הצגת המקור של הדף "חוק קירי"

'''חוק קירי''' (ב[[אנגלית]]: '''Curie's law''') הוא [[חוק פיזיקלי]] המקשר בין [[מגנטיזציה]] של [[חומר]] [[פאראמגנטיות|פאראמגנטי]] לבין [[שדה מגנטי|השדה המגנטי]] המופעל עליו וה[[טמפרטורה]]. ה[[נוסחה]] המתארת את החוק היא:

<math display="block">\mathbf{M} = C  \frac{\mathbf{H}}{T}</math>

כאשר:
* M היא ה[[מגנטיזציה]] שנוצרת כתוצאה מהפעלת השדה המגנטי
* H הוא השדה המגנטי 
* T היא הטמפרטורה (המוחלטת)
* C הוא [[קבוע קירי]] שייחודי לכל חומר

מילולית ניתן לתאר את החוק כך:

"[[סוספטיביליות מגנטית]] של חומר פאראמגנטי נמצאת ביחס הפוך לטמפרטורה". 

כלומר, <math> \chi \propto \frac{1}{T} </math>, כאשר <math> \chi = \frac{\partial M}{\partial H}</math> היא הסוספטיביליות המגנטית.

החוק התגלה באופן [[ניסוי]]י (על ידי התאמת התוצאות למודל שנחזה בהצלחה) על ידי [[פייר קירי]].

חוק קירי אינו תקף לכל החומרים הפאראמגנטיים אלא רק לחלקם (בעיקר [[מבודד]]ים), ורק בתנאים מסוימים (טמפרטורה גבוהה או שדה מגנטי חלש).

==פיתוח של חוק קירי==
[[תמונה:Magnetization2.jpg|שמאל|ממוזער|250px|המגנטיזציה של פאראמגנט כפונקציה של הערך ההופכי של הטמפרטורה]]
ניתן לקבל את חוק קירי מתוך המודל הבא של [[פאראמגנט]]. במודל זה מתייחסים לחומר כמורכב מחלקיקים בעלי [[מומנט מגנטי]]  <math>\vec{\mu}</math>. החלקיקים קבועים במקום ואין ביניהם אינטראקציה. בהנחות אלו ה[[אנרגיה]] של המומנט המגנטי בתוך השדה נתונה על ידי

<math display="block">E=-\vec{\mu}\cdot\vec{H}</math>
===עבור ספין חצי ===
במקרה פשוט של מומנט מגנטי בעל שני מצבים אפשריים ([[ספין (פיזיקה)|ספין]] 1/2) המומנט המגנטי יכול בכיוון השדה המגנטי או בכיוון המנוגד לשדה בלבד. אנרגיות מצבים אלו הן
E<sub>0</sub>=-μH
ו
E<sub>1</sub>=μH

[[פונקציית החלוקה (פיזיקה)|פונקציית החלוקה]] של החלקיק במקרה זה תהיה:

<math display="block">Z = \sum_{n=0,1} e^{- \beta E_n} = e^{ \beta\mu H} + e^{-\beta\mu H} = 2 \cosh\left( \beta\mu H\right)</math>

כאשר <math> \beta = \frac {1}{k_B T}</math> ו-<math> k_B  </math> הוא [[קבוע בולצמן]]. את המומנט המגנטי הממוצע (=המגנטיזציה הממוצעת לחלקיק) ניתן למצוא באופן ישיר על ידי:
<div style="text-align: center;">
<math>\left\langle\mu\right\rangle =  \mu P\left(+\mu\right) -  \mu P\left(-\mu\right) 
 = {1 \over Z} \left( \mu e^{ \beta\mu H} -  \mu e^{  - \beta\mu H} \right), </math>
</div>
או על ידי [[נגזרת|גזירה]] של פונקציית החלוקה:
<math display="block">\left\langle\mu\right\rangle  = {1 \over H } \frac{\partial}{\partial \beta} \log Z. </math>
 
התוצאה המתקבלת בכל אחת מדרכים אלו היא <math>\left\langle\mu\right\rangle  =  \mu \tanh\left(\beta\mu H\right)</math> 

זו המגנטיזציה של ספין יחיד. כדי לקבל את המגנטיזציה של כל החומר יש להכפיל במספר החלקיקים <math> N  </math>. באופן זה מקבלים:

<math display="block">M = N\left\langle\mu\right\rangle = N \mu \tanh\left({\mu H\over k_B T}\right)</math>

חוק קירי מתקבל מכאן בגבול של שדה מגנטי חלש וטמפרטורה גבוהה, כלומר במקרה בו מתקיים <math> \frac{\mu H}{k_B T} \ll 1 </math>. בגבול זה ניתן לקרב את ה-tanh לסדר ראשון ולקבל:

<math display="block">\mathbf{M}={N\mu^2\over k_B}{\mathbf{H}\over T}</math>
 
וזה בדיוק חוק קירי, עם הקבוע <math> C = \frac{N\mu^2}{k_B} </math>.

