הצגת המקור של הדף "חוק בייס"

'''חוק בייס''' (או: '''נוסחת בייס'''; ב[[אנגלית]]: '''Bayes' theorem''') הוא תוצאה ב[[תורת ההסתברות]] המאפשרת לחשב [[הסתברות מותנית]] של [[מאורע]] כאשר יודעים את ההסתברויות המותנות ההפוכות. הוא נוסח על ידי ה[[מתמטיקאי]] ה[[אנגלים|אנגלי]] [[תומאס בייס]], במאמרו "מאמר על פתרון בעיה בתורת הסיכויים" (Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances), אשר פורסם ב-[[1764]], לאחר מותו של בייס.

== ניסוח פורמלי ==

"ה[[הסתברות מותנית|הסתברות המותנית]] של מאורע A בהינתן מאורע B" היא הסיכוי להתרחשותו של A, בהנחה ש- B אכן התרחש. קיום ההנחה מצמצם את [[מרחב המדגם]]. '''מרעיון זה נובעת הנוסחה להסתברות המותנית:'''  <math>\ P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math>.

חוק בייס מאפשר לחשב את ההסתברות המותנית '''ההפוכה''': ההסתברות המותנית של B בהינתן A:

<math>P(B|A) = \frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}</math>.

ניסוח אחר למשפט: אם <math>\left\{B_i\right\}_{i\in K}</math> [[חלוקה (תורת הקבוצות)|חלוקה]] של מרחב המדגם, שבה לכל אחד מהחלקים הסתברות חיובית, אז לכל מאורע A בעל הסתברות חיובית ולכל k, מתקיים:

<math>P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{\sum_i P(A|B_i)P(B_i)}</math>.

ניסוח זה נובע ישירות מהניסוח הראשון בשילוב עם [[נוסחת ההסתברות השלמה]].

== דוגמה ==

במדינה מסוימת יש שתי קופות חולים; 75% מהתושבים חברים בגדולה מבין השתיים, והשאר בקטנה. סקרי שביעות רצון העלו ש-90% מן החברים בקופת החולים הקטנה מרוצים מן הקופה, בעוד רק 80% מהחברים בקופת החולים הגדולה מרוצים ממנה. על-כן מפרסמת החברה הקטנה מודעות ענק שלפיהן "אם אתם מרוצים, כנראה שאתם חברים שלנו". חוק בייס מאפשר לבחון את נכונות הטענה:

לצורך הדוגמה, קבוצת האנשים בעלי התכונה "האדם חבר בקופה הקטנה" תסומן ב-S, והקבוצה ה[[משלים (מתמטיקה)|משלימה]] ("האדם חבר בקופה הגדולה") תסומן ב-<math>\ S^\complement</math>

אם כן:
: <math>\ P(S) = 0.25</math> 
: <math>\ P(S^{\complement}) = 0.75</math>. 
כמו כן,  התכונה "האדם מרוצה" תסומן ב-H. לפי הסקר:
: <math>\ P(H|S) = 0.9</math>
: <math>\ P(H|S^\complement) = 0.8</math>. 
לפי נוסחת ההסתברות השלמה:
: <math>\ P(H) = P(H|S)\cdot P(S) + P(H|S^\complement)\cdot P(S^\complement) = 0.9\cdot 0.25 + 0.8 \cdot 0.75 = 0.825</math>. 
לכן, הסיכוי של אדם מרוצה להשתייך לקופה הקטנה שווה ל:
: <math>\ P(S|H) = \frac{P(S \cap H)}{P(H)} = \frac{P(H|S)P(S)}{P(H)} = \frac{0.9 \cdot 0.25}{0.825} \approx 0.273</math>.

אם כן, טענת הפרסומת שקרית: אם אדם מרוצה הוא כנראה חבר בקופת החולים הגדולה. באופן דומה, ניתן להראות שגם אם הוא לא מרוצה הוא כנראה חבר בקופת החולים הגדולה. ההסבר האינטואיטיבי לכך הוא שמלכתחילה רוב הסיכויים שאדם, מרוצה או לא, הוא חבר בקופה הגדולה.

== ראו גם ==
{{מיזמים|ויקיספר=הסתברות/מבוא/נוסחת בייס}}
* [[הסתברות]]
* [[הסתברות מותנית]]
* [[רשת בייסיאנית]]

==קישורים חיצוניים==
* [https://zenodo.org/record/1432246/files/article.pdf "An essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances"]: המאמר המקורי כפי שפורסם לאחר מותו של תומאס בייס בכתב העת Philosophical Transactions of the Royal Society of London.
* {{נסיכת המדעים|885|הכוכב, הסמים והכומר - סקירה של משפט בייס}}
* {{MathWorld}}
* [[שרון מקגריין]], The Theory That Would Not Die: How Bayes' Rule Cracked the Enigma Code, Hunted Down Russian Submarines, and Emerged Triumphant from Two Centuries of Controversy. Yale University Press, Hardcover Spring 2011.
* [https://www.3blue1brown.com/lessons/bayes-theorem הסבר ויזואלי של החוק] באתר [[3Blue1Brown]]
* {{יוטיוב|HZGCoVF3YvM|שם=חוק בייס, הגיאומטריה של שינוי אמונות|אורך=15:11|ערוץ=[[3Blue1Brown]]}}
* {{יוטיוב|U_85TaXbeIo|שם=ההוכחה המהירה לחוק בייס|אורך=03:48|ערוץ=[[3Blue1Brown]]}}
* {{בריטניקה}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:משפטים בתורת ההסתברות|בייס]]
[[קטגוריה:סטטיסטיקאים בייסיאניים|*]]