הצגת המקור של הדף "חוג פשוט"

ב[[תורת החוגים]], '''חוג פשוט''' הוא חוג שאין לו [[אידיאל (אלגברה)|אידיאלים]] [[טריוויאלי (מתמטיקה)|לא טריוויאליים]]{{הערה|1=חוג בלי יחידה <math>A</math> הוא פשוט אם אין לו אידיאלים לא טריוויאליים, ובנוסף <math>A^2 \neq 0</math>. מן ההנחות האלה נובע שלמעשה <math>A^2 = A</math>; שוויון זה מובטח בכל מקרה בחוגים עם יחידה.}}. בהיותם האובייקטים היסודיים בתורת המבנה, נודעת חשיבות רבה להכרת החוגים הפשוטים במחלקות שונות של חוגים. החוגים הפשוטים הקומוטטיביים אינם אלא שדות. החוגים הפשוטים ה[[חוג ארטיני|ארטיניים]] הם, לפי [[משפט ודרברן-ארטין]], [[חוג מטריצות|אלגברות מטריצות]] מעל [[חוג עם חילוק|חוגים עם חילוק]]. המבנה של חוגים פשוטים [[חוג נותרי|נתריים]] מסובך למדי, וידועות שם כמה וכמה דוגמאות פתולוגיות.

ה[[מרכז (תורת החוגים)|מרכז]] של חוג פשוט הוא תמיד [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], ולכן אפשר לראות את החוג כ[[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] מעל המרכז של עצמו. כל אלגברה מעל שדה אפשר לשכן באלגברה פשוטה (Bokut). 

תפקידם של החוגים הפשוטים בתורת החוגים אינו חד-משמעי כזה של ה[[חבורה פשוטה|חבורות הפשוטות]] ב[[תורת החבורות]]: האחרונות משמשות דרך [[סדרת הרכב|סדרות ההרכב]] אבני יסוד שאפשר לבנות מהן את כל החבורות הסופיות (וגם חבורות רבות אחרות). בתורת החוגים, למרות שלכל חוג (עם יחידה) יש [[חוג מנה|מנות פשוטות]], ולמרות קיומו של [[רדיקל (תורת החוגים)|רדיקל]] [[רדיקל בראון-מקוי|בראון-מקוי]] המודד עד כמה המנות האלה רחוקות מלתאר את החוג כולו, הפירוק של חוג למרכיבים פשוטים - במידה שהוא אפשרי - נעשה דווקא דרך [[מודול פשוט|מודולים פשוטים]].

כל [[חוג עם חילוק]] הוא חוג פשוט, וכל חוג פשוט הוא [[חוג פרימיטיבי]], ולכן [[חוג ראשוני|ראשוני]]. אף אחת מן הגרירות הלוגיות הללו אינה דו-כיוונית.

== דוגמאות ==
===הרחבות אורֶה ===
לכל חוג פשוט <math>R</math> מ[[מאפיין של שדה|מאפיין]] 0, אם <math>d : R \rightarrow R</math> היא [[גזירה (אלגברה)|גזירה]] (כלומר, [[העתקה ליניארית]] המקיימת את [[כלל לייבניץ]] <math>d(ab)=ad(b)+d(a)b</math>; ראו [[אלגברה דיפרנציאלית]]) שאינה פנימית (כלומר, היא אינה מהצורה <math>d(a)=at-ta</math> עבור <math>t</math> קבוע), אז [[הרחבת אור]] <math>R[x;d]</math> (הכוללת את הפולינומים מעל <math>R</math>, עם כלל הכפל <math>xa = ax + d(a)</math>) היא חוג פשוט ([[שמשון עמיצור|עמיצור]]). חזרה איטרטיבית על בניה זו מביאה (כאשר <math>F</math> שדה ממאפיין 0) ל[[אלגברת וייל]] <math> A_n(F) = F[x_1,\dots,x_n, y_1,\dots, y_n]</math>, שבה כל <math>x_i</math> וכל <math>y_j</math> מתחלפים זה עם זה, למעט <math>y_ix_i=x_iy_i+1</math>. זוהי דוגמה ידועה לאלגברה פשוטה [[חוג נתרי|נתרית]].

=== פשטות חסומה ===
חוג הוא פשוט אם האידיאל (הדו-צדדי) שיוצר כל איבר שונה מאפס, מכיל את [[איבר יחידה|איבר היחידה]]. לפיכך ניתן להגדיר חוג n-פשוט בתור חוג שעבורו לכל <math>a\neq 0</math> קיימים <math>x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n</math> כך ש-<math>\sum_{i=1}^n x_i a y_i = 1</math>. חוג מטריצות מסדר n מעל שדה (או חוג עם חילוק) הוא n-פשוט. דוגמה חשובה מממד אינסופי היא המנה של חוג [[העתקה ליניארית|האופרטורים הליניאריים]] על [[מרחב וקטורי]] אינסוף ממדי (מממד בן-מנייה), באידיאל של העתקות שדרגתן סופית - מנה זו היא חוג 1-פשוט.

=== חוגים רדיקליים ===
ההגדרה לחוג פשוט אינה מבטיחה, א-פריורי, את קיומו של אבר יחידה (לדוגמה, חוג המטריצות הסופיות מסדר לא חסום מעל שדה) ומכאן שניתן לתהות האם קיימים חוגים פשוטים במחלקות של חוגים ללא יחידה - כמו חוגים השווים ל[[רדיקל ג'ייקובסון]] של עצמם או [[אידיאל נילי|חוגים ניליים]] (כפי ששאלו לויצקי, ג'ייקובסון, קפלנסקי ואחרים).
בשנת 1961 נמצאה דוגמה לחוג פשוט השווה ל[[רדיקל ג'ייקובסון]] של עצמו (Sasiada), ובשנת 2002 נמצאה דוגמה לחוג פשוט ונילי (Smoktunowicz). יצוין, כי אלגברה פשוטה נוצרת סופית אינה יכולה להיות רדיקל ג'ייקובסון, בגלל [[הלמה של נקאימה]] (בגרסתה הלא-קומוטטיבית).

== אלגברות לי וז'ורדן הנלוות לאלגברה ==
לכל חוג אסוציאטיבי <math>R</math> נלווים [[אלגברת לי|חוג לי]] <math>R^{-}</math> ו[[אלגברת ז'ורדן|חוג ז'ורדן]] <math>R^{+}</math> הבנויים על אותם איברים ואותה פעולת חיבור, עם הכפל <math>[x,y]=xy-yx</math> במקרה הראשון ו-<math>x\circ y = xy+yx</math> במקרה השני. באופן טיפוסי לאחרונים יש "יותר" אידיאלים מאשר ל-<math>R</math>, משום שהפעולה שלהם סימטרית יותר. אם <math>R</math> חוג פשוט ממאפיין שאינו 2, אז <math>R^+</math> הוא חוג ז'ורדן פשוט, וכל אידיאל של חוג לי <math>R^{-}</math> מוכל במרכז של <math>R</math> או מכיל את כל הקומוטטורים שלו. חוג המנה <math>[R,R]/\operatorname{Cent}(R)</math> הוא חוג לי פשוט.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}

[[קטגוריה:טיפוסי חוגים|פשוט]]