===עבור ספין כללי===
עבור מקרה של ספין J כללי קיימים יותר משני מצבים. חישוב דומה נותן:
<math display="block">\ M = N g \mu_B J B_J(x)</math>

כאשר g הוא [[מקדם לנדה]], <math> \mu_B </math> הוא [[מגנטון בוהר]], <math>\ x =   \frac{g \mu_B JH}{k_B T}</math>
ו-<math>\ B_J(x) </math> היא [[פונקציית ברילואן]] המוגדרת על ידי:
<div style="text-align: center;">
<math>B_J(x) = \frac{2J + 1}{2J} \coth \left ( \frac{2J + 1}{2J} x \right )
                - \frac{1}{2J} \coth \left ( \frac{1}{2J} x \right )</math>
</div>

גם כאן בגבול של טמפרטורות גבוהה ושדה חלש ניתן לקרב ולקבל:
<math display="block">\ M = \frac{NJ(J+1)g^2\mu_B^2 H}{3k_B T}</math>
ושוב קיבלנו את חוק קירי (עם קבוע שונה במקצת).

===עבור מומנט מגנטי קלאסי===
מומנט מגנטי קלאסי יכול להסתובב באופן חופשי. במקרה זה האנרגיה של כל חלקיק תהיה:

<math display="block">E =  - \mu H\cos\phi, </math>

כאשר φ היא הזווית בין המומנט המגנטי והשדה המגנטי. פונקציית החלוקה המתאימה היא

<math display="block">Z = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi}d\phi \sin\phi \exp( \mu H\beta \cos\phi).</math>
 
ניתן לראות כי אין כל תלוי בזווית θ, וניתן להמיר את ה[[משתנה|משתנים]] לצורה y = cosφ על מנת להשיג

<div style="text-align: center;">
<math>Z = 2\pi  \int_{-1}^ 1 d y \exp( \mu H\beta y) =
2\pi{\exp( \mu H\beta )-\exp(-\mu H\beta ) \over \mu H\beta }=
{4\pi\sinh( \mu H\beta ) \over  \mu H\beta .}
</math>
</div>
 
בעקבות זאת, [[ערך תצפית (תורת הקוונטים)|ערך התצפית]] של רכיב z של המגנטיזציה (כאשר מתייחסים לרכיבים האחרים כשווים לאפס) יהיה לפי הנוסחה

<math display="block">\left\langle\mu_z \right\rangle = {1 \over Z} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi}d\phi \sin\phi \mu\cos\phi \exp( \mu H\beta \cos\phi).</math>
 
שוב, תוצאה זו ניתן לקבל גם על ידי גזירת פונקציית החלוקה:

<math display="block">\left\langle\mu_z\right\rangle = {1 \over Z H} \partial_\beta Z.</math>
 
אם ממשיכים בתהליך הגזירה, מוצאים כי

<math display="block">\left\langle\mu_z\right\rangle = \mu L(\mu H\beta), </math>
 
כאשר L היא [[פונקציית לנז'בן]]:

<math display="block"> L(x)= \coth x -{1 \over x}.</math>
 
הפונקציה הזו אינה סינגולרית עבור x קטן. מבחינה מעשית, ההתנהגות שלה עבור ארגומנטים קטנים דומה לזו של הפונקציה tanh, כך שנוסחת ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] שלמעלה מיושמת גם במקרה זה.

==יישומים==
חוק קירי הוא הבסיס להפעלה של [[תרמומטר מגנטי|תרמומטרים מגנטיים]], המשמשים למדידת טמפרטורות מאוד נמוכות.

==קישורים חיצוניים==
*[http://hdl.handle.net/1908/466 Propriétés magnétiques des corps à diverses températures] התזה של פייר קירי בה מופיע חוק קירי (בצרפתית)
[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:מגנטיות]]
[[קטגוריה:חוקים פיזיקליים|קירי]]