הצגת המקור של הדף "חוג מקומי למחצה"

בתורת החוגים, '''חוג מקומי למחצה''' הוא [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] <math>R</math> כך שהמנה <math>R/J(R)</math> היא [[חוג פשוט למחצה]] [[חוג ארטיני|ארטיני]], כאשר <math>J(R)</math> הוא [[רדיקל ג'ייקובסון]]. החוגים המקומיים-למחצה הקומוטטיביים הם אלו שיש להם מספר סופי של אידיאלים מקסימליים. 

== ההגדרה ==

חוג <math>R</math> הוא מקומי למחצה אם <math>R/J(R)</math> ארטיני. מכיוון ש-<math>R/J(R)</math> ממילא [[חוג פרימיטיבי למחצה|פרימיטיבי למחצה]], נובע מיד שהמנה פשוטה למחצה, כלומר (לפי [[משפט ודרברן-ארטין]]) [[סכום ישר]] של חוגי מטריצות מעל [[חוג עם חילוק|חוגים עם חילוק]].

== דוגמאות ==

=== המקרה הקומוטטיבי ===

בכל חוג קומוטטיבי [[חוג נתרי|נתרי]] <math>R</math>, אוסף האיברים שהם [[מחלק אפס|מחלקי אפס]] מוכל באיחוד סופי של [[אידיאל ראשוני|אידיאלים ראשוניים]]. משום כך, [[חוג השברים הקלאסי]] של <math>R</math>, המתקבל בתהליך של [[מיקום (אלגברה)|מיקום]] על ידי היפוך כל האיברים הרגולריים (היינו שאינם מחלקי אפס) הוא מקומי למחצה. 

חוג דדקינד מקומי למחצה הוא ראשי. במילים אחרות, לכל [[חוג דדקינד]] שאינו [[תחום ראשי]] יש אינסוף אידיאלים מקסימליים. 

=== המקרה הכללי ===

חוג <math>R</math> הוא מקומי למחצה אם ורק אם יש פונקציה <math>d : R \rightarrow \{0,1,\dots,n\}</math>, כך ש-<math>d(a)+d(1-ab)=d(a-aba)</math> לכל <math>a,b</math>, ו-<math>a</math> הפיך אם ורק אם <math>d(a)=0</math>.

יש דרכים רבות לקבל חוגים מקומיים למחצה. [[חוג מקומי]] הוא מקומי למחצה. מכפלה סופית של חוגים מקומיים היא מקומית למחצה. [[חוג מטריצות]] מעל חוג מקומי הוא מקומי למחצה. כל חוג שהוא [[מודול סופי]] מעל תת-חוג קומוטטיבי שהוא מקומי למחצה, גם הוא מקומי למחצה. אם <math>R'</math> הוא [[חוג ארטיני]] שמאלי, ו-<math>R</math> הוא תת-חוג כך שמודול המנה <math>R'/R</math> ארטיני מעל <math>R</math>, אז <math>R</math> מקומי למחצה. 

אם חוג הוא "קלאסי" (כל איבר שאינו [[מחלק אפס]] הוא הפיך), ומקיים את [[תנאי השרשרת העולה]] על מאפסים ימניים ועל מאפסים שמאליים, אז הוא מקומי למחצה.

אם יש לחוג מספר סופי של אידיאלים מקסימליים, אז הוא מקומי למחצה (ההפך נכון במקרה הקומוטטיבי, אבל לא במקרה הכללי). 

כל [[חוג אנדומורפיזמים]] של [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] [[מודול ארטיני|ארטיני]] הוא מקומי למחצה. כך גם חוג האנדומורפיזמים של מודול יוניסריאלי (כזה שתת-המודולים שלו מהווים שרשרת).

== הטווח היציב ==

כל חוג מקומי למחצה <math>R</math> הוא בעל [[טווח יציב (תורת החוגים)|טווח יציב]] 1, כלומר, אם <math>Ra+Rb</math> מכיל [[איבר הפיך]], אז <math>a+Rb</math> מכיל איבר כזה.

== מחלקות של חוגים מקומיים למחצה ==

כל חוג אנדומורפיזמים של מודול בעל אורך סופי הוא '''[[חוג פרימרי למחצה|פרימרי למחצה]]''', היינו מקומי למחצה, עם [[רדיקל (תורת החוגים)|רדיקל]] ג'ייקובסון [[אידיאל נילפוטנטי|נילפוטנטי]].

'''כיסוי פרויקטיבי''' של מודול <math>M</math> הוא [[מודול פרויקטיבי]] <math>P</math> עם הטלה <math>P \rightarrow M</math> שה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] שלה הוא [[תת-מודול קטן]]. לא לכל מודול יש כיסוי פרויקטיבי, אבל אם הוא קיים, הוא יחיד.

=== חוגים מושלמים ===

התכונות הבאות שקולות עבור חוג <math>R</math>. חוג המקיים אותן נקרא [[חוג מושלם]] (שמאלי).
* לכל מודול שמאלי מעל <math>R</math> יש כיסוי פרויקטיבי.
* כל [[מודול שטוח]] הוא פרויקטיבי.
* החוג מקומי למחצה, ולכל סדרה של איברים <math>a_1,a_2,\dots \in J(R)</math>, קיים <math>n</math> כך- <math>a_1\cdots a_n = 0</math>.
* החוג מקומי למחצה, ולכל מודול שמאלי שונה מאפס יש תת-מודול מקסימלי.
* החוג מקיים את [[תנאי השרשרת היורדת]] על אידיאלים ימניים ראשיים.
חוג מושלם שמאלי אינו בהכרח מושלם ימני. [[תחום שלמות]] מושלם הוא שדה.

=== חוגים מושלמים למחצה ===

אם יש כיסוי פרויקטיבי לכל מודול שמאלי נוצר סופית מעל <math>R</math>, החוג '''[[חוג מושלם למחצה|מושלם למחצה]]'''. תנאי זה סימטרי להחלפת שמאל וימין. חוג מושלם (שמאלי או ימני) הוא מושלם למחצה. 

חוג הוא מושלם למחצה אם ורק אם הוא מקומי למחצה, ואפשר להרים אידמפוטנטים מ-<math>R/J(R)</math> ל-<math>R</math>. הרמת האידמפוטנטים מקנה לחוגים כאלה מבנה מובהק של חוגי מטריצות. אכן, אם <math>e_1,\dots,e_n</math> היא מערכת אורתוגונלית של [[אידמפוטנט]]ים כך ש-<math>e_i (R  /J(R) ) e_i</math> הם המרכיבים הפשוטים של המנה, אז <math>R = \sum R_{ij}</math> כאשר <math>R_{ij} = e_i R e_j</math>; <math>R_{ii}</math> הם תת-חוגים ו-<math>R_{ij} = e_i R e_j</math> בי-מודולים. '''משפט קרול-רמק-שמידט''' קובע שאם <math>M</math> מודול מעל חוג <math>R</math> ו-<math>\operatorname{End}(M)</math> מושלם למחצה, אז <math>M</math> מתפרק לסכום ישר סופי של מודולים אי-פריקים, ופירוק זה יחיד עד כדי סדר ואיזומורפיזם של הגורמים.

בין החוגים הקומוטטיביים, חוג מושלם למחצה אינו אלא [[מכפלה ישרה]] סופית של חוגים מקומיים.

== ראו גם ==

* [[חוג מקומי]]
* [[חוג מושלם]]
* [[חוג מושלם למחצה]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:טיפוסי חוגים|מקומי למחצה]]