הצגת המקור של הדף "חוקי פרנל"

{{פירוש נוסף|נוכחי=חוקי החזרה ושבירה המתוארות על יד משוואות פרנל|אחר=חוק ההתאבכות של פולריזצות|ראו=[[חוקי פרנל-אראגו]]}}
[[קובץ:Partial transmittance.gif|שמאל|ממוזער|250px|החזרה ו[[העברה (גלים)|העברה]] חלקית על פי חוקי פרנל של משרעת הפרעה גלית הנעה במאונך מתווך אחד לתווך אחר בעל מקדם שבירה ''גבוה יותר''. ניתן לשים לב שכמו גל בחבל הקשור מלולאה יש היפוך של המופע בהחזרה (הגל חוזר במשרעת שלילית בניגוד לגל העובר אשר ממשיך במשרעת חיובית).]]

'''חוקי פרנל''' הם כללים [[פיזיקה|פיזיקליים]] המתארים כיצד [[קרינה אלקטרומגנטית|גל אלקטרומגנטי]] ובפרט אור, מוחזר ונשבר במפגש בין שני חומרים בעלי תכונות אופטיות שונות, כגון זכוכית ואוויר. החוקים נקראים על שם [[אוגוסטן ז'אן פרנל]] אשר הגה אותם ברבע הראשון של [[המאה ה-19]]. חוקים אלו הם מעמודי התווך של ה[[אופטיקה]] ומשמשים כבסיס להסבר תופעות אופטיות רבות כגון, [[החזרה פנימית מלאה]], [[זווית ברוסטר]], [[התאבכות]] משכבות וה[[קיטוב]]ים של [[מוליך גלים|אופנים מולכים]].
[[קובץ:Yuyuan Gardens - water reflection.JPG|שמאל|ממוזער|דוגמה להחזרה של אור השמש על פי חוקי פרנל מאגם עם מים שקטים. חוקי פרנל מתארים את אחוז האור המוחזר מפני המים ואת דרגת הקיטוב שאור השמש (הבלתי מקוטב) מקבל לאחר ההחזרה.]]

==היסטוריה==
חוקי פרנל באו כ-200 שנה אחרי ש[[תומאס הריוט|הריוט]], [[וילברורד סנל|סנל]] ו[[רנה דקארט|דקארט]] גילו את חוקי ה[[החזר ראי|החזרה]] ו[[חוק סנל|השבירה]] לעולם האירופאי. פרנל עשה את הצעד הבא כאשר בעזרת חוקיו, תיאר לא רק את הכיוון אליו האור יוחזר ויישבר, אלא גם את חלוקת העוצמה של הגל הפוגע בין הגל הנשבר והמוחזר. המרכיבים החסרים ב-200 שנה אלו היו הבנת ה[[קיטוב]] של האור, ותכונותיו הגליות. אף על פי שבעזרת גבישי [[קלציט]] איסלנדי כבר בשנות ה-70 של [[המאה ה-17]] ידעו [[כריסטיאן הויגנס|הויגנס]] ו[[ארסמוס ברתולין|ברתולין]] שלאור השמש קיימת תכונה חבויה לה קראו [[קיטוב]], אף אחד לא ידע לתאר פיזיקלית את מקור תכונת הקיטוב. בנוסף לכך העולם המדעי ב[[המאה ה-18|מאה ה-18]] קבל כמעט באופן מוחלט את תפיסתו של [[אייזק ניוטון|ניוטון]] בה האור הוא זרם חלקיקים, על פני התפיסה הגלית של הויגנס. פרנל ו[[תומאס יאנג|יאנג]] גילו באופן בלתי תלוי גם את תכונותיו הגליות של האור בניסויים שונים של [[התאבכות]], וגם את קיטובו [[קיטוב רוחבי|הרוחבי]] של אור השמש[https://web.archive.org/web/20080724063802/http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Fresnel.html]. בחוקי פרנל הם תלויים בכיוון התנודות של הגל האלקטרומגנטי (דהיינו הקיטוב), לתנודות אלו אין מקום בתורה החלקיקית של ניוטון. פרנל בחייו הקצרים הבין את תכונותיו הגליות של האור ביניהן הקיטוב, ועם הבנה זאת ידע לפתח את חוקי פרנל מתאוריה מכנית של ויברציות בחומר. כיום מקובל להוכיח תאורטית את חוקי פרנל מ[[משוואות מקסוול]] אשר נולדו לעולם רק כמחצית המאה לאחר מכן.

