הצגת המקור של הדף "חוג שבת (אלגברה)"

ב[[תורת החוגים]], '''חוּג הַשֶּבֶת''' של [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] תחת [[פעולת חבורה|פעולת]] [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], הוא אוסף האיברים הנשמרים תחת הפעולה. החוג נקרא לעיתים גם '''חוג האינווריאנטים''' או '''חוג האיברים הסימטריים''' (תחת פעולת החבורה).

מבנה זה בא לידי שימוש במיוחד ב[[המשפט היסודי של תורת גלואה|משפט היסודי של תורת גלואה]], ונותן אפיון נוסף ל[[חבורת גלואה]]. ההגדרה משמשת גם ב[[תורת האינווריאנטים]], במחקר פעולה של חבורות על [[יריעה אלגברית|יריעות אלגבריות]].

==הגדרה ותכונות==
בהינתן [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] <math>R</math> ו[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] <math>G</math> ה[[פעולת חבורה|פועלת]] על החוג, '''חוג השבת''' של <math>R</math> תחת פעולת <math>G</math>, המסומן <math>R^G</math>, הוא אוסף האיברים הנשמרים על ידי הפעולה, כלומר:
<math display="block">R^G = \{r \in R : \forall g \in G: g\cdot r = r \}</math>

כפי שנרמז בשם, אוסף איברים זה הוא אכן תת-חוג של החוג המקורי. תכונות רבות שהחוג מקיים יועברו גם לחוג שבת שלו: למשל, אם המבנה המקורי <math>R</math> הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], גם חוג השבת שלו, הנקרא '''שדה השבת''', הוא שדה.

[[הבעיה הארבע-עשרה של הילברט]] עוסקת ב[[נוצר סופית|נוצרותו הסופית]] של חוג השבת במקרים מסוימים.

==יישומים==
===בתורת גלואה===
{{ערך מורחב|המשפט היסודי של תורת גלואה}}
להגדרה לעיל חשיבות מיוחדת ב[[תורת גלואה]]: בהינתן [[הרחבת שדות]] <math>E/F</math>, משפט של [[אמיל ארטין]] קובע כי אם קיימת חבורה כלשהי <math>G</math> הפועלת על <math>E</math>, כך ש-<math>E^G=F</math> אז בהכרח <math>G\cong\operatorname{Gal}(E/F)</math> וההרחבה הנה [[הרחבת גלואה]]. לעיתים הרחבת גלואה אף מוגדרת על פי תנאי זה.

===בתורת האינווריאנטים===
ההגדרה מיושמת גם ב[[תורת האינווריאנטים]], החוקרת פעולות של חבורות על [[יריעה אלגברית|יריעות אלגבריות]]. הדוגמה הבסיסית ביותר היא חוג השבת של [[חוג הפולינומים]] <math>R[x_1,...,x_n]</math> תחת [[החבורה הסימטרית]] <math>S_n</math>, אשר שווה ל[[חוג הפולינומים הסימטריים]]. בתחום זה חוקרים את חוג השבת תחת פעולות של חבורות על יריעות אלגבריות, ומנסים להבין את המבנה והתכונות שלו.

[[קטגוריה:תורת החוגים]]