathbb{Z}[x, y]/(xy)</math> מכיל את <math>x+(xy)</math> ו-<math>y+(xy)</math> כמחלקי אפס, אבל לא איברים נילפוטנטיים שאינם אפס. כדוגמה נוספת, החוג <math>\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}</math> מכיל את (1,0), (0,1) כמחלקי אפס, אבל לא מכיל איברים נילפוטנטיים שאינם אפס.
* החוג <math>\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</math> הוא מצומצם, עם זאת <math>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</math> אינו מצומצם: המחלקה <math>2+4\mathbb{Z}</math> היא נילפוטנטית. באופן כללי, <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> מצומצם אם ורק אם <math>n=0</math> או שהוא [[חופשי מריבועים]].
* אם ''<math>R</math>'' הוא חוג חילופי ו-<math>N</math> הוא אידיאל נילרדיקלי של ''<math>R</math>'', אז חוג המנה <math>R/N</math> מצומצם.

== הכללות ==
חוגים מצומצמים משחקים תפקיד חשוב ב[[גאומטריה אלגברית]], שם מושג זה מוכלל לסכמה מצומצמת.

== לקריאה נוספת==
* N. Bourbaki, Commutative Algebra, Hermann Paris 1972, פרק 2, סעיף 2.7
* N. Bourbaki, Algebra, Springer 1990, פרק 5, סעיף 6.7
* Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, {{ISBN|0-387-94268-8}}.

== ראו גם ==
* [[תחום שלמות]]

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}

[[קטגוריה:תורת החוגים]]