==הסבר==
כאשר גל אלקטרומגנטי הנע בחומר בעל [[מקדם שבירה]] <math>n_{in}</math> פוגע ב[[זווית כניסה]] <math>\theta_{in}</math> בגבול של חומר שני בעל מקדם שבירה <math>n_{out}</math>, חלקו מוחזר [[חוק ההחזרה|בזווית שווה לזווית הפגיעה]] וחלקו [[שבירה|נשבר]] על פי [[חוק סנל]] (ראו איור 1). מתמטית ניתן לרשום את הגל בתווך הראשון כסכום של הגל הפוגע והגל המוחזר.
[[קובץ:Fresnel Interface.png|שמאל|ממוזער|250px|איור 1: מתאר קרן אור הפוגעת במעבר בין שני תווכים בעלי מקדמי שבירה שונים ולפיכך הקרן מוחזרת ונשברת]]
: <math>E_{1}=\vec{E_{in}}+\hat r \vec{E_{in}}</math>

כאשר <math>\hat r</math> מסמן את פעולת ההחזרה אשר יכולה לשנות את ה[[משרעת]], [[מופע]] ו[[קיטוב]] של השדה החשמלי הפוגע <math>\vec{E_{in}}</math>.

בתווך השני קיים רק הגל הנשבר.

<math>E_{2}=\hat t \vec{E_{in}}</math>

כאשר <math>\hat t</math> מסמן את פעולת השבירה.

חוקי פרנל מתארים כמותית את פעולת ההחזרה והשבירה על מנת שיהיה ניתן לחשב את ה[[משרעת]], ה[[מופע]] וה[[קיטוב]] של הגל המוחזר והנשבר ביחס לגל הפוגע. לדוגמה כאשר אור הנע באוויר פוגע בניצב במשטח זכוכית 4% מהעוצמה תוחזר והקיטוב יהיה זהה לקיטוב של האור הפוגע (בגלל הפגיעה המאונכת). מתמטית חוקים אלו מגולמים במשוואות פרנל אשר מחשבים את מקדמי ההחזרה והשבירה כתלות במשתנים הבאים:
* מקדם השבירה של שני החומרים
* הקיטוב
* זווית הפגיעה

משוואות פרנל מתארות את ההחזרה והשבירה של [[גל מישורי]] על ידי משטח אינסופי שטוח ואחיד. בפועל משוואות פרנל נותנות תוצאות שימושיות ברמת דיוק גבוהה עבור [[קרני אור מקבילות]] אשר פוגעות במשטח הגדול מכתם האור ושטוח ביחס לאורך הגל של האור. <!-- לחשוב האם ההסבר זה טוב גם לאור הפגוע בכדור? מה לגבי גל כדורי כיצד לכתוב שניתן לחשב את ההחזרה המקומית על פי כיוון ההתקדמות המקומי --> בערך זה נתאר את השדה החשמלי של הגל רק כגל מישורי אידיאלי, כלומר גל בעל [[קיטוב רוחבי]].

===קיטוב===
כאשר גל אלקטרומגנטי פוגע במבנה של שכבות אחידות ו[[איזוטרופי]]ות (בפרט תווך של שני חומרים המתואר בחוקי פרנל) קיימים שני [[קיטוב עצמי|קיטובים עצמיים]] של המבנה, קיטוב ניצב ל[[מישור הפגיעה]] {{אנ|Plane of incidence}} (מישור הנפרש על ידי וקטור כיוון התקדמות הגל והווקטור הניצב למשטח) הידוע כקיטוב 's', וקיטוב מקביל למישור הפגיעה הידוע כקיטוב 'p'. אור המקוטב בקיטובים אלו לא ישנה את קיטובו בהחזרה ובשבירה. מקדמי ההחזרה וה[[העברה (גלים)|העברה]] של משוואות פרנל כתובים בנפרד לכל קיטוב עצמי. על מנת לחשב את ההחזר עבור קיטוב כללי יש צורך [[פירוק ווקטורי|לפרקו]] ב[[בסיס (אלגברה)|בסיס]] של הקיטובים העצמיים, לחשב את ההחזרה/שבירה של השדה החשמלי לכל קיטוב בנפרד על פי משוואות פרנל ולחברם בחזרה.
לדוגמה אם הגל הנכנס הוא בעל [[קיטוב מעגלי]] ימני <math>E_R</math>.
: <math>E_{in}\propto\hat E_R \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat s+i\hat p\right)</math>
כאשר <math>\hat s,\hat p</math> הם ווקטורי היחידה בכיוון הקיטוב הניצב <math>\hat s</math> ובכיוון הקיטוב במקביל <math>\hat p</math>
אזי הקיטוב בהחזרה יהיה,
: <math>\hat E_{ref} \propto r_s \hat s+r_p \hat p</math>
ובדומה הקיטוב הנשבר יהיה
: <math>\hat E_{tran}\propto t_s \hat s+t_p \hat p</math>
כאשר <math>r_{s/p}</math> ו<math>t_{s/p}</math> הם מקדמי ההחזרה והשבירה של משוואות פרנל בהתאמה עבור הקיטובים העצמיים השונים.

ניתן לראות שהקיטוב יהפוך לקיטוב אליפטי לאחר ההחזרה/[[העברה (גלים)|העברה]] עבור כל זווית פגיעה השונה מאפס. זאת מכיוון שעל פי חוקי פרנל המשרעת של הגל החוזר אינה שווה עבור שני הקיטובים העצמיים בכל זווית פרט לפגיעה ניצבת <math>\theta_{in}=0^{\circ}</math> או פגיעה שטוחה <math>\theta_{in}=90^{\circ}</math>. בסביבת שני מצבי קצה אלו ההחזר והשבירה בקירוב טוב, אינם תלוים בקיטוב של הגל הפוגע, ולפיכך כל קיטוב הוא קיטוב עצמי של המבנה בזוויות אלו.

<!--אולי כדאי ממש לכתוב מתמטית כיצד הגל נראה בכל תווך (גל פוגע + מוחזר) ""באופן הכללי ביותר ניתן לרשום את השדה בתווך אחד בהנחה שהתווכים נושקים במישור <math>x,y</math>"" -->

===זווית ברוסטר===
ניתן להראות ממשוואות פרנל עבור מקדם ההחזרה של הקיטוב המקביל (<math>r_p</math>) שבכל מעבר תווך דיאלקטרי חייב המקדם להתאפס בזווית כלשהי. זווית זו נקראת [[זווית ברוסטר]] על שם הפיזיקאי [[דייוויד ברוסטר]] שגילה אותה, האור המוחזר במקרה זה יהיה מקוטב בקיטוב מאונך (<math>r_s</math>) ועל כן ברוסטר קרא לזווית, '''זווית הקיטוב'''. ברוסטר גילה את זווית הקיטוב באופן ניסיוני כעשור לפני שפרנל פיתח את משוואותיו. קיימים חומרים [[כיראליות|כיראלים]] (לא ניתן לתארם רק בעזרת אינדקס שבירה) בהם קיימת זווית קיטוב אך עוצמת ההחזר (<math>r_p</math>) אינה יורדת לאפס. <!-- לזכור לתת מראה מקום ללקטיה -->

===המשוואות (סימונים שונים)===
קיימות גרסאות רבות למשוואות פרנל. נביא כאן כמה מהגישות מספרי אופטיקה נפוצים המתארים את מקדמי ההחזרה ו[[העברה (גלים)|העברה]] של השדה החשמלי (למשל Born & Wolf), העוצמה (<math>\left|E\right|^2</math>) ושטף העוצמה (למשל Siegmann). כל המשוואות הן עבור [[חומרים ליניארים]] איזוטרופים ללא תגובה מגנטית.
====שדה חשמלי====
המשוואות עבור מקדמי ההחזרה וה[[העברה (גלים)|העברה]] לשדה החשמלי הן (מחוק סנל + תנאי שפה על השדה החשמלי והמגנטי) :
: <math>r_s = \frac{\sin (\theta_{out}- \theta_{in})}{\sin (\theta_{out}+ \theta_{in})} 
=\frac{n_{in}\cos\theta_{in}-n_{out}\cos\theta_{out}}{n_{in}\cos\theta_{in}+n_{out}\cos\theta_{out}}
=\frac{n_{in}\cos\theta_{in}-n_{out}\sqrt{1-\left(\frac{n_{in}}{n_{out}} \sin\theta_{in}\right)^2}}{n_{in}\cos\theta_{in}+n_{out}\sqrt{1-\left(\frac{n_{in}}{n_{out}} \sin\theta_{in}\right)^2}}</math>
:<math>=\frac{q-m}{q+m}=\frac{k_{z_{in}}-k_{z_{out}}}{k_{z_{in}}+k_{z_{out}}}</math>
: <math>r_p =\frac{\tan (\theta_{in} - \theta_{out})}{\tan (\theta_{in} + \theta_{out})} 
=\frac{n_{out}\cos\theta_{in}-n_{in}\cos\theta_{out}}{n_{out}\cos\theta_{in}+n_{in}\cos\theta_{out}}
=\frac{n_{out}\cos\theta_{in}-n_{in}\sqrt{1-\left(\frac{n_{in}}{n_{out}} \sin\theta_{in}\right)^2}}{n_{out}\cos\theta_{in}+n_{in}\sqrt{1-\left(\frac{n_{in}}{n_{out}} \sin\theta_{in}\right)^2}}</math>
:<math>=\frac{1-q m}{1+q m}=\frac{\epsilon_{in}k_{z_{out}}-\epsilon_{out}k_{z_{in}}}{\epsilon_{in}k_{z_{out}}+\epsilon_{out}k_{z_{in}}}</math>
:<math> t_s = \frac{2 \sin \theta_{out} \cos \theta_{in}}{\sin (\theta_{out} + \theta_{in})}
=\frac{2 n_{in} \cos \theta_{in}}{n_{in} \cos \theta_{in}+n_{out} \cos \theta_{out}}
=\frac{2 n_{in} \cos \theta_{in}}{n_{in} \cos \theta_{in}+n_{out}\sqrt{1-\left(\frac{n_{in}}{n_{out}} \sin\theta_{in}\right)^2}}</math>
:<math>=\frac{2 m}{q+m}=\frac{2 k_{z_{out}}}{k_{z_{in}}+k_{z_{out}}}</math>
:<math> t_p = \frac{2 \sin \theta_{out} \cos \theta_{in}}{\sin (\theta_{out} + \theta_{in})\cos (\theta_{in} - \theta_{out})}
=\frac{2 n_{in} \cos \theta_{in}}{n_{out}\cos\theta_{in}+n_{in}\cos\theta_{out}}
=\frac{2 n_{in} \cos \theta_{in}}{n_{out}\cos\theta_{in}+n_{in}\sqrt{1-\left(\frac{n_{in}}{n_{out}} \sin\theta_{in}\right)^2}}</math>
:<math>=\frac{2 q m}{1+q m}=\frac{2 \epsilon_{in}k_{z_{out}}}{\epsilon_{in}k_{z_{out}}+\epsilon_{out}k_{z_{in}}}</math>

כאשר <math>q \equiv \frac{n_{in}}{n_{out}}</math> הוא היחס בין מקדם השבירה בשני החומרים, <math>m \equiv \frac{\cos\left(\theta_{out}\right)}{\cos\left(\theta_{in}\right)}</math> היא ה[[הגדלה אופטית|הגדלה האופטית]].

כמו כן, מקדמי ההעברה תלויים במקדמי ההחזרה לפי:

:<math>t_s =1+r_s</math>
:<math>t_p = (1+r_p) \cdot \frac{cos \theta_{in} }{ cos \theta_{out} }</math>

משוואות פרנל אינן תלויות ישירות באורך הגל אלא רק בזווית הכניסה ובחומרים, התלות באורך הגל של האור היא רק דרך ה[[נפיצה]] של החומר.

====עוצמת השדה====
עוצמת השדה החשמלי מוגדרת כ <math>\left|E\right|^2</math>, ולכן המשוואות עבור מקדמי ההחזרה ו[[העברה (גלים)|העברה]] הן בפשטות <math>R_{s/p}=r_{s/p}^2</math> ו <math>T_{s/p}=t_{s/p}^2</math>. בניגוד למשוואות השדה משוואות העוצמה אינן תלויות בבחירת מערכות הצירים ב[[העברה (גלים)|העברה]] והחזרה בגלל שהבדלי הסימן נעלמים כאשר מעלים את השדה בריבוע:
: <math>R_s = \left[ \frac{\sin (\theta_t - \theta_i)}{\sin (\theta_t + \theta_i)} \right]^2
=\left(\frac{n_1\cos\theta_i-n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i+n_2\cos\theta_t}\right)^2
=\left[\frac{n_1\cos\theta_i-n_2\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}}{n_1\cos\theta_i+n_2\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}}\right]^2</math>

: <math>R_p = \left[ \frac{\tan (\theta_t - \theta_i)}{\tan (\theta_t + \theta_i)} \right]^2
=\left(\frac{n_1\cos\theta_t-n_2\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_t+n_2\cos\theta_i}\right)^2
=\left[\frac{n_1\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}-n_2\cos\theta_i}{n_1\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}+n_2\cos\theta_i}\right]^2</math>

להלן דוגמה של מקדמי ההחזרה (עוצמת השדה) עבור הקיטובים השונים במעבר בין תווך דיאלקטרי בעל מקדם שבירה <math>n=1</math> לתווך דיאלקטרי בעל מקדם שבירה <math>n=2</math>.
[[קובץ:Fresnel2.png]]

====שטף האנרגיה====
בבעיות [[פיזור]] של אור קיים [[חוק שימור]] של [[שטף]] העוצמה. כלומר שטף האנרגיה הנכנס שווה לשטף האנרגיה היוצא. במקרה של חוקי פרנל פיזור במפגש של שני תווכים אחידים אופטית, השטף היוצא הוא סכום שטף האנרגיה המוחזר והנשבר. מתמטית הדבר זהה לחוק שימור זרם ההסתברות ב[[מכניקת הקוונטים]]. שטף האנרגיה תלוי בעוצמה אך גם תלוי במהירות הגל בחומר ובזווית התקדמותו יחסית למפזר.

שטף העוצמה החשמלית היא האנרגיה ליחידת זמן החוצה במאונך את המפגש בין שני התווכים <!-- לא מנוסח טוב --> ולכן מוגדר כ:
<math>I_{i}\equiv \frac{\left|E_i\right|^2 \cos \theta_i}{n_i}</math>, ולכן המשוואות עבור מקדמי ההחזריות והמעבריות הם:
<math>R_{s/p}=R_{s/p}</math> ו <math>T_{s/p}= T_{s/p} \frac {m}{q} = T_{s/p} \frac {n_{out} \cos \theta_{out}}{n_{in}\cos \theta_{in}}</math>.{{דרושה הבהרה|1=מה המשמעות של הכיתוב Rs/p=Rs/p? ומה הם m,n?}} 
על פי חוק שימור שטף העוצמה <math>R+T=1</math>.

===הפרש המופע בהחזרה ושבירה===
משוואות פרנל עבור השדה החשמלי (בניגוד לעוצמה החשמלית) המוחזר והמועבר מתארות את השינוי במשרעת והפרש המופע של הגל המוחזר והנשבר ביחס לגל הפוגע. תכונה זאת של הפרש מופע אינה מופיעה ברבים מספרי האופטיקה, ניתן להמחיש אותה בסימולציה בראש ערך זה בה הגל המוחזר מקבל היפוך מופע ולמועבר אין הפרש מופע.

בהנחה שהאור הפוגע מקוטב ליניארית בקיטוב כללי הכולל גם s וגם p, אזי כל הבדל בין מקדמי פרנל עבור הקיטובים השונים יגרום להפיכת הקיטוב ל[[קיטוב אליפטי|אליפטי]]. הפרש המופע של קיטובי s ו p שונה עבור אור ב[[החזרה מלאה]]. תכונה זאת אפשרה לפרנל להנדס כבר לפני 200 שנה את [[מעוין פרנל]] אשר הופך קיטוב ליניארי/מעגלי לקיטוב מעגלי/ליניארי.

ניתן לסכם את הפרשי המופע של מקדמי פרנל עבור מעבר בין שני חומרים דיאלקטרים איזוטרופים כדלקמן:[http://www.physics.gatech.edu/gcuo/lectures/OpticsI/lectures/OpticsI-08-FresnelEqs.ppt]{{קישור שבור|date=יולי 2020 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}<!-- אפשר להוסיף מראה מקום של כתבת ה OPN מ-2003 ובורן אנד וולף-->
* במעבר בין תווך בעל מקדם שבירה נמוך למקדם שבירה גבוה;
** אין הפרש מופע של הגל ''הנשבר'' ביחס לגל הפוגע.
** לקיטוב s יש היפוך מופע ''בהחזרה'' ביחס לגל הפוגע.
** לקיטוב p אין היפוך מופע ''בהחזרה'' עבור גל נכנס בזווית פגיעה קטנה מזווית ברוסטר ויש היפוך מופע עבור זווית גדולה מזווית ברוסטר.
''אזהרה, הפרשי המופע תלויי הגדרה, ניתן למצוא הגדרות בהן היפוך המופע לקיטוב p בהחזרה הוא עד ברוסטר, ואין היפוך מעבר לברוסטר. מה שאינו תלוי הגדרה הוא שהפרש המופע כתלות בזווית הכניסה רציף לקיטוב s ובעל קפיצה של <math>\pi</math> (היפוך מופע) בזווית ברוסטר עבור קיטוב p.<!-- תמיד בפיזיקה שיש נקודה בודדת שבה המשרעת אפס, יש קפיצה בפאזה-->''
* במעבר בין תווך בעל מקדם שבירה גבוה למקדם שבירה נמוך;
** אין הפרש מופע של הגל ''הנשבר'' ביחס לגל הפוגע עד לזווית הקריטית של החזרה מלאה.
** לקיטוב s אין היפוך מופע ''בהחזרה'' ביחס לגל הפוגע עד לזווית הקריטית.
** לקיטוב p יש היפוך מופע ''בהחזרה'' עבור גל נכנס בזווית פגיעה קטנה מזווית ברוסטר ואין היפוך מופע עבור זווית גדולה מזווית ברוסטר וקטנה מהזווית הקריטית.
** עבור זוויות גדולות מהזווית הקריטית, הפרש המופע ביחס לגל הפוגע יורד באופן מונוטוני עבור שני הקיטובים. ההפרש בין הפרשי המופע של שני הקיטובים הוא <math>\pi</math> בזווית הקריטית ובגבול של פגיעה אופקית, בזוויות פגיעה בין שני מקרי הקצה, הערך המוחלט של הפרש הפאזה של קיטוב p תמיד יהיה יותר גדול מזה של קיטוב s. השוני בין שני הקיטובים יהיה יותר גדול ככל ש q (היחס בין מקדם השבירה הנמוך לגבוה) יהיה יותר קטן (ראו דוגמה באיור 2).
[[קובץ:PhaseFresnel.png|שמאל|ממוזער|איור 2: הפרש המופע בהחזרה מלאה עבור קיטובי s ו p כתלות בזווית הפגיעה במשטח]]

דוגמה להשפעה של המופע בהחזרה מלאה באופטיקה היא [[עקומות הנפיצה]] של אופנים מולכים ב[[מוליך גלים]]. אופני תנודה אלו הם בעלי קיטוב [[מוליך גלים|TE/TM]], גלים אלו לכודים בתוך המוליך על ידי החזרה מלאה, אך הם יכולים להתקיים באופן יציב רק כאשר הם מתאבכים באופן בונה עם עצמם. תנאי ההתאבכות הבונה הוא:
: <math> 2 k_z d + \phi_{r_{1}}+\phi_{r_{2}}=2 \pi n </math>

כאשר <math>k_z</math> הוא הרכיב הניצב למשטח של [[וקטור גל|וקטור ההתקדמות]] של הגל בטווח, <math>d</math> הוא רוחב מוליך הגלים ו<math>\phi_r</math> הוא הפרש המופע בהחזרה במפגש בין טווח מוליך הגלים לתווך מצד אחד או מצד שני ו<math>n</math> הוא סדר האופן המולך (כלומר כמה פעמים השדה מתאפס לאורך חתך של מוליך הגלים). וקטור ההתקדמות אינו תלוי בקיטוב, אך הפרש המופע בהחזרה שונה עבור קיטובי s ו p, ולפיכך תנאי ההולכה שונה לאופנים בעלי קיטוב s (אופני TE) ולאופנים בעלי קיטוב p (אופני TM), מה שמסביר את ההבדל ביחס הנפיצה.

==פיתוח==
פרנל פיתח את חוקיו ממודל מכני של תגובת החומר לאור, אך כיום מקובל לפתח את החוקים ישירות מ[[משוואות מקסוול]] תחת ההנחה של [[תגובה ליניארית]] ותווך ללא [[זרם חשמלי|זרמים]] ו[[מטען חשמלי|מטענים]] חופשיים.

===תנאי שפה===
בעזרת [[חוק גאוס]] ניתן להראות ש:
* הרכיב המקביל למישור הפגיעה של [[שדה ההשראות החשמלית]] D רציף כלומר קיימת אי רציפות לרכיב השדה החשמלי הניצב התלויה ב[[מקדם דיאלקטרי]] של החומר
* בהינתן שאין מטענים חופשיים הרכיב הניצב של [[שדה ההשראות המגנטי]] B רציף

בעזרת [[משפט סטוקס]] ניתן להראות ש:
* הרכיב הרוחבי של ה[[שדה חשמלי|שדה החשמלי]] E רציף
* בהינתן שאין זרמים הרכיב הרוחבי של ה[[שדה מגנטי|שדה המגנטי]] H רציף

בהנחה שאין תגובה מגנטית לחומר, כלומר <math>B=H</math> (דבר הנכון לחומרים ידועים בתחום האור הנראה), ניתן להראות שדרישות [[תנאי שפה|תנאי השפה]] הרוחביות עבור שדה חשמלי ומגנטי של [[גל מישורי]] המוחזר ונשבר על פי הזוויות של חוק ההחזרה ו[[חוק סנל]], חייב לקיים את ארבע המשוואות הבאות.

<!-- ===חוקי סימטריה===
גישה זאת עוקבת אחרי ספרו של Joannopolous על [[גבישים פוטונים]], ועבור האנלוגיה של בעיות [[תווך של שכבות מקבילות]] ל[[בעיית הפוטנציאל החד ממדי]] במכניקה קוונטית. מטעמי סימטריה ניתן להראות שעבור שני תווכים אחידים הקיטובים העצמיים של גל אלקטרומגנטי חייבים להיות קיטובי s ו p. כמו כן וקטור ההתקדמות הרוחבי חייב להישמר בכל המרחב בגלל אחידות החומר. -->

==הרחבה לחומרים אחרים==
{{להשלים|נושא=מדעי הטבע}}
בנוסף למעבר בין שני תווכים [[דיאלקטרים]] איזוטרופים, ללא תגובה מגנטית, ניתן להרחיב את חוקי פרנל לתווכים אחרים, כאשר ההתייחסות תמיד היא למעבר מחומר דיאלקטרי כגון אוויר לתווך בעל החומר המדובר.

===תגובה מגנטית===
המשוואות ניתנו עבור חומרים ללא תגובה מגנטית (<math>\mu=1</math>).

===גבישי [[שבירה כפולה]]===
פרנל עצמו כמו חוקרים רבים בזמנו חקרו את תכונת הקיטוב של האור בגבישי [[שבירה כפולה]], בפרט [[קלציט]]. באופן כללי גבישים אשר אינדקס השבירה שלהם אינו אחיד לכיוון ההתקדמות של הגל האלקטרומגנטי אינם מקיימים את תכונת הקיטוב העצמי של קיטובי s ו-p, זאת משום שהקיטוב הרגיל והבלתי רגיל נעים בכיוונים שונים בתוך הגביש.

==שימושים==
*'''גרפיקה ממוחשבת''' כיום כאשר מעוניינים ליצור תמונות מציאותיות במשחקי מחשב או יישומים אחרים יש דגש רב על משחקי אור צל והשתקפויות. משוואות פרנל הן הבסיס לחישוב עוצמת האור שמוחזרת ונשברת בפגיעה בעצמים חלקים, כגון כדורי זכוכית
* התגובה האופטית של '''[[התאבכות משכבות דקות|רכיבים אופטיים בעלי שכבות רבות]]''' כגון מראות דיאלקטריות ומפצלי אלומה תלויה בעובי של כל שכבה ובמקדמי פרנל בין השכבות. התגובה האופטית היא התאבכות כל המסלולים האופטיים האפשריים בין השכבות. בעזרת משוואות פרנל ניתן לחשב את התגובה האופטית. לעיתים שיטה כזאת עוזרת בתכנון רכיב, כגון [[ציפוי נגד החזרה]], אשר ייתן תגובה רצויה מכיוון שניתן להבין מה "תפקידה" של כל שכבה.
* [[מעוין פרנל]]
* partial reflectors
* '''לייזרים מקוטבים''' בעזרת מראה חלקית המוצבת בזווית ברוסטר בתוך המהוד של ה[[לייזר]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
{{גלים}}
[[קטגוריה:חוקי אופטיקה|פרנל